|
【極方程式とは】
【例１】極座標(r, θ)を使って，曲線のグラフを
r=f(θ)
などの形で表したものを極方程式といいます．
θ=g(r) F(r, θ)=0 
原点を中心とする半径a (>0)（一定）の円の極方程式はr=a で表されます．
この極方程式には，見かけ上θが書かれていませんが，それは任意のθの値に対して（どんなθの値に対しても）rがaに等しいときは（また,その場合に限って）この曲線上にあるということを表しています．
r=aの方程式でθに制限がなければ，ある１つの角αに対して，θ=α+2nπは同じ位置を表すので，曲線上の点Pを決めてもθの値が１つに定まりませんが，r=a (0≦θ<2π)としておくと，θもただ１つ定まります．
この事情は，右図のようにx軸に垂直な直線の方程式をx=3と書き，方程式にはyが現れないときに，任意のyの値に対して（どんなyの値に対しても）xが3に等しいときは（また,その場合に限って）この直線上にあるというのと同様です．
【例２】原点を通り始線となす角がα（一定）である直線の方程式は θ=α で表されます．
この極方程式には，見かけ上rが書かれていませんが，上の(1)と逆に（理屈上は同様に）任意のrの値に対して（どんなrの値に対しても）θがαに等しいときは（また,その場合に限って）この直線上にあるということを表しています．
この極方程式で，通常考えられるr≧0という制限を付けると，図の青で示した半直線だけを表すことになります．赤で示した部分も表すためには，r<0の場合も考えることにし，r<0のときは，θ+π（180°回転した場所）を表すものと解釈します． 例えば，r=−2, θ=という点は，r=2, θ=の点を表すものと解釈します． |
【例３】極座標で表したときに(h, α)となる点Hを通り，線分OHに垂直な直線の方程式は r cos(θ−α)=h で表されます．
（解説）
右の図において，△POHは∠Hが直角の直角三角形で，OP=r , OH=hだから OP cos(θ−α)=h すなわち r cos(θ−α)=h が成り立ちます．（逆に，この関係が成り立つときは，点Pは図のような直線上にあります．） cos(θ−α)=cos(α−θ)なので，この関係はθ≦αの場合でも成り立ちます． 
【例４】点A(a, 0)を中心とする半径aの円の方程式は r=2a cosθ で表されます．
（解説）
右の図において，直径をOBとすると，直径の上に立つ円周角は直角になるから，△OPBは∠OPBが直角の直角三角形で，OP=r , OB=2aだから OB cosθ=r すなわち 2a cosθ=r が成り立ちます．（逆に，この関係が成り立つときは，点Pは図のような円周上にあります．） |
左の距離の公式において，次のように置き換えると得られます．
（解説）
（別の解説）
...（携帯版）メニューに戻る