■ 次数の方程式
○ 次の答案で( ？ )の箇所に入る式を右の欄から選びなさい．
はじめに，( ？ )を選び，次に式を選びなさい．合っていれば確定し，間違っていれば元に戻る．
（習っていないと難しいので，歯が立たないときは下端の【考え方】を先に読むとよい）
| 【答案】 |
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| 【考え方】 関数 f(x) , f ’(x) の方程式から f(x) を求める問題は，数学IIIの微分方程式で扱われるが，f(x) が多項式であることが分かっているときは，単に次数 n の方程式を解けば求められることがある． 【解き方１】
f(x) は n 次式として，両辺の次数からn を求める． |
例１ 次の関係を満たす多項式 f(x) を求めよ． f(x) が定数のときは成り立たない． f(x) を n （≧1）次式とすると，左辺の項は各々n 次，n - 1次だから，最高次は n 次． 右辺の次数は 2 次． ゆえに，n=2 f(x)=ax2+bx+c （a≠0）とおいて，原式に代入すると， （左辺）=ax2+(2a+b)x+(b+c) （右辺）=2x2+x - 2 係数を比較すると，a=2 , b = - 3 , c=1 ゆえに，f(x)=2x2 - 3x+1···（答） |
| 問題の形によっては，次数 n だけではうまくいかないことがある．このときは， 【解き方２】
f(x) の最高次の項を，axn として，a , n を求める． なお，次の関係に注意 【指数法則】
例えば，xnxn - 1=x2n - 1 ，(xn - 1)2=x2n - 2xmxn=xm+n ，(xm)n=xmn |
例２ 次の関係を満たす多項式 f(x) を求めよ． f(1)=6···(2) 1) f(x) が2次以上のとき， f(x) の最高次の項を axn （a≠0）とすると， (1)より， 左辺の最高次の項は，2axn 右辺の最高次の項は，naxn これらが等しいから，na=2a → (n - 2)a=0 （a≠0） ゆえに，n=2 f(x)=ax2+bx+c （a≠0）とおくと， 2ax2+2bx+2c=2ax2+(b+2)x+6 b=2 , c=3 このとき，f(x)=ax2+2x+3 が(2)を満たすためには，a=1 ゆえに，f(x)=x2+2x+3 2) f(x) が1次以下のとき，f(x)=ax+b とおくと， (1)より 左辺=2ax+2b 右辺=(a+2)x+6 a=2 , b=3 f(x)=2x+3 は(2)を満たさない． 1) 2)より，f(x)=x2+2x+3···（答） |