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== 総和記号 Σ(シグマ)に慣れよう ==

○ 和を表わす記号Σでは,次のように「式」の形のところの「変数で指定されたものを」「初めの値」から「終りの値まで」「1ずつ増やして」できる項の「和」を表わす.
例1

k = 1+2+3+4+5 ( = 15 になる)

例2

k = 1+2+3+4+5+6+7 ( = 28 になる)

例3

k = 2+3+4 ( = 9 になる)
○ Σ記号の内部で使う「変数」は,「式」の部分と同じ文字であればよく,どんな文字が使われているかは,和を求めた結果に影響しない.(変数が,式の部分と異なる文字のときは,無関係になりむしろ簡単になる[後出:例6,7参照])
例4

k = 1+2+3+4 ( = 10 になる)


m = 1+2+3+4 ( = 10 になる)

○ 「変数」で指定された文字だけを順に増加させるものとし,それ以外の文字や定数は変化させない.

例5

5i = 5・1+5・2+5・3+5・4 (= 5+10+15+20 = 50 になる)

(この i は虚数とは関係ない.単なる内部変数として使っている.)
例6

n = n+n+n+n ( = 4n になる)


例7

5 = 5+5+5+5 ( = 20 になる)


(注) 単に と書けば 1 を表わす約束になっている.


したがって,  = 1+1+…+1 = n となる.
○ 「変数」は添字や指数などにも使われる.
例8

ak = a1+a2+a3+a4+a5


例9

2k = 21+22+23+24 = 2+4+8+16 ( = 30 になる)




○ Σ記号は積でつながっている範囲まで作用する.作用する範囲を明確にするために「かっこ」が使える.
例10

N+1 = ( 1+2+3+4+5 )+1 ( = 16 になる)


例11

( N+1 ) = ( 2+3+4+5+6) ( = 20 になる)


例12

k( k+1)=1・2+2・3+3・4+4・5+5・6=(2+6+12+20+30=70になる)


例13

( k+1 )2 = ( 1+1 )2+( 2+1 )2+…+( n+1 )2
○ Σ記号が有限個の和を表わすとき,次の性質を満たす.(和差,定数倍のΣは,Σの和差,定数倍になる)

(1)  ( ak+ bk ) = ak+ bk

(∵) 有限個の和は,並べ変えて足しても等しいから

  ( ak+ bk ) = ( a1+ b1 )+( a2+ b2 )+…+( an+ bn )

=( a1+a2+…+an )+ ( b1+b2+…+bn )

= ak+ bk


(2)  cak = c ak

(∵) 定数cをかっこでくくってもよいから

cak= ca1+ca2+…+can =c( a1+a2+…+an )=c ak


(ただし,積や商のΣはΣの積や商とは一般に等しくない.)

(たとえば)
1×4+2×5+3×6=4+10+18=32
(1+2+3)×(4+5+6)=6×15=90と等しくないのと同様に
a1b1 +a2b2 +a3b3
(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )と等しくない

(たとえば)

と等しくないのと同様に

と等しくない
○ 括弧を展開して別々に総和を求めることができる.
例14

( xk - c )2=( xk2 - 2cxk+c2 )


= xk2 - 2cxk+c2


 左欄のΣ記号に等しいものを右欄から選んでください.
はじめに左欄の問題を選択して,続けて右欄の解答を選択してください.やり直すときは,問題を選び直すことからはじめてください.
【問題1】
【問題2】
【問題3】
【問題4】


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■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号について/17.4.6]
問題1の終わりの値が全て4なのに、答えが一つだけ三つの数になっています またその影響で、問題1の上から1番目の答えと4番目の問題の答えが同じはずなのに違う判定になっています
=>[作者]:連絡ありがとう.あなたは初めの値を見ていないようです.頁の先頭にある例3をよく見てください.

であるが

です.
次に,一般項の違いですが

であるが

です.さらに

です.
■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号Σ(シグマ)に慣れようについて/16.12.5]
<Σに慣れよう1>の問3の、<一番下の問題=Σ(j+1)の2乗>ですが、答えの4の2乗は必要ないのでは? もし必要だとすればそれはなぜでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.
(j+1)2j=0を代入すると12
(j+1)2j=1を代入すると22
(j+1)2j=2を代入すると32
(j+1)2j=3を代入すると42
要するに,3+14になるからです.あなたの理解は,まだ十分ではないかも・・・
■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号Σについて/16.11.7]
例12のkが3の時の計算が抜けてる気がします 間違ってたらゴメンナサイ…
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.