■1の虚数3乗根ω携帯版は別頁

■問題1 … (ω計算の基本練習)
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,次の式の値を求めよ.
  

■問題2 … (少しむずかしい)
  
  


■解説
◇1の虚数3乗根ωとは◇
○ x3=1 の虚数解を1の3乗根といい,ωで表わす.
  ( x3=1 の解のうち,実数解 x=1 でないものを1の虚数3乗根といい,ωで表わす. )
○ 具体的に x3=1 を解くと次のようになる.
x3−1=0(x−1)(x2+x+1)=0

x=1 ,

虚数解は x=
(注) これら2つの虚数解のうちどちらをωとするか決まっている訳ではない.すなわち,勝手に
ω=
と決めて問題を解くのはよくない.
ω=
の場合でも成り立つ答案が求められる.


○ 以下に示すように,ω42 の値を求めるなどの問題において,
ω=
と,
ω=
の両方を代入して「力まかせに」「単純計算主義で」解決する方法は薦められない.

 【ポイント】:ω3=1 かつ ω≠1 から,ωが満たす式を作り,これらの変形で処理するというのが定石となっている.すなわち,

【 要約 】
1の虚数3乗根の1つをωとするとき
  ω3=1ω≠1 )···(A)
  ω2+ω+1=0 ···(B)
が成り立つ.
■続く→■
■→続き■
 式の数を最小限に減らすと,(B)だけで1の虚数3乗根という定義を満たすことができるが,
 式(A)を見ると,左辺が3次式で右辺が定数(0次式)となっている.この式を使えば一挙に次数を3次下げることができ,この式はいわば「特急券」として重宝できる. 
   ω63ω3=1
 式(B)は ω2=−ω−1 と見ると,2次式を1次式に次数を下げることができる,いわば「急行券」となっている.
    ω32ω=(−ω−1)ω=−ω2−ω
    =−(−ω−1)−ω=1
 無理数や複素数の複雑な値の代入計算によく使う方法(余りに代入する方法): ω2+ω+1=0 で割った余りに代入する方法をとれば,この単調な繰り返し作業をまとめて行うことができる.*

  例*  3+5ω2+5ω+5= 2+ω+1) (2ω+3)+ 余り2=2
(覚え方)
  ω3=1 ···(特急券)
  ω2+ω+1=0 ···(急行券)
「特急券」と「急行券」を両方とも使って,次数を下げる
例題1
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,ω42+1 の値を求めよ.
(答案)
 原式=ωω32+1=ω+ω2+1=0
例題2
 1の虚数3乗根の1つをωとするとき,ω10050+1 の値を求めよ.
(答案)
 原式=ω(ω3)3323)16+1=ω+ω2+1=0
○ = = メニューに戻る
■[個別の頁からの質問に対する回答][1の虚数3乗根ωについて/17.3.14]
教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました! 要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
=>[作者]:連絡ありがとう.