■1の虚数3乗根ω→ 携帯版は別頁
■解説
◇1の虚数3乗根ωとは◇
○ x3=1 の虚数解を1の3乗根といい,ωで表わす.
  ( x3=1 の解のうち,実数解 x=1 でないものを1の虚数3乗根といい,ωで表わす. )
○ 具体的に x3=1 を解くと次のようになる.
x3−1=0(x−1)(x2+x+1)=0

x=1 ,

虚数解は x=
(注) これら2つの虚数解のうちどちらをωとするか決まっている訳ではない.すなわち,勝手に
ω=
と決めて問題を解くのはよくない.
ω=
の場合でも成り立つ答案が求められる.


○ 以下に示すように,ω42 の値を求めるなどの問題において,
ω=
と,
ω=
の両方を代入して「力まかせに」「単純計算主義で」解決する方法は薦められない.

 【ポイント】:ω3=1 かつ ω≠1 から,ωが満たす式を作り,これらの変形で処理するというのが定石となっている.すなわち,

【 要約 】
1の虚数3乗根の1つをωとするとき
  ω3=1ω≠1 )···(A)
  ω2+ω+1=0 ···(B)
が成り立つ.
■続く→■
■→続き■
 式の数を最小限に減らすと,(B)だけで1の虚数3乗根という定義を満たすことができるが,
 式(A)を見ると,左辺が3次式で右辺が定数(0次式)となっている.この式を使えば一挙に次数を3次下げることができ,この式はいわば「特急券」として重宝できる. 
   ω63ω3=1
 式(B)は ω2=−ω−1 と見ると,2次式を1次式に次数を下げることができる,いわば「急行券」となっている.
    ω32ω=(−ω−1)ω=−ω2−ω
    =−(−ω−1)−ω=1
 無理数や複素数の複雑な値の代入計算によく使う方法(余りに代入する方法): ω2+ω+1=0 で割った余りに代入する方法をとれば,この単調な繰り返し作業をまとめて行うことができる.*

  例*  3+5ω2+5ω+5= 2+ω+1) (2ω+3)+ 余り2=2
(覚え方)
  ω3=1 ···(特急券)
  ω2+ω+1=0 ···(急行券)
「特急券」と「急行券」を両方とも使って,次数を下げる
例題1
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,ω42+1 の値を求めよ.
(答案)
 原式=ωω32+1=ω+ω2+1=0
例題2
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,ω10050+1 の値を求めよ.
(答案)
 原式=ω(ω3)3323)16+1=ω+ω2+1=0

■問題1 … (ω計算の基本練習)
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,次の式の値を求めよ.
  

■問題2 … (少しむずかしい)
  
  


■問題3 … (少しむずかしい)
 を1の3乗根の1つとするとき,次の式の値を求めてください.(選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)

(2)


(3)
が正の整数のときの値は
ア)のとき,
イ)のとき,(次の値から選んでください)
(4)

の値に等しいものを次の中から選んでください

(5)

の値に等しいものを次の中から選んでください
(6)
が正の整数のときの値は
ア)のとき,
イ)のとき,(次の値から選んでください)
○ = = メニューに戻る
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/18.9.30]
すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか? 分数になると分からなくなる、
=>[作者]:連絡ありがとう.当教材にある問題については,質問に答えますが,各自の宿題などについては原則として回答していません.
 そこで,尋ねられた問題に答えずに,尋ねられていない問題に答えて,各自の答は各自で考えてもらうことがあります.
の値を求めたい場合
そのページの用語で[特急券]を使うと,


次に,そのページの用語で[急行券]を使うと
より


■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/18.7.28]
問題1ー5のkは何故はずれるんですか?ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.「特急券」は使いましたか?ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね.他に何か言う必要ありますか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/18.7.21]
ω^2もωと同様にω~2+ω+1が成り立つという証明と共約複素数にも触れたほうがいいかなと思った
=>[作者]:連絡ありがとう.証明も共約複素数のことも書いてありますが,明示的に示してないということかな?
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/17.12.09]
非常にわかりやすい 練習問題があるのは高評価
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/17.6.14]
最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/17.3.14]
教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました! 要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
=>[作者]:連絡ありがとう.