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== 2次関数のグラフと係数の符号 ==

 2次関数のグラフが右図のように与えられているとき,係数などの符号を,次のように求めることができます.
の符号
 の値は「グラフの形」によって決まり,特にの符号は,グラフが下に凸(谷形)のとき,グラフが上に凸(山形)のときになります.
【例】
y=2x2
【例】
y=−2x2

図1のグラフは,下に凸になっていますので,です.
図1 y x 0
** 凸とは,どこを見るのか? **
直線で切ったとき,直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」

点線で示した耳の形を見るのではない
直線で切ったとき,直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」

点線で示した両足の形を見るのではない

の符号
 のグラフで,のときになります.すなわち,y軸との交点のy座標がになります.
図1のグラフでは,です.(青●で示した点のy座標)

の符号
 の符号は,グラフを見ただけでは判断できず,「の符号」と「頂点の座標」の両方から計算で求めなければなりません.
図2 y x 0 x=1 y=x2−2x+2 y=−x2+2x
 右図の青で示した線は

のグラフで,2次関数の係数は,

です.
 赤で示した線は

のグラフで,2次関数の係数は,

です.


だから,頂点のx座標はいずれもで同じですが,の符号が逆になっています.
 一般に,



の頂点のx座標(対称軸のx座標)は

ですが,頂点のx座標(対称軸のx座標)の符号を見ただけではの符号は分かりません.
 上記の青で示した例では
かつ
からが求まります.
 上記の赤で示した例では
かつ
からが求まります.

の符号の求め方】
@頂点のx座標の符号
Aの符号
の2つから決める
 初めの問題の図1では
@頂点のx座標
A
だから,になります.
の符号の求め方,他の例≫
y x 0 @
A
y x 0 @
A
y x 0 @
A

y x 0 @
A
y x 0 @
A
y x 0 @
A


の符号
 という式は「判別式」と呼ばれ,その符号が2次関数のグラフとx軸との共有点の個数に対応しています.この結果は,次のように覚えて使います.
(A)
x
(B)
x

x軸との交点が2個あるから,判別式の符号は
(C)
x
(D)
x

x軸との接点が1個あるから,判別式の符号は

(E)
x
(F)
x

x軸との共有点がないから,判別式の符号は

 授業や教科書での教材の順序によって,判別式という用語をまだ習っていない場合は,次のように「頂点のy座標」の符号で判断します.
 一般に




の頂点のy座標は


(A)の図では
@下に凸だから
A頂点のy座標

(B)の図では
@上に凸だから
A頂点のy座標

(C)の図では
@下に凸だから
A頂点のy座標

(D)の図では
@上に凸だから
A頂点のy座標

(E)の図では
@下に凸だから
A頂点のy座標

(F)の図では
@上に凸だから
A頂点のy座標


の符号
図3 y x 0 1 −1
 関数において,を代入すると,yの値はになります.これにより,右図のように,のときのyの符号が分かるときは,の符号が分かることになります.
右の図なら,
 同様にして,を代入すると,yの値はになります.これにより,右図のように,のときのyの符号が分かるときは,の符号が分かることになります.
右の図なら,
 2次関数のグラフが与えられているとき,係数などの符号は次のようにまとめることができます.
【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒
グラフの形が上に凸 ⇒
y軸との交点がx軸よりも上 ⇒
y軸との交点がx軸よりも下 ⇒
頂点(対称軸)のx座標との符号から
の符号が求まる
x軸との共有点の個数が2個 ⇒
x軸との共有点の個数が1個 ⇒
x軸との共有点がない ⇒
のときのy座標から
の符号が求まる
のときのy座標から
の符号が求まる
同様にして,のときのy座標が分かれば
の符号が求まる

【問題】
 2次関数のグラフが次の図のようになるとき,の符号を求めてください.
(正しいものをクリック.採点結果と解説が出ます)
(1)
y x 0












(2)
y x 1 −1 0













(3)
y x 0 1 −1












(4)
y x 0 1 −1













(5)
y x 0 1 −1












(6)
y x 0












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■[個別の頁からの質問に対する回答][2次関数のグラフと係数の符号について/18.9.21]
2つの式の符号から決めるってどういう事ですか? (二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
=>[作者]:連絡ありがとう.解説に書いてあることを,そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない.
「次のように2つの式の符号から決める。 頂点のx座標(=軸)から −b / 2a<0,ここで(A)よりa>0 したがってb>0」
と書いてあるのだから,−b/2aとa の2つの式の符号から決めるということです.