■三角関数の加法定理 → 携帯版は別頁
○ 三角関数の加法定理を利用するとsin15°のような通常覚えない角の三角関数を計算によって求めることができます.
右の公式で言えば,sin(α−β)=sinα·cosβcosα·sinβ …(2)において,αとβの三角関数sinα, cosβ, cosα, sinβの値が分かればsin(α−β)の値が求められます.

【例1】
sin15°の値を求めてください.
 この問題では,コンピュータや数表を使った近似値ではなく,根号を使った厳密な値を要求しています.
 高校では,0°, 30°, 45°, 60°, 90°, ...の三角関数は覚えなければなりませんが,それ以外の角の三角関数は,通常覚えません.
 ここでは,sin15°=sin(45°−30°)のように変形することにより,三角関数の加法定理を使って既知の三角関数で表せるものを扱います.
(解答)
sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°
==
(別解)
sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45°
==
三角関数の加法定理
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ …(1)
sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ …(2)

cos(α+β)=cosα·cosβsinα·sinβ …(3)
cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ …(4)

tan(α+β)= …(5)
tan(α−β)= …(6)
※ (3)(4)の符号に注意

○次の三角関数の値は,宙で言えなければなりません.
θ30°45°60°90°
sinθ01
cosθ10
tanθ01×
※選択肢をクリックしてください.正しければが表示されてその式が代入されます.小問に分かれているときは,次の問題が表示されます.
 間違っていれば×が表示されます.
※各々4択の問題で,間違ってやり直しても数秒で正解に行き着きますので,特にHELPやヒントは付けていません.
【問1】
cos15°の値を求めてください.
に入る式を右の選択肢から選んでください.)
cos15°=cos(60°−45°)

=(1)
sin60°cos45°+cos60°sin45°
sin60°cos45°−cos60°sin45°
cos60°cos45°+sin60°sin45°
cos60°cos45°−sin60°sin45°






【問2】
sin75°の値を求めてください.

sin75°=sin(30°+45°)
=(1)
sin30°cos45°+cos30°sin45°
sin30°cos45°−cos30°sin45°
cos30°cos45°+sin30°sin45°
cos30°cos45°−sin30°sin45°






【問3】
cos75°の値を求めてください.

cos75°=cos(30°+45°)
=(1)
sin30°cos45°+cos30°sin45°
sin30°cos45°−cos30°sin45°
cos30°cos45°+sin30°sin45°
cos30°cos45°−sin30°sin45°






【問4】
sin105°の値を求めてください.

sin105°=sin(60°+45°)
=(1)
sin60°cos45°+cos60°sin45°
sin60°cos45°−cos60°sin45°
cos60°cos45°+sin60°sin45°
cos60°cos45°−sin60°sin45°






【問5】
cosπの値を求めてください.

cosπ=cos( +)
=(1)
sincos+cossin
sincoscossin
coscos+sinsin
coscossinsin






【問6】
sinπの値を求めてください.

sinπ=sin( π+)
=(1)
sinπ · cos+cosπ · sin
sinπ · coscosπ · sin
cosπ · cos+sinπ · sin
cosπ · cossinπ · sin






【例2】
90°<α<180°, 0°<β<90°, sinα=, cosβ=のとき,sin(α+β)の値を求めてください.
(解答)
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ…(1)
ここで,仮定により
sinα=, cosβ= …(2)
また,
cos2α=1−sin2α=1−=
cosα
90°<α<180°によりcosα=− …(3)
sin2β=1−cos2β=1−=
sinβ
0°<β<90°によりsinβ= …(4)
(2)(3)(4)を(1)に代入すると
sin(α+β)=+(−)=
 sinθ, cosθ, tanθのうちの1つの値が分かっているとき,残りの値を求めることができます.

sinθからcosθを求める:
sin2θ+cos2θ=1により
cos2θ=1−sin2θ
cosθ=±
±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します.
cosθからsinθを求める:
sin2θ+cos2θ=1により
sin2θ=1−cos2θ
sinθ=±
±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します.
【問7】
0<α<, <β<π, cosα=, sinβ=のとき,
sin(α−β)の値を求めてください.

sinα, cosβの値はそれぞれ(1)
となるから
sinα=, cosβ=
sinα=, cosβ=−
sinα=−, cosβ=
sinα=−, cosβ=−






【問8】
αは第2象限の角,βは第3象限の角,sinα=,
sinβ=−
のとき,cos(α−β)の値を求めてください.

cosα, cosβの値はそれぞれ(1)
となるから
cosα=, cosβ=
cosα=, cosβ=−
cosα=−, cosβ=
cosα=−, cosβ=−






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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/17.4.19]
タンジェントの練習がない
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁は sinθ,cosθ関連の基本練習までを扱っています.tanθはその次の頁に(少し)あります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/16.10.13]
本文の15行目にあるsin15°=sin(45°-30°)ですが、 45°ではなく40°になっています 修正お願いします
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.