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== 群数列 ==

 数列の項を,何項かの群に区切ったものを,群数列と言います。
※ここでいう「群」は数学でいう群とは関係なく,ただ区切ってあるというだけのものです。


1 | 2,3 | 4,5,6 | 7,8,9,10 | 11,・・・
例題
 次の群数列において,(1)第n群の初項を求めなさい。(2)第n群の総和を求めなさい。
1 | 2,3 | 4,5,6 | 7,8,9,10 | 11,・・・

(答案例)
(1)
 第n群は,n項から成り,第(n-1)群の末項までには,

 したがって,第n群の初項は,元の数列の

元の数列はa=nだから,・・・答
(2)
 第n群は,初項,公差1,項数nの等差数列だから,その和は
■要点■
群数列の問題を解くには,第n群の初項が元の数列の第何項に当たるかを考えると,問題が整理でき・分かり易くなります。
例題
 次の群数列の第100項を求めなさい。
(答案例)
のように群数列に分けて,元の数列の第100項がこの群数列の第何群の第何項に当るかを考える。
 第n群の末項までには

項ある.
n=13S=91
n=14S=105
となるから,
第14群の第9項が求めるものとなる。
ゆえに,

 



■問題
 次の群数列において,(1)第n群の初項を求めなさい。(2)第n群の総和を求めなさい。
 1 |  2,3,4 |  5,6,7,8,9 | ・・・

(答案)

 (1)
第n群は,2n-1項から成り,第(n-1)群の末項までには,
[ア]項ある。

したがって,第n群の初項は,元の数列の[イ]
元の数列の一般項は,a=nだから,[イ]・・・答

(2)
第n群は,初項[イ],公差1,項数2n-1の等差数列だから,その和は
[ウ]・・・答

(正しいものを選びなさい。)
[ア] (n-1)2n2(n+1)2
[イ] n2-2n+2n2+1n2+2n+2
[ウ] (2n-1)(n2-n+1)n(n+1)(2n-1)
 


■問題
2 正の有理数を
のように並べるとき,は元の数列の第何項か。

(答案)

のように区切ると,第k群に属する各々の分母・分子の和は[ア]になる。
の分母・分子の和はm+nだから,は第[イ]群にある。

[イ]-1群の末項までに元の数列は全部で[ウ]項あるから,第[イ]群の第n項は,元の数列の第[エ]項・・・答

(正しいものを選びなさい。)
[ア] k-1kk+1
[イ] m+n-1m+nm+n+1
[ウ]


[エ]


 

【問題3】
 次のように,第n群がn個の分数を含むように分けられた数列がある.

(1)n群に属するすべての分数の和を求めよ.
(2) 初めから数えて,最初にとなるのは第何項目か.
(3) 初めから数えて,第100項目にある分数を求めよ.
(2011年度岡山理科大入試問題)
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【問題4】
 自然数の列を次のような群に分けたとき,第n群の最初の自然数はである.ただし,第n群にはn個の自然数が入るものとする.
(2016年度京都産業大入試問題)
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【問題5】
数列
を次のような群に分ける.

第1群第2群第3群第n群
(1) 第28群に入るすべての項の和を求めよ.
(2) 第nの最初の数が第何項かを求めよ.
(3) 第2016項を求めよ.
(2016年度滋賀大入試問題)
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【問題6】
1371321
591523
111725
1927
29
 右の表のように奇数が並んでいる.上からm行,左からn列にある数をam,nと表す.例えば,a2,3=15である.
(1) a1,nnを用いて表せ.
(2) 右の表のa1,nan,1を結ぶ直線上にあるすべての数の集合を第n群と呼ぶ.例えば、第3群は{7, 9, 11}である.このとき,第n群に含まれるすべての数の和をnを用いて表せ.
(3) 251は(2)で定めた第何群にあるか.また,am,n=251とするとき,mnを求めよ.
(2014年度宇都宮大入試問題)
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■[個別の頁からの質問に対する回答][群数列について/17.1.16]
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