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== 位置ベクトルの応用 ==

◇公式の要約◇
2点 A( ) , B( ) を結ぶベクトル は, =

○補足説明

 記号 A( ) は,関数の記号 f(x) とは無関係。
平面の座標を表わすときに,「点 A,その座標を (3 , 4) とおく」というのを A(3 , 4) と書くのと同様にして,
「点A,その位置ベクトルを とおく」というのを単に,点 A( ) と書く。


【注意】  = ではない!
2点 A( ) , B( ) の中点 M の位置ベクトル は,


=

○補足説明

2点 A( ) , B( ) を結ぶ線分 AB m : n に内分する点 P の位置ベクトル は,
=

○補足説明

ABC の頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 とすると,△ABC の重心 G の位置ベクトルは,


=

○補足説明




■ 問題 次の空欄を埋めなさい。

(1) △ABC の線分 AB,BC,CA の中点を各々 L,M,N とする。△ABC の重心 G と△LMN の重心 G ’ は一致することを証明しなさい。
(証明)
A,B,C の位置ベクトルを各々 とおくと,重心 G の位置ベクトルは,

= ・・・(ア)

L,M,N の位置ベクトルは各々

, ,
だから,

重心 G ’の位置ベクトルは,


== ・・・(イ)

(ア)(イ)より G , G’ の位置ベクトルが等しいから G , G’ は一致する。

(2) ABC 頂点 A,B,C の位置ベクトルを各々 , , とするとき,右の空欄を埋めなさい。
線分 AB を2:1に内分する点を P,線分 CA の中点を Q とするとき,P , Q の位置ベクトル , を, , , で表わすと

= , =

で表わすと,

==


(3) ABC と点 P について

+2+3=2

が成り立っているとき,点 P はどのような点か。
A , B , C , P の位置ベクトルを各々 とおくと,
( ) + 2() + 3( ) = 2( ) より,
+ 2 + 3 = 2−2
= となるから,PAC

(4) ABCと点 P について

2+ 3+ 4=

が成り立っているとき,点 P はどのような点か。
A,B,C,P の位置ベクトルを各々 とおく。
2( - )+ 3( - )+ 4( - )= より,

=


= と変形すると,

線分 AB に内分する点を D とするとき,
線分 DC に内分する点が P となる。



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