■定積分の部分積分法携帯版
次の空欄を埋めなさい。(なお,空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.)
問題 答案
(1)

x sinx dx
◇考え方◇ sinx だけならば積分が求められるが x が掛けてあるので求められない
→ x を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = x → f' = 1 
    g =−cosx ← (g') = sinx
:上げる




x sinx dx = - cosx + dx

= (0−0) +(1−0) = 1

(2)

x log x dx
◇考え方◇ log x の積分が求められない
log xを微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = log x → f' =  

    g =
(g') = x:上げる



x log x dx = dx

= (−0)−dx =

=

(3)

log x dx
◇考え方◇ log x の積分が求められない
log x と考えて,log x を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = log x → f' =

    g = x ← (g') = 1
:上げる



log x dx = x x dx

= (e−0)− = e−(e−1) = 1

(4)

(x−1)(x−2)2 dx
◇考え方◇  (x−2)2 dxだけならば求められる.

(置換積分を用いた公式): (x−2)2 dx = + C

x−1 を微分する側:現在 f の側とする.

( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = x−1 → f' = 1
    g =
(g') = (x−2)2:上げる



(x−1)(x−2)2 dx = (x−1)    dx

= (0−0)−  =

(5)

ex sin x dx
◇考え方◇ 直接的には値が求まらないとき,= Iとおいて I の方程式を解く.
 I = (···)−I → I =

 I = (・・・) + I型だけは不可.それ以外は,I = (・・・) ± kI 型になればすべて求まる.
※ 1回の部分積分で自分自身 I が登場しなければ,部分積分を2回行う.
(ただし,ある関数を上げて下げると何も残らないので注意.上げるなら2回上げること.)
( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = sin x → f' = cos x
    g = ex(g') = ex
:上げる


ex sin x dx = ex ex dx

= 0−ex cos x dx


( )は左辺の初めの形

下げる:(p) = cos x → p' =−sin x

    q = ex(q') = ex
:上げる


=−(ex cos x + ex sin x dx )

=−(- eπ)−ex sin x dx
I = eπ + 1−I
I =
(6)

(log x)2 dx
◇考え方◇ (3)と同様に(log x)2 を微分する側に選ぶ.


( )は左辺の初めの形

下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x)

    g = x ← (g') = 1:上げる


(log x)2 dx

=
(log x)2 log x dx = (*)


( )は左辺の初めの形

下げる:(p) = (log x) → p' =

    q = x ← (q') = 1:上げる


(*) = e−2( x log x dx )

= e−2(
x ) = e−2(e−e + 1) = e−2


.