| ◇このページの構成◇ １． 予備的考察･･･重要な極限値 e （自然対数の底，ネイピア数）の定義 ２． 指数関数，対数関数の導関数 ３． 極限値の計算問題 ４． 指数関数，対数関数の微分計算 |
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| １．予備的考察･･･自然対数の底 e（ネイピア数）の定義 ○ 指数関数 y=ax ( a>0 ) や対数関数 y=logax ( a>0 ,a≠1 ) の導関数を，導関数の定義に従って求めると，右の(2)(3)のような極限値に行き着く． ○ これらの極限値は，次の極限値で表わすことができる． (1+) n この極限値は，次のグラフから見当がつくように約 2.7 となる定数で，自然対数の底（またはネイピア数）と呼ばれ，πと並んで有名な無理数（循環しない無限小数）となっている． （もう少し詳しい値は，e=2.71828… である．） 
自然対数の底 e（ネイピア数）の定義：
(1+) n=e=2.71828 … …(1) |
○ y=ax ( a>0 ) → y’== =ax …(2) ○ y=logax ( a>0 ,a≠1 ) → y’= = = ==loga(1+t) …(3) ※ 左の極限値 e から，次の極限値が求まる． (1−)−n=( )−n =( )n =(1+)n =(1+)n−1(1+)=e …(4)
(1)(4)より，(1+)x=(1+)x=e …(5) (5)より，(1+h) =e …(6) (6)より，(3)が求まる． loga(1+t) =logae …(7) (7)より，y=logax ( a>0 ,a≠1 ) → y’=logae ここで，対数の底の変換公式を用いると logae== となるから y=logax ( a>0 ,a≠1 ) → y’=…(9)が得られる． |
| ２. 指数関数，対数関数の導関数 上で定義した極限値 e を用いると，指数関数，対数関数の導関数について，次の公式が得られる． ○ 対数関数の導関数
y=logex ( e は自然対数の底) → y’= …(8) y=logax ( a>0 ,a≠1 ) → y’= …(9) ○ 指数関数の導関数 y=ex → y’=ex …(10) y=ax ( a>0 ) → y’=ax log a …(11) ※ 現行(2007現在)の数学IIIの教科書では，右のような極限計算の多用を避けて，次のように対数微分法によって(8)(9)から(10)(11)を導くものが多い． y=ax ( a>0 ) → log y= x log a 両辺を x で微分すると (log y)=(x log a) z=log y として，合成関数微分法を用いると ===log a ゆえに，y’=y log a=ax log a …(11)が得られる (11)においてa=e とおくと(10)が得られる． |
※ 以後 e を底とする対数（自然対数）がしばしば登場し，底 e を省略して，単に log x などと書く．［微分積分などにおいて底が省略されていれば，底は e となる．］ y=log x → y’= (9)において a=e とおくと(8)が得られる． ※ (11)は次のように示される： (2)において，ah−1=t とおくと， h→0 のとき，ah→1 だから，t→0 また，ah=1+t だから，h=loga(1+t) === ===log a となるから y=ax ( a>0 ) → y’=ax log a (11)においてa=e とおくと(10)が得られる． |
