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問題1 次の空欄を埋めよ.
問題2 次の式を簡単にせよ.

■解説
 根号の計算は中学校3年で習うが,高校の数学 I でもう一度復習するようになっている.

a , b , n>0 のとき,
…(I)

…(U)

特に,…(*)
(証明)
 証明は,根号記号の定義にさかのぼって行う:
a , x>0 のとき x2=ax= と書く.
( I ) [←]  ()2=ab だから =

( II ) [←]  ( .)2= だから =


 ( I ) =

 ( II ) 

 ( * ) ( I ) を用いて,√の中で2個  → 外で1個 にする.
    ==n


    = =2
    = =4
    = =4

○  は,異なる文字 xy のように扱う.
  • (5x+4y)−(3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5+4)−(3+)=2+3
    ※ これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (+)2
    =()2+2+()2=5+2


  • しかし, のように,変形すれば根号内が同じ数になるときは,「同類項」のようにまとめなければならない.
    +=2+=3

  • 4+3=7
    4+2+2+3+5=3+5+7
    4+3 (※ これ以上簡単にならない)
    −2 (※ これ以上簡単にならない)

  • +=2+3=5

■文字式の2乗を含む根号
 以下は,受験向きの内容.教科書ではあまり扱われていない.(やや難しい)

文字式の2乗を含む根号
.=|a| … [ I ]

すなわち,=−a ( a<0 のとき)
       =a  ( a0 のとき) … [ II ]
(解説)
  ==3 であるが
  ==3 となる.
一般に,=a とは限らず,
  a0 ならば  =a
  a<0 ならば  =−a となる.
a<0 のとき,記号が - a でも,値は −(−3)=3 のように正になることに注意)
これらは,
  =|a| とまとめることができる.(ただし,これはまとめるための記号なので,[ II ]のように場合分けして答えることが多い.)
+ を簡単にせよ.
a<1 , a1 に分けて考える.
a<−1 , a−1 に分けて考える.
全体を扱うには,a<−1 ,−1a<1 , 1a に分けて考える.
ア) a<−1 のとき, =−a+1 , =−a−1
 だから (原式)= -a+1−a−1=−2a

イ) - 1a<1 のとき, =−a+1 , =a+1
 だから (原式)= -a+1+a+1=2

ウ) a1 のとき, =a−1 , =a+1
 だから (原式)=a−1+a+1=2a
問題3
 x が実数値をとって変化するとき, + の最小値を求めよ.
(答案)
ア)
x<− のとき,
=−2x+1 , =−2x−1
 だから (原式)=−2x+1−2x−1=−4x (減少する)
イ)
- x< のとき,
=−2x+1 , =2x+1
 だから (原式)=−2x+1+2x+1=2
ウ) x のとき,
=2x−1 , =2x+1
 だから (原式)=2x−1+2x+1=4x (増加)
以上により,- x のとき,最小値 をとる.
問題4  x= のとき,a で表せ.
(答案)




=


.
.