■累乗根
≪はじめに≫
簡単に言えば，累乗根は累乗の逆を表します．（累乗は２乗，３乗，４乗，…の総称です．累乗根は２乗根，3乗根，４乗根，…の総称です．）
例
32=9 → =3 …(*)
53=125 → =5
24=16 → =2

は２乗根と呼ばれます．
は３乗根と呼ばれます．
…
はｎ乗根と呼ばれます．

※中学校のときには，平方根はプラスとマイナスの２つあるということを強調するために，aの平方根は±，aのルートはというように厳格に区別しましたが，高校では単にをｎ乗根というだけです．

とても珍しい
(*) 累乗根記号で「手のひら」の部分に数値が書かれていないものは，ルート（２乗根のうちの正の値）を表します．

=
　
　これは，中学校で習ったとき以来の約束事ですが，ここでは，のように省略されたら， でもなく でもなく を表すということが重要．

　すぐ後で述べるように，この数字は「分数の指数」に直したときに分母になります．
•a>0であってnが正の偶数のとき，
xn=a →２つの実数xがこの方程式の解になります．
そのうちの正の実数はで表されます．
負の値の方は−で表されます．
•a>0であってnが正の奇数のとき，
xn=a →ただ１つの正の実数xがこの方程式の解になります．
この正の実数はで表されます．
•a<0であってnが正の偶数のとき，
xn=−a →この方程式には実数解xはありません．
•a<0であってnが正の奇数のとき，
xn=−a →ただ１つの負の実数xがこの方程式の解になります．
この負の実数はで表されます．
•a=0のときは，nが偶数であっても奇数であっても
xn=0 → x=0です．
=0（１つの値になります．）
以下においては，累乗根の根号内は正の数だけを考え，その正の累乗根だけを考えます．
したがって，nが偶数でも奇数でも各々のa, nに対しては，ただ１つの正の実数を表します．
（右図の青で示した○の部分）
次の図から分かるように，y=xnのグラフは，nが偶数の場合と奇数の場合で違う形になります．このため，y=xnの逆（a=xnとなるようなxの値を求める操作）は偶数の場合と奇数の場合で分けて考える必要があります．
≪ｎ乗根の計算法則≫
ｎ乗根の根号内がｎ以上のときは，累乗根の記号を簡単にすることができます．
=a
bが整数のｎ乗の形に書けないとき
=a
（解説）
累乗根の定義から
xn=a → x=
したがって
x=a (a>0)のとき
xn=an → x=
∴=a

 例
(1)==2
(2)==2
（累乗根記号で「手のひら」（♪〜これはこの教材の中だけの言い方．全国共通ではないので注意．）の数字が省略されているものは２乗根を表します）
(3)===2
(4)==5
(5)==2
(6)==2
問題次の累乗根を簡単にしなさい．
※半角（1バイト文字）数字で記入しなさい．
(1) =
採点するやり直す
(2) =
採点するやり直す
(3) =
採点するやり直す
(4) =
採点するやり直す
(5) =
採点するやり直す
(6) =
採点するやり直す
学習意欲をそぐような気の利かない発言で申し訳ないことですが，累乗根の計算規則に深入りする必要はなく，以下の例題程度が分かればＯＫです．
というのは，学校で教えるときでも，卒業してからでも，累乗根に力を入れることはまれで，別の頁で述べるように，分数（有理数）の指数が使えたら累乗根は不要だからです．
≪累乗根の計算規則≫
a>0, b>0であってm, n, pは正の整数とする
(1)= …(1)
ｎ乗根をまとめたり分けたりしてよい
(2)= …(2)
ｎ乗根をまとめたり分けたりしてよい
(3)( )m= …(3)
ｎ乗根と根号内のｍ乗はどちらを先に計算してもよい
(4)= …(4)
ｎ乗根のｍ乗根は１つのｍｎ乗根で書ける
(5)= …(5)
ｎ乗根と根号内のｍ乗は「約分」と同様の扱いができる
（証明）
(1)←
x=とおく
このとき xn=()n=ab
累乗根の定義によりxn=a → x=
x=
したがって=
同様にして(2)も示される．
(3)←
x=()mとおく
このとき xn=()mn=(()n)m=am
累乗根の定義により xn=a → x=
x=
したがって ( )m=
 例
(1)=
(2)=
(3)( )4=
(4)=
(5)=


(4)←
x=とおく
このとき xmn=()mn=(()m)n
()m=だから
xmn=()n=a
y=とおく
このとき ymn=()mn=a
したがって x=y (x, y>0)
=
(5)←
x=とおく
このとき xnp=()np=amp
y=とおく
このとき ynp=()np=(()n)p=(am)p=amp
したがって x=y (x, y>0)
=
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