■根号の計算 ･･･半角数字（１バイト文字）で解答すること
問題１　次の空欄を埋めよ．
問題２　次の式を簡単にせよ．

■解説
○　根号の計算は中学校３年で習うが，高校の数学 I でもう一度復習するようになっている．

a , b , n>0 のとき，
···( I )
···( II )
特に， ···( * )
（証明）
　証明は，根号記号の定義にさかのぼって行う：
a , x>0 のとき x2=a ⇔ x= と書く．
( I ) [←] 　()2=ab だから =

( II ) [←] 　 だから

例
　( I )　=

　( II )　

　( * )　( I )　を用いて，√の中で２個　 → 外で1個　にする．
　　　　==n

　　　　= =2
　　　　= =4
　　　　= =4

○　 や は，異なる文字 x や y のように扱う．
  • (5x+4y)−(3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5+4)−(3+)=2+3
    ※　これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (+)2
    =()2+2+()2=5+2

  • しかし， と のように，変形すれば根号内が同じ数になるときは，「同類項」のようにまとめなければならない．
    +=2+=3

 例
  • 4+3=7
    4+2+2−+3+5=3+5+7
    4+3　（※　これ以上簡単にならない）
    −2　（※　これ以上簡単にならない）

  • +=2+3=5

■文字式の２乗を含む根号
○　以下は，受験向きの内容．教科書ではあまり扱われていない．（やや難しい）

文字式の２乗を含む根号
.=|a| … [ I ]

すなわち，=−a　（ a<0 のとき）
　　　　　　 =a　 （ a≧0 のとき） … [ II ]
（解説）
　　==3 であるが
　　==3 となる．
一般に，=a とは限らず，
　　a≧0 ならば 　=a
　　a<0 ならば 　=−a となる．
（ a<0 のとき，記号が - a でも，値は −(−3)=3 のように正になることに注意）
これらは，
　　=|a|　とまとめることができる．（ただし，これはまとめるための記号なので，[ II ]のように場合分けして答えることが多い．） 		例 +　を簡単にせよ．
は a<1 , a≧1 に分けて考える．
は a<−1 , a≧−1 に分けて考える．
全体を扱うには，a<−1 ,−1≦a<1 , 1≦a に分けて考える．
ア） a<−1 のとき， =−a+1 , =−a−1
　だから　（原式）= -a+1−a−1=−2a

イ） - 1≦a<1 のとき， =−a+1 , =a+1
　だから　（原式）= -a+1+a+1=2

ウ） a≧1 のとき， =a−1 , =a+1
　だから　（原式）=a−1+a+1=2a
問題３
　x が実数値をとって変化するとき， +　の最小値を求めよ．
（答案）
ア）
x<− のとき，
=−2x+1 , =−2x−1
　だから　（原式）=−2x+1−2x−1=−4x　（減少する）
イ）
- ≦x< のとき，
=−2x+1 , =2x+1
　だから　（原式）=−2x+1+2x+1=2
ウ） x≧ のとき，
=2x−1 , =2x+1
　だから　（原式）=2x−1+2x+1=4x （増加）
以上により，- ≦x≦ のとき，最小値 をとる．
問題４ のとき，をa で表せ．
（答案）




=


■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／17.6.21］
中学校レベルの質問ですが、例えば2.5√5など√の前に小数がつくのは大丈夫ですか？よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．係数が小数になる根号はあまり見かけないようですが の形で表される数について，a , bのいずれも「何でもあり」です．
係数が小数（分数）の場合の例：
根号内が小数の場合の例：
係数も根号の場合の例：
根号内が負の数の場合は，高校で習う虚数になります：