【極座標とは】
※極座標としては通常r≧0のものを扱いますが,必要に応じてr<0となる表現も使われることがあります.r<0のときは,半径が正で偏角がθ+πの点を表すものとします.平面上の点を,原点からの距離rと始線(x軸の正の向き)からの偏角θの組(r, θ)で表したものを極座標といいます. ※中学校で習った直交座標(x,y)と極座標(r, θ)(ただし,r≧0とする.)とは,次の関係があります. [極座標→直交座標]
x=r cosθ
[直交座標→極座標]
y=r sinθ
r=
θは
cosθ=
となる角
sinθ= |
【例】 (1) 右図のA 直交座標は(1,1) 極座標は(,) (2) 右図のB 直交座標は(0,5) 極座標は(5,) (3) 右図のC 直交座標は(−2,2) 極座標は(4,) (4) 右図のD 直交座標は(0,−4) 極座標は(4,) (*) 図の点E 極座標として(3,−)のようにθ<0となる角度を使うことがあります. 一般に,θ+2nπ(nは整数)はすべて同じ偏角を表す.極座標(r, θ)→図の対応はただ1通りです. 図→(r, θ)の場合は,r , θの取り得る値の範囲を定めなければ必ずしも1つに決まりません. 通常は,r≧0とするので,rはただ1通りに決まります. また,通常は偏角を0≦θ<2πとするので,θはただ1通りに定まります. (*) 図の点F 極座標として(−2,)のようにr<0となる場合は (2,)と同じになります. |
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【問題2】次の極座標(r, θ)を直交座標(x, y)に直してください.
(正しいものを選んでください.)
(1)(2, )
解説(−,1) (−1, ) (−, ) (−, ) x=2×cos=2×(−)=−1 y=2×sin=2×()= だから,(−1, ) (2)(2, ) 解説 (2, 2) (2, −2) (−2, 2) (−2, −2) x=2×cos=2×(−)=−2 y=2×sin=2×=2 だから,(−2, 2) (3)(6, −) 解説 (3, −3) (−3, −3) (2, −2) (−2, 2) x=6×cos(−)=6×=3 y=6×sin(−)=6×(−)=−3 だから,(3, −3) |
(4)(5, θ) ただし,θは,sinθ=−, cosθ=となる角 解説 (, −) (−, ) (3, −4) (−4, 3) x=5×cosθ=5×=3 y=5×sinθ=5×(−)=−4 だから,(3, −4) |
【問題3】次の直交座標(x, y)を極座標(r, θ)に直してください.ただし,r≧0, 0≦θ<2πとします.
(正しいものを選んでください.)
(1)(0, −5)
解説(5, 0) (5, ) (5, π) (5, ) 図を考えれば明らかなように,θ= したがって,(5, ) (2)(, 1) 解説 (2, ) (2, ) (4, ) (4, ) r===2 cosθ= , sinθ=(0≦θ<2π) よりθ= したがって,(2 , ) |
(3)(−3 , 3)
解説 (3, ) (3, ) (3, ) (3, ) r===3 cosθ==− , sinθ==(0≦θ<2π) よりθ= したがって,(3 , ) (4)(2 , −2) 解説 (2, ) (2, ) (4, ) (4, ) r===4 cosθ== , sinθ=−=−(0≦θ<2π) よりθ= したがって,(4 , ) |
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