■判別式の応用(高校数学 II )→ 携帯版
○ 2直線を表わす方程式

例題
 x2+5xy+6y2+5x+14y+4=0(A) のような x , y の2次方程式は,
(x+3y+1)(x+2y+4)=0
と因数分解してみると,
x+3y+1=0 及び x+2y+4=0(B)
の2つの直線を表わすことが分かる.

 これは,(A)を x(または yについて解くと,y(または xの1次式
x=−3y−1 , x=−2y−4
(または y=−x− , y=−x−2
になることに対応している.
 実際,(A)を x の方程式
x2+(5y+5)x+(6y2+14y+4)=0(C)
として,解の公式で解くと

x=

=


となって,根号の中が D=y2−6y+9=(y−3)2 と完全平方式になり根号が外れて,この部分が1次式になる.

x= より

x===−3y−1

x===−2y−4
■続く↑■
■→続き■
 x2+5xy+6y2+5x+14y+k=0(D) のように文字係数が含まれている x , y の2次方程式は,一般にはそのまま因数分解することはできない.
 そのため,「方程式(D)が2直線を表わすように,定数 k の値を定めよ.」という問題においては,直接に因数分解して結果を示すことはむずかしい.(左の問題を覚えていれば,k=4 という予想はできるが,それ以外に解がないといえるか?)
 そこで,左の(C)からスタートし,根号内すなわち x の2次方程式としたときの判別式 D が完全平方式となるように k の値を定めるとよい.
x2+(5y+5)x+(6y2+14y+k)=0
を解の公式を用いて x について解くと

x=

=


xy の1次式となるには,根号が1次式として外れることが必要十分条件となるが,これは根号内すなわち
D=y2−6y+(25−4k)
y の完全平方式であることと同値.
 さらに,y2−6y+(25−4k)y の完全平方式であるためには,
y2−6y+(25−4k)=0
が重解を持つことが必要十分条件となるから,この方程式を y の2次方程式としたときの判別式
D2=(−6)2−4(25−4k)=0
より,k=4 が求まる.
【要約】 
 x , y の2次方程式
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 …(1)
が2直線を表わすように係数を定めるには,(1)を x の2次方程式としたときの判別式 D1 について,
D1=0
をさらに y の2次方程式として,その判別式 D2 について
D2=0
となるように係数の値を定めればよい.
■ 問題
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