■根号の計算
問題１　次の空欄を埋めよ．
問題２　次の式を簡単にせよ．
■解説
○　根号の計算は中学校３年で習うが，高校の数学 I でもう一度復習するようになっている．

a , b , n>0 のとき，
.= ···( I )

. = ···( II )

特に，=n ···( * )
（証明）
　証明は，根号記号の定義にさかのぼって行う：
a , x>0 のとき x2=a ⇔ x= と書く．
( I ) [←] 　()2=ab だから =

( II ) [←] 　( .)2= だから =
例
　( I )　=

　( II )　 =

　( * )　( I )　を用いて，√の中で２個　 → 外で1個　にする．
　　　　==n

　　　　= =2
　　　　= =4
　　　　= =4

○　 や は，異なる文字 x や y のように扱う．
  • (5x+4y) - (3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5+4) - (3+)=2+3
    ※　これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (+)2
    =2+2+2=5+2

  • しかし， と のように，変形すれば根号内が同じ数になるときは，「同類項」のようにまとめなければならない．
    +=2+=3

 例
  • 4+3=7
    4+2+2 - +3+5=3+5+7
    4+3　（※　これ以上簡単にならない）
    - 2　（※　これ以上簡単にならない）

  • +=2+3=5
■文字式の２乗を含む根号
○　以下は，受験向きの内容．教科書ではあまり扱われていない．（やや難しい）

文字式の２乗を含む根号
.=|a| … [ I ]

すなわち，=−a　（ a<0 のとき）
　　　　　　 =a　 （ a≧0 のとき） … [ II ]
（解説）
　　==3 であるが
　　==3 となる．
一般に，=a とは限らず，
　　a≧0 ならば 　=a
　　a<0 ならば 　= - a となる．
（ a<0 のとき，記号が - a でも，値は - ( - 3)=3 のように正になることに注意）
これらは，
　　=|a|　とまとめることができる．（ただし，これはまとめるための記号なので，[ II ]のように場合分けして答えることが多い．） 		例 +　を簡単にせよ．
は a<1 , a≧1 に分けて考える．
は a< - 1 , a≧ - 1 に分けて考える．
全体を扱うには，a< - 1 , - 1≦a<1 , 1≦a に分けて考える．
ア） a< - 1 のとき， =−a+1 , =−a−1
　だから　（原式）= -a+1−a−1=−2a

イ） - 1≦a<1 のとき， =−a+1 , =a+1
　だから　（原式）= -a+1+a+1=2

ウ） a≧1 のとき， =a−1 , =a+1
　だから　（原式）=a−1+a+1=2a
問題３
　x が実数値をとって変化するとき， +　の最小値を求めよ．
（答案）
ア） x<− のとき，
=−2x+1 , =−2x−1
　だから　（原式）=−2x+1−2x−1=−4x　（減少する）

イ） - ≦x< のとき，
=−2x+1 , =2x+1
　だから　（原式）=−2x+1+2x+1=2

ウ） x≧ のとき，
=2x−1 , =2x+1
　だから　（原式）=2x−1+2x+1=4x （増加）

以上により，- ≦x≦ のとき，最小値 をとる．
問題４ 　x= のとき， を a で表せ．
（答案）
=

=__=

==

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