■ 対数の計算
■解説
[要点] 対数の計算公式
(3)(4)(5)で変形して(1)(2)で締めくくるのが基本です。

○ 数値に直す公式

loga1=0・・・(1)
logaa=1・・・(2) ・・・(2')
○ 変形するための公式
(ただし,a>0,a≠1,M,N>0)
(証明)
次の対数の定義を用いると(1)〜(5)が示せます。
(1)←
a>0 のとき,a0=1 だから,これを対数の形に直すと 0=loga1 となります。
(2)←
a>0 のとき a1=a だから ,これを対数の形に直すと 1=logaa となります。
(2')←
loga1 - logaa → 0 - 1 → -1
または,logaa-1 → - logaa → -1
(3)←
ap=M,aq=N ・・・(*)
のとき 
MN = ap・aq = ap+q
だから、これを対数の形で表わすと
p+q=logaMN・・・(**)
(*) よりp=logaM,q=logaN だから(**)に代入すると
logaM+logaN=logaMN
変形は「分ける」のでなく「集める」方が多い
(3)(4)(5)
  通常の教科書、歴史上の意義:右辺→左辺
  高校生が出会う問題:    左辺→右辺

 通常、教科書や参考書においては(3)(4)(5)は、左辺と右辺が逆になっています。しかし、高校レベルの対数計算、対数方程式、対数不等式などを解く上では、左辺を右辺に変形する場面の方が多く、このページでは、通常の書き方と左右を逆にしています。

数値計算の変形例 log62+log63 → log66 → 1
対数方程式の変形例 log2x+log2(x-1)=1
             → log2x(x-1)=log22
(例外)
「log518をlog52とlog53で表せ」というような問題では「分ける」方向で変形しますが、高校生が出会う問題の中ではわずかな量です。

※対数の歴史から言えば、かけ算、割り算(累乗)の計算が足し算、引き算などに直せること、すなわち、右辺を左辺に直して計算できることが重要でしたが、今日では対数を用いずに、電子計算機で多きな桁数のかけ算、割り算などができます。

(4)←

ap=M,aq=N ・・・(*)
のとき 
M/N = ap÷aq = ap-q
だから、これを対数の形で表わすと
p-q=loga(M/N)・・・(**)
(*) よりp=logaM,q=logaN だから(**)に代入すると
logaM-logaN=loga(M/N)
(5)←
ap=M
のとき
apn=Mn
だから、これを対数の形で表わすと
pn=logaMn
p=logaM だから
nlogaM=logaMn
[参考]
(3)(4)
○ 「和 → 積, 差 → 商」 ということですが
  
ではないことに注意。(この式の変形は、後で出てくる底の変換が考えられる程度。)
(5)
 一見むずかしそうですが、ダイナミックなジャンプに「味をしめて」使いこなせるようにしましょう。
 また,次のように「対数にする」変形もよく使います。
2 = 2log33 = log39
2 = 2log22 = log24
■問題1・・・次の空欄を埋めなさい。
(1)(2)(2')を使う[即答問題]
log33 = 
log31 = 



(5)を使う即答問題
log28 = 
log10100 = 



 ■問題2・・・次の計算をしなさい。
[計算用紙を使って、各問題1分程度が目安]
○和
log62 + log63 = 
log64 + log69 = 
○差
log345 - log35 = 
log103 - log10300 = 
○3項
log550-log56+log515=
log235-log228-log210=
○分数




 



 



 


○累乗根
[ア]=,[イ]=
[ウ]=,[エ]=
○係数付き
=
[オ]=

[ヒントの出る場所]

 


 
 

■問題3・・・次の計算をしなさい。
○(1)〜(5)の総合問題
[計算用紙を使って、各問題5分程度が目安]
(1) =


(2) =



















(3) =


(4) =
















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English VersionLogarithm Rules