■3次関数の最大値・最小値(文字の区間,文字係数を含む場合)
...メニューに戻る
【例題1】
 右図1は,3次関数y=f(x)=x3−3x+1のグラフのうちで0≦x≦aの区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
a>0のとき,この関数の区間0≦x≦aにおける最小値と最大値を求めてください.
aの値は,初め0.50になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
(解説)
○最小値
 aの値を少しずつ大きくしていくと,a=1になるまで,区間の右端(青線で示したところ)x=aのところで最小値になることが分かります.
0<a≦1のとき最小値はf(a)=a3−3a+1
 しかし,aの値を1よりも大きくしても,区間0≦x≦aの中では,x=1のときの最小値f(1)=13−3+1=−1よりも小さな値は登場しないので,最小値は変わらず−1になります.
a>1のとき最小値はf(1)=−1
○最大値
 aの値を少しずつ大きくしても,区間の左端(緑線で示したところ)x=0のところで最大値になっています.
 しかし,aの値を1.73あたりも大きくすると,今度は区間0≦x≦aの右端x=aのとき最大値f(a)=a3−3a+1となります.
 画面上では,この境目となっているaの値はこれ以上詳しく判断できないので,正確な値は筆算で求めます.
f(x)=x3−3x+1=1となるxの値は
x3−3x=0x(x2−3)=0x=0, ±
図よりx>0だからx=
したがって
0<a≦のとき最大値はf(0)=1
a>のとき最大値はf(a)=a3−3a+1
≪図1≫
aの現在値:0.50
【例題2】
 右図2は,3次関数y=f(x)=x3−3a2x+1のグラフのうちで0≦x≦1の区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
a>0のとき,この関数の区間0≦x≦1における最小値と最大値を求めてください.
aの値は,初め0.50になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
(解説)
 aの値を少しずつ大きくしていくと極小値がだんだん小さくなっていきますが,a>1になると極小値が区間0≦x≦1を外れてしまい,その値はこの区間内にないことが分かります.
 また,0<a<0.56のような値では,区間の右端(青線で示したところ)の方が,左端(緑線で示したところ)よりも大きいくなっていることが分かります.
 いずれの場合も,さらに正確に判断するには筆算で求める必要があります.
y'=f '(x)=3x2−3a2=3(x+a)(x−a)だから増減表は次のようになります.ただし, a>0
x...−a...a...
y'+00+
y2a3+1−2a3+1
(ア)0<a<1のとき,0≦x≦1の区間は水色の背景色で示した範囲になります.
x...−a...0...a...1...
y'+00+++
y2a3+11−2a3+12−3a2
 最小値はx=aのとき,f(a)=−2a2+1になります.
 最大値は,f(0)f(1)を比較して場合分けします.
 (その1)
2−3a2≧13a2≦10<a≦のとき
x=1で最大値f(1)=2−3a2
 (その2)
a>のとき
x=0で最大値f(0)=1
(イ)a≧1のとき,0≦x≦1の区間は水色の背景色で示した範囲になります.
x...−a...0...1...a...
y'+000+
y2a3+112−3a2−2a3+1
 最小値はx=1のとき,f(1)=2−3a2になります.
 最大値は,x=0のときf(0)=1になります.
≪図2≫
aの現在値:0.50
【例題3】
 右図3は,3次関数y=f(x)=x3−3xのグラフのうちでa≦x≦a+1の区間を赤色で示し,他の区間を灰色で示したものです.
a>0のとき,この関数の区間a≦x≦a+1における最小値と最大値を求めてください.
aの値は,初め0.50になっていますが,赤で示したスケールをクリックすると変更できます.)
(解説)
○最小値
 aを少しずつ増やしていくと,a1を越えるまでは,x=1が区間a≦x≦a+1の中に含まれるので,極小値f(1)=−2が最小値になります.
 a>1のときは,f(a)=a3−3aが最小値になります.
○最大値
2次関数では,グラフは軸(頂点を通る縦の直線)に関して左右対称になっていますが,3次関数ではそのような性質はありません.
だから,x=0.5のときのyの値とx=1.5のときのyの値とは等しくなく,y座標が等しくなるようなa, a+1の値は計算してみなければ分かりません.
区間の左端aと右端a+1y座標が等しくなるときを調べると
a3−3a=(a+1)3−3(a+1)より
a3−3a=a3+3a2+3a+1−3a−3
3a2+3a−2=0
解の公式を使うと
a=
a>0だからa=≒0.457..
0<a≦のとき,
最大値はf(a)=a3−3a
a>のとき,
最大値はf(a+1)=(a+1)3−3(a+1)
≪図3≫
aの現在値:0.50

問1a>0のとき,3次関数y=2x3−3x2+1の区間0≦x≦aにおける最大値と最小値を求めてください.

(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
0<a≦のとき,x=で最大値をとる
a>のとき,x=で最大値2a3−3a2+1をとる
0<a≦のとき,x=で最小値2a3−3a2+1をとる
a>のとき,x=で最小値をとる
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
0 1 2 a
問2a>0のとき,3次関数y=2x3−6axの区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めてください.

(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
0<a≦のとき,x=で最大値をとる
a>のとき,x=で最大値をとる
0<a≦のとき,x=で最小値をとる
a>のとき,x=で最小値をとる
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
0 1 2−6a −4a
問3a>0のとき,3次関数y=x3−3xの区間−a≦x≦aにおける最大値と最小値を求めてください.

(次のに入るものを下の選択肢で選んでください.暗算ではできません.各自で計算用紙を使ってください.)
0<a≦1のとき,
x=で最大値をとる
x=で最小値をとる
1<a≦2のとき,
x=で最大値をとる
x=で最小値をとる
a>2のとき,
x=で最大値をとる
x=で最小値をとる
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
−2 −1 1 2 −a a a3−3a 3a−a3
...メニューに戻る