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■1次不等式の解き方

____________________○ 初めに左の欄から問題を1つ選び,続いて右の欄から解を1つ選べ.正答のときは,に変り,誤答のときは変化しない.
____________________○ 右の欄にはジョーカーが1つあり,ジョーカーだけになればその頁は完了.
問題 次の各不等式の解を右の欄から選べ.(全部で4頁あります!)
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■解説
○ 不等式で表わされる数の範囲
 不等式 x>1 は,x の値が 1 よりも大きことを表わしており,このような x を数直線上で図示すると,右図1のようになる.

 図2は 不等式 x2 を数直線上で図示したものである.

(図1のように x=1 自身の値が含まれないときは,「白丸」かつ「斜め線」で表示し,図2のように x=2 自身の値が含まるときは,「黒丸」かつ「垂直線」で表示する.「分かりやすく」「間違いにくいように」いわば二重の安全装置を付けて示す.)
 図3は x<5 ,図4は x - 2 を図示したものである.

[ 0 ] (次の内容を表わす言い方は全国共通に決まっている訳ではないが,ここだけの話として「鏡返し」の変形としておく.)
1>x は,x<1 と同じ意味である.(等号付きでも同様)
1<x は,x>1 と同じ意味である.(等号付きでも同様)
図1
図2
図3
図4
○ 不等式については,次の性質が成り立つ.
[ I ] a<ba+c<b+c , a - c<b - c
 (ある不等式 a<b が成り立つとき,両辺に同じ数 c を足したり引いたりした不等式も成り立つ.)
[ II ] a<b , c>0ac<bc , <
 (ある不等式 a<b が成り立つとき,両辺に同じ正の数 c を掛けたり割ったりしてできる不等式も成り立つ.)
[ III ] a<b , c<0ac>bc , >
 (ある不等式 a>b が成り立つとき,両辺に同じ負の数 c を掛けたり割ったりすると不等式の向きが変る.)

> , , に対しても同様であるが,「元の式の等号の有無」 ⇔ 「変形後の等号の有無」は対応させることが重要.)
[ I ] は,方程式のときと同様に「移項」できることを示している.
 例  x - 2<3x - 2+2<3+2x<5
 例  x+2<3x+2 - 2<3 - 2x<1

[ II ] は,方程式のときと同様に両辺に正の数を掛けたり割ったりしてよいことを示している.
 例  <32 <2·3x<6
 例  2x<32x·<3·x<

[ III ] だけは,要注意.方程式のときと異なり,両辺に負の数を掛けたり割ったりすると,不等号の向きが逆になることを示している.
 例  - <3( - )·( - 2)>3·( - 2)x> - 6

 例  - 2x<3- 2x·( - )>3·( - )x> -
【 要点 】 1次不等式の解き方
  • [ I ] [ II ] 方程式のときと同じように,移項したり,両辺に同じ数を掛けたり・割ったりして変形できる.左辺が x だけになればできあがり.
  • [ III ] ただし,両辺に負の数を掛けたり・割ったりするときは不等号の向きが変る.
  • [ 0 ] なお,右辺に x があるとき,
      3<x  ⇒(移項)⇒  - x< - 3  ⇒(両辺に - 1を掛ける)⇒  x>3 とするよりは
      3<x  ⇒(鏡返し)⇒  x>3 とする方が簡単で間違いも少ない.
※ 誰もが心理的に間違いやすい問題: x - 1>1000x>999 になりやすい.(2数の差が大きいとき気分で負けてしまう?移項の話はどこへ?)
※ 自信のない生徒が間違いやすい問題: - 3x>6x<2 になりやすい.(不等号の向きと割り算の符号がもつれてしまう?負けたらあかん!)

例題 次の不等式を解け.
(1)__________5x−3<2x+4
(答案)
2x を左辺に,- 3 を右辺に移項する
5x−2x<4+3
3x<7
両辺を 3 で割る
x< …(答)


(2)__________-
(答案)
両辺に 6 を掛けて分母を払う
−3(3x−1)2(2x−1)
−9x+34x−2
x を左辺に集め,定数項を右辺に集める
−13x−5
両辺を x の係数で割る(不等号の向きは変る)
x …(答)
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