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== 空間における平面と直線 ==

○ 三次元空間において1点P0(x0 , y0 , z0 )を通り,方向ベクトル=(a, b, c)に平行な直線の方程式は
== …(1)
○ 三次元空間において1点P0(x0 , y0 , z0 )を通り,法線ベクトル=(a, b, c)に垂直な平面の方程式は
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 …(2)

※(参考) 直線の方程式(1)は,2つの平面の方程式を連立方程式として書いたものとなっています.
= , =
b(x−x0)−a(y−y0)=0
c(y−y0)−b(z−z0)=0
空間における直線の方程式は,直線に平行な「方向ベクトル」をもとにして考えます
空間における平面の方程式は,平面に垂直な「法線ベクトル」をもとにして考えます


 以下,正しい番号を選択してください.
[問題1]
(−1, 3, 2)を通り,直線=2−y=に垂直な
平面の方程式を求めてください.

13x−y+2z−4=0 23x−y+2z−2=0

33x−y+2z+2=0 43x−y+2z+4=0




[問題2]
平面x+y+2z+1=0と直線x−2==の交点の座標を求めてください.

1(1, −2, 0) 2(1, 2, −2)

3(2, 0, 1) 4(3, −2, 4)




[問題3]
2平面
2x+y−3z+3=0…(1)
3x+y−2z=0…(2)
の交線の方程式を求めてください.

1==z−3 2==z−2
3==z−3 4==z−2




【上の図の例】

⇒ 同じ点(3 , −9 , 0)を通り,
方向ベクトルが平行だから同じ直線
【上の図の例】
…(1)と …(2)は

⇒ 方向ベクトルが共通で
(1 , 1 , 2)=(3 , −9 , 0)+2(−1 , 5 , 1)が成り立つことにより,点(1 , 1 , 2)が(1)上にあるといえるから同じ直線


[問題4]
2平面
x−2y+2z=5…(1)
x+y−4z=2…(2)
の交線の方程式を求めてください.


1==z 2==z
3==z 4==z





【例1】
 2つの媒介変数s, tを用いて
x=3t−s+1…(1)
y=t+2s+2…(2)
z=2t+s−3…(3)
で表される平面の方程式をx, y, zの関係式として表してください.
(解答)→下の≪解説≫参照
(3)よりs=z−2t+3
これを(1)(2)に代入して,まずsを消去する
(1)→x=3t−(z−2t+3)+1=5t−z−2…(1’)
(2)→y=t+2(z−2t+3)+2=2z−3t+8…(2’)
次に,(1’)×3+(2’)×5によりtを消去する
3x+5y=7z+34
3x+5y−7z−34=0…(答)

≪解説≫
 平行でない2つのベクトル, を用いて,s+tの形に表されるベクトルはこれら2つのベクトルで張られる平面内にあります.
 したがって,2つの媒介変数s, tが各々実数値をとるとき
=+s+t
で表される位置ベクトルは,点P0を通り,2つのベクトル, を含む平面を表します.
 例えば,
(x,y,z)=(1,2,−3)+s(−1,2,1)+t(3,1,2)
で表される図形は,
(1,2,−3)を通り,2つのベクトル=(−1,2,1), =(3,1,2)を含む平面を表します.
 【例1】のような2つの媒介変数を含む方程式から,これらの媒介変数を消去すればx, y, zの関係式が求められます.


[問題5]
 2つの媒介変数s, tを用いて
x=s+4t+2…(1)
y=−2s−5t−3…(2)
z=3s+6t+1…(3)
で表される平面の方程式をx, y, zの関係式として表してください.

1x+2y+z−3=0 2x+2y+z+3=0

34x−5y+6z−3=0 4x−2y+3z+3=0





【例2】
 直線x−1==z−2と点(0, 0, 3)を含む平面
の方程式を求めてください.
 いろいろな解き方が考えられます.
 直線は点(1, 1, 2)を通り,方向ベクトル=(1,2,1)に平行だから,右図を参考にすると
(A) 点(0, 0, 3)を通り,2つのベクトル=(1,2,1), =(1,1,−1)を含む平面と考えることができます.
(B) 3点(0, 0, 3), (1, 1, 2), (1+1, 1+2, 2+1)を通る平面と考えることができます.
(C) 2つのベクトル=(1,2,1), =(1,1,−1)の両方に垂直なベクトルを求めて,それを平面の法線ベクトルとすることができます.
(A)
 点(0, 0, 3)を通り,2つのベクトル=(1,2,1), =(1,1,−1)を含む平面と考えると,2つの媒介変数s, tを用いて
(x,y,z)=(0,0,3)+s(1,1,−1)+t(1,2,1)
と書けるから
x=s+t…(1)
y=s+2t…(2)
z=3−s+t…(3)
で表される平面を求めればよい.
(1)よりs=x−t
これを(2)(3)に代入
y=(x−t)+2t=x+t…(2’)
z=3−(x−t)+t=3−x+2t…(3’)
次に(2’)×2−(3’)によりtを消去すると
2y−z=2x−3+x
3x−2y+z−3=0
(B)
 3点(0, 0, 3), (1, 1, 2), (2, 3, 3)を通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと
3c+d=0…(1)
a+b+2c+d=0…(2)
2a+3b+3c=0…(3)
この連立方程式は不定解をもつから,dを媒介変数として他の文字について解くことにすると
3c=(−d)…(1’)
a+b+2c=(−d)…(2’)
2a+3b(−3c)…(3’)
(1’)によりc=−d
これを(2’)(3’)に代入してa,bについても解くと
a=−d, b=d
以上により,平面の方程式は
(−d)x+(d)y+(−d)z+(d)=0
3x−2y+z−3=0
(C)
 2つのベクトル=(1,2,1), =(1,1,−1)の両方に垂直なベクトル=(3,−2,1)を求めると,平面の方程式は
3x−2y+z−3=0となることがわかります.

[問題6]
直線==と点(3, 2, 1)を含む平面
の方程式を求めてください.

1x+y+z−6=0 2x+y+z+6=0

3x+2y+3z−6=0 4x+2y+3z+6=0




[問題7]
空間において1点で交わる2直線
x=y−1=…(1)
==z−2…(2)
によって決定される平面の方程式を求めてください.

14x+y−5z+2=0 23x+2y−4z+1=0

32x−y+3z−6=0 4x+5y+3z−11=0




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