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== 積和の公式.和積の公式 ==
微分積分など多くの計算において,積(掛け算)よりも和・差・定数倍となっている方が計算しやすく,積の形で表された式を和・差・定数倍で表された式に直したい場面がよくあります.三角関数の積については,右の積和の公式で和・差の形に直すことができます.
逆に,因数分解したいときなどにおいては和・差を積に直すことになります.
「全部,覚えなければいけないのか」と聞かれることがありますが,単語の丸暗記のようなものではなくお互いにつながった内容なので,
(1) 筆者はこれらの公式を覚えずに,必要な時に三角関数の加法定理から作っていますが,
(2) 何度も使っているうちに,自然に身に付いてしまうのもOKです.
【積和の公式】 (積を和・差に直す公式)
三角関数の積和の公式は加法定理から導かれます.

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
+)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ
sin(α+β)+sin(α−β)=2sinα·cosβ…(1)
ゆえにsinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α−β)}

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ
sin(α+β)−sin(α−β)=2cosα·sinβ…(2)
ゆえにcosα·sinβ={sin(α+β)−sin(α−β)}

cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ
+)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
cos(α+β)+cos(α−β)=2cosα·cosβ…(3)
ゆえにcosα·cosβ={cos(α+β)+cos(α−β)}

cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ
)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinα·sinβ…(4)
ゆえにsinα·sinβ=−{cos(α+β)−cos(α−β)}
【和積の公式】 (和・差を積に直す公式)
三角関数の和積の公式は積和の公式を書き直したものです.

(1)(2)(3)(4)において
α+β=A, α−β=Bとおくと
α=, β=となるから
(1)→sinA+sinB=2sincos
(2)→sinA−sinB=2cossin
(3)→cosA+cosB=2coscos
(4)→cosA−cosB=−2sinsin
さしあたり,積和⇒係数は,和積⇒係数は2ということだけは間違わないようにしましょう.


【例題1】
次の式を和・差の形に直してください.
sinθ·cos
(解答)
sinθ·cos2θ={sin(θ+2θ)+sin(θ−2θ)}
=(sin3θ−sinθ)sin(−θ)=−sinθを使う
【例題2】
次の値を求めてください.
sin37.5°·cos7.5°
37.5°7.5°の三角関数の値は,通常覚えませんが,37.5°+7.5°=45°37.5°−7.5°=30°なので,積和の公式により計算可能な値に直ります.
(解答)
sin37.5°·cos7.5°={sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°−7.5°)}
=(sin45°+sin30°)=(+)=
【例題3】
次の式を積の形に直してください.
sin4θ+sin
和を積に直す公式ではsinA±sinBcosA±cosBのように
(1) sin, cosが同種であるとき.
(2) 係数がいずれも1であるとき.
に限り,積に直すことができます.
次のような式は,この公式を使った変形ができません. sinA+cosBsin, cosが混ざっている.
2sinA+3sinB ←係数が1ではない.
なお
2sinA+3cosA
のような形の式は「三角関数の合成公式」を使った変形ができます.
(解答)
sin4θ+sin2θ=2sincos=2sin3θ·cosθ



【問題1】
次の式を和・差の形に直してください.
(正しいものを選択肢から選んでください.)
(1)sinθ·cos
(sin3θ+sinθ) (sin3θ−sinθ)

(sin4θ+sin2θ) (sin4θ−sin2θ)
(2)cos2θ·sin
(sin7θ+sin3θ) (sin7θ−sin3θ)

(cos7θ+cos3θ) (cos7θ−cos3θ)
(3)sin4θ·sin
(sin6θ+sin2θ) (sin6θ−sin2θ)

(sin6θ+sin2θ) (sin6θ−sin2θ)

(cos6θ+cos2θ) (cos6θ−cos2θ)

(cos6θ+cos2θ) (cos6θ−cos2θ)
(4)cos6θ·cosθ
(sin7θ+sin5θ) (sin7θ−sin5θ)

(sin7θ+sin5θ) (sin7θ−sin5θ)

(cos7θ+cos5θ) (cos7θ−cos5θ)

(cos7θ+cos5θ) (cos7θ−cos5θ)
(5)sin2θ·cos
(sin5θ+sinθ) (sin5θ−sinθ)

(sin5θ+sinθ) (sin5θ−sinθ)

(sin5θ+cosθ) (sin5θ−cosθ)

(sin5θ+cosθ) (sin5θ−cosθ)
(6)cos4θ·sin
(sin10θ+sin2θ) (sin10θ−sin2θ)

(sin10θ+sin2θ) (sin10θ−sin2θ)

(cos10θ+sin2θ) (cos10θ−sin2θ)

(cos10θ+sin2θ) (cos10θ−sin2θ)
(7)sin5θ·sin
(sin9θ+sinθ) (sin9θ−sinθ)

(sin9θ+sinθ) (sin9θ−sinθ)

(cos9θ+cosθ) (cos9θ−cosθ)

(cos9θ+cosθ) (cos9θ−cosθ)

(8)cos3θ·cos
(sin10θ+sin4θ) (sin10θ−sin4θ)

(sin10θ+sin4θ) (sin10θ−sin4θ)

(cos10θ+cos4θ) (cos10θ−cos4θ)

(cos10θ+cos4θ) (cos10θ−cos4θ)

【問題2】
次の値を求めてください.
(正しいものを選択肢から選んでください.)
(1)cos75°·cos15°

(2)sin52.5°·sin7.5°




【問題3】
次の式を積の形にしてください.
(正しいものを選択肢から選んでください.)
(1)sin5θ−sinθ
sin3θ·cos cos3θ·sin

sin6θ·cos cos4θ·sin

2sin3θ·cos 2cos3θ·sin

2sin6θ·cos 2sin4θ·cos
(2)cos3θ+cos
cos4θ·cosθ cos4θ·cosθ

cos8θ·cos cos8θ·cos

2cos4θ·cosθ −2cos4θ·cosθ

2cos8θ·cos −2cos8θ·cos
(3)cos2θ−cos
2sin9θ·sin −2sin9θ·sin

2cos9θ·cos −2cos9θ·cos

2sinθ·sinθ −2sinθ·sinθ

2cosθ·cosθ −2cosθ·cosθ
(4)sin2θ+sin
2sin5θ·cosθ −2sin5θ·cosθ

2sinθ·cosθ −2sinθ·cosθ

2sinθ·sinθ −2sinθ·sinθ

2cosθ·cosθ −2cosθ·cosθ

【問題4】
次の値を求めてください.
(正しいものを選択肢から選んでください.)
(1)sin165°+sin75°


(2)cos15°−cos75°



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■[個別の頁からの質問に対する回答][積和の公式.和積の公式について/17.6.14]
ありがとうございました。 小テスト前に利用させて頂きました。
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][積和の公式.和積の公式 について/17.1.28]
宮廷志望理系 1ヶ月切ってはじめて和積覚えました
=>[作者]:連絡ありがとう.旧帝大志望理系と読むのかな