リンク切れを起こしてる場所が100カ所以上あり読み進めることができない状況です。訂正していただけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前後の回答を見ていただけるとわかりますように，統計分野の書き換えはこの秋頃になります.
　Googleの数式表示サービスが，止まっているようで筆者も困っています．現在，�@GoogleAPIsが突然サービスを停止すると影響は大きいです．なお，�AMathMLの方は，昔はMathPlayerのプラグインをインストールするなど紆余曲折があったようですが，2009年ごろからjsMathに吸収され，MathaJaxとしてやっているようで，当教材では，�@がだめなら�Aで表示するように書き換え作業中です．高校数学�T，Aの辺りまで進んでいますが，数学�Vとか中学数学まで書き換えるには，今年一杯かかるでしょう--1ページ辺りの数式が平均で200ほどあって，全部で数千ぺージあり，バッチ処理も無理なようです．

等比数列のところに？マークでて文章が理解出来ません。 訂正よろしくおねがいします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前後の回答を見ていただけるとわかりますように，数学Bの書き換えはこの夏頃になります

解説が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説が必要な問題には，解説がついています．はじめの数題については，それ以前の本文に書いてあります．

貴サイトをchromeで利用しているものです。 いつも私の数学勉強にためになっているので本当にありがたいですが 最近、御覧の写真のように一部の項目ごとにこんな草原みたいなおかしな写真がかかりあるはずの文字と数字が見えません。それで、重要なところが見えないせいでちゃんと理解して勉強にならなくて邪魔になって困っております。 で、これはどうすればいいのか教えていただきたいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Googleの数式表示サービスが，止まっているようで筆者も困っています．現在，�@GoogleAPIsが突然サービスを停止すると影響は大きいです．なお，�AMathMLの方は，昔はMathPlayerのプラグインをインストールするなど紆余曲折があったようですが，2009年ごろからjsMathに吸収され，MathaJaxとしてやっているようで，当教材では，�@がだめなら�Aで表示するように書き換え作業中です．高校数学�T，Aの辺りまで進んでいますが，数学�Vとか中学数学まで書き換えるには，今年一杯かかるでしょう--1ページ辺りの数式が平均で200ほどあって，全部で数千ぺージあり，バッチ処理も無理なようです．

分かりやすく参考になります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご利用の時間帯に，GoogleAPIsが利用できたということでしたら，それは幸運です

等比数列の説明文，問題文に？マークが出てこまってます 対応よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Googleの数式表示サービスが，止まっているようで筆者も困っています．現在，�@GoogleAPIsが突然サービスを停止すると影響は大きいです．なお，�AMathMLの方は，昔はMathPlayerのプラグインをインストールするなど紆余曲折があったようですが，2009年ごろからjsMathに吸収され，MathaJaxとしてやっているようで，当教材では，�@がだめなら�Aで表示するように書き換え作業中です．高校数学�T，Aの辺りまで進んでいますが，数学�Vとか中学数学まで書き換えるには，今年一杯かかるでしょう--1ページ辺りの数式が平均で200ほどあって，全部で数千ぺージあり，バッチ処理も無理なようです．

「mathjax対応」になっているようですが、mathjaxの構文が表示されているだけで一向に数式が表示されません。このページの確認をお願いいただけますでしょうか。(閲覧時のブラウザ：PCのMicrosoftEdgeおよびスマホ)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日の同じ事情のようで，．Googleの数式表示サービスが，正常に作動していないようです．（ヒラケゴマに相当する呪文の忘れのほか，一部記入ミスがあるようです．今から作業を行います．明日ぐらいには復旧するかも？）（書き換えました．ブラウザにキャッシュデータが残っていますので，再読み込み［リロード↺］してください．）

空間ベクトルの章において説明文および問題文に？マークが出ています、その為内容が理解出来ません、宜しくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日の同じ事情のようで，．Googleの数式表示サービスが，正常に作動していないようです．（今から作業を行います．明日ぐらいには復旧するかも？）

このページに公式が表示されないようですね。chromeもmicrosoft edgeもそうです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日の同じ事情のようで，．Googleの数式表示サービスが，正常に作動していないようです．（書き換えました．ブラウザにキャッシュデータが残っていますので，再読み込み［リロード↺］してください．）

ベクトルの差の問題でへんな？マーク出て計算が出来ません、よろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日の同じ事情のようで，．Googleの数式表示サービスが，正常に作動していないようで，このページもなるべく速くMathajax方式に書き換えます．（書き換えました．ブラウザにキャッシュデータが残っていますので，再読み込み［リロード↺］してください．）

3年前から本サイトを閲覧して数学の再勉強をさせて頂いています。数日前から本項目で四角に山、雲の図に置き換わって表示されない箇所が多数発生しています。他の項目でも同様になっている箇所が有ります。どの様な原因でこうなるのでしょうか。困っています。対処法の連絡お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昨日の同じ事情のようで，今日もGoogleサイトはサイバー攻撃を受けて，トラッフィクが渋滞しているようです．数式表示を�@Google APIsで表示する �Aそれができない場合は，MathJax(MathML)で表示する　の２段階表示に書き換える作業は，現在，数学�Tの正弦定理，余弦定理付近までできました．数学�Uの対数の書き換えは，数週間先の予想です．（Googleのトラッフィクグラフで言えば，日本側のトラフィックが比較的すいているのは，日本時間では午前4時±3時間のようで，アメリカ側のトラフィックが比較的すいているのは，日本時間では午後6時±3時間のようです.）
　とりあえず，対数関係の2ページを先に書き換えるよう予定を組みます．（書き換えました．ブラウザにキャッシュデータが残っていますので，再読み込み［リロード↺］してください．）

ちょっとした時間に、証明を読んだり練習問題をしたり、たのしんでいます。しかし最近？マークが多くてとても読める状態ではありません。改善できるものなら直して頂きたいと思っています。他の項でも同じような状態のがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今日もGoogleサイトはサイバー攻撃を受けて，トラッフィクが渋滞しているようです．数式表示を�@Google APIsで表示する �Aそれができない場合は，MathJax(MathML)で表示する　の２段階表示に書き換える作業は，現在，数学�Tの正弦定理，余弦定理付近までできました．数学�Uの対数の書き換えは，数週間先の予想です．（Googleのトラッフィクグラフで言えば，日本側のトラフィックが比較的すいているのは，日本時間では午前4時±3時間のようで，アメリカ側のトラフィックが比較的すいているのは，日本時間では午後6時±3時間のようです.）（書き換えました．ブラウザにキャッシュデータが残っていますので，再読み込み［リロード↺］してください．）

このページに限らずですが、最近選択肢や数式の部分が全て表示されず、画像に☓マークみたいなのが付きます（携帯版も同様。ブラウザ変えるのも試してみました）。 何回か読んだり別の時間で見ると出るときもあるのですが、お心あたりありませんでしょうか？（最近は出ないことのほうが多いです）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2024.01.04, 01.11, 04.01, 04.02など，おそらく，googleのサイトがDDOS攻撃のようなサイバー攻撃を受けていて，トラフィックが渋滞しているため数式がうまく表示されていない可能性があります．
　私の教材では，分数や根号などの数式を表示するために，Google APIsを使用していますので，Googleのサイトにおいてトラッフィックが渋滞すると数式が返されません．2024年に入ってから，この現象が時々みられるようになりましたので，高校数学のメニュー画面に表示していますように，�@Google APIsで表示する �Aそれができない場合は，MathJax(MathML)で表示する　の２段階表示に書き換える作業を行っています．できたものは，メニューページで□印が付いています．現在，数学�Tの三角比のあたりまで来ていますが，数学�Vまで達するのは，今年一杯要すると思われます．
（なお，上記の�@�Aの方式を両用しているサイトは，他に見つかりませんので，原因と対処方法について書かれた記事は見つかりませんでした．）条件付き確率のページについて，特に要望がありましたので，本日中に優先的に�@�A両用方式に書き換えます．（書き換え完了．なお，前に一度読んでいる場合は，キャシュメモリにあるデータが表示されるので，再読み込み(⟳)してください）�Aを優先にしても，DDOS攻撃を受けた場合の結果は同じになりますが，両方が同時に攻撃される可能性は少ないという判断です．

１−１の極小値のxの値が違う
＝＞［作者］：あ゛_＃＆∀〜，間違いでしたので，訂正しました

問題2(2)は初項が10となっているので答えは1162じゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その間違いは，よくある危険な落とし穴です．すなわち


だから

です

ではありません

自分のミスしやすい問題が分かりました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう

２次曲線(復習と入試問題)を読んで疑問に感じたことを書きます。・例題３(1)の問題と例題１の問題が同じなので、別例題を希望します。 追加 【問題4】解答の�A、�C式のｘ範囲は、０＜＝ｘ＜＝６では 別解２の式の展開について、３つ目のイコール式 5cos^2Θ-9+4(shin^2Θ+ cos^2Θ)は、9cos^2Θ-9+4(1-cos^2Θ)の方がわかりやすいと思います。 最後のイコールの式5cos^2Θ-5は、-5(1-cos^2Θ)=-5sin^2Θの方がわかりやすいと思います ・（放物線の方程式 .の証明） 初めに，準線上の点Hと原点P(x, y) ⇒原点は動点では 　 例題６（２） (2) 　x^2=-4x ⇒　-4xは-4yでは 問７ 灰色で示した交点のx座標は、・・・ (√3/2,1) (√3/2,√3/2)では 【�V.1 接線の公式】 ・双曲線の下側の式　分子のx^2, y^2 ⇒　xx1,yy1では ・（接線の公式：証明）上から８行目 （習わない）生徒もいるので，(B)のように微分を前提とせずに証明する方法もある．場合によっては，(C)でもよい． （B）、（C）の説明が見当たりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例題３(1)は書き換えました.後半のご指摘は，当為（こうあるべきだということ）の話ではなくて，好みの問題でしょう．
・（放物線の方程式 .の証明）以下：直せるところは直しました．(B)(C)は検討中です

問題２−２の解説が間違っている
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あ゛〜，間違いでしたので，訂正しました

とても分かりやすく このようなサイトは ほかにないから とても便利
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者なりにわかる範囲でまとめたものです．なお，今年の京大入試数学で理系4番の問題は，コラッツ予想を材料として数列問題にしたもののようにも見える．

今まで全然分からなかったのに、このサイトはすごく分かりやすかったです！ 例2で、問題文はxのところが解答ではxの二乗になっていました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例2は訂正しました．

とてもわかりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

本当にどの単元も勉強に役立っています！！ありがとうございます。 問題2の(4)の答えは4πですがπを押さないと正解になりませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題2の(4)の答えが間違っていましたので訂正しました．

問題4の2項の解説の単純展開って理解できません なぜ(aX2+bX2+cX2)の多項式が3個があって3 (aX2+bX2+cX2)になるのか教えてくれませんか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学校1年の１学期に習う「文字式」という単元で，「文字の部分が同じ式の和差は，係数の部分をまとめて書く」という約束事があります．
だから 本当に，こういうことを尋ねているのですか？

いつも楽しく読ませていただいています。 気になったことをいくつか書きます。 B］ 双曲線の図では 「]※双曲線は特別ということではありません．」から９行下の3π/2<θ<πときは，青で示した点P⇒π/2<θ<3π/2ではないでしょうか？ １行下のπ/2<θ<3π/2⇒3π/2<θ<2πではないでしょうか？ それから、※≪ｘｙ直交座標(このページ)の離心率との関係≫ 1)の式　r=qe/1-e<0の分子ですが、一番最初に描かれている図（［B］ 双曲線の図では）AF＝aだから、(p+q)eではないでしょうか？ 2)の式も同様に (p+q)eではないでしょうか [D] 頂点O(0, 0)，焦点F(p, 0)，準線x=−pの放物線 上から９行目の（解説はこのページ）のリンクが切れています。 上から15行目の「このとき，∠HF’F=θと」⇒∠F’HF=θではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違い箇所は訂正しました（ご指摘の通りとは限りません）．1)の式，2)の式　はご指摘の意味が分かりません．

sin２35。＋sin²125。式の値の求め方を教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご質問の内容は，そのページの内容とはほぼ関係なく，三角関数の値の計算のことのようです．書き方が?ですが，
の求め方が質問内容ですか？

ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題6の解答で、2x=3x+bの部分の3xの文字は3aではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました.

重解となった固有値から固有ベクトルが２つ求められることがありますが、その条件・解き方も載せていただけるとありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一応の回答は用意しますが，どのレベルの方がどんな状況で質問しているのかによって，その回答に意味・価値があるかどうか？
　まず，質問は２次の正方行列Aについての話だとします．この場合，�@固有値λが重解 �A固有ベクトルが２つ（は１次独立）であるとき
�Aにより，だから，任意の定数k, lについて， すなわち，平面全体の像が原点となる．
　逆に，平面全体が原点に移される１次変換の行列は零行列Oだから，この条件を満たすのはすなわちつまりAが単位行列の定数λ倍である場合に限られる．
この逆，すなわち，のとき，任意のに対して，は明らか
　この話は，２次の正方行列Xによって，原点に移されるベクトル（核）の次元dim(Ker(X))と行列Xの階数rank(X)の和が，正方行列Xの次元nに等しい
dim(Ker(X))+rank(X)=n
という重要公式と関係がある．今の問題では，dim(Ker(A−λE))=n=2だから，rank(A−λE)=0つまりA−λEは零行列，A=λEとなる．
（※筆者は，物理学科卒で，相対性理論の履修で幾何学の単位を，統計力学の履修で統計の単位を「読み替えとして」もらったので，線形代数は相当あやしい．何かに使う場合は，「核」「階数」「固有ベクトル」「生成」といった用語を軸としてgoogle検索・裏付けをお忘れなく）

回答の送信の仕方がわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページは，採点機能を付けたぺージではありませんので，正解率などを送信するようにはなっていません．正解は，画面に書いてあります．質問・意見は送れています．

内積が値なのに、外積がベクトルな理由がわからない。 足し算は交換法則や零ベクトルとの和が等しい、掛け算は交換法則や単位ベクトルとの積が等しいみたいな、足し算と掛け算の最低限のルール的なのがあったと思うけど、 内積の答えをベクトルにしたり、外積の答えを値にしちゃうとこれらのルール成り立たなかったりするのだろうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．普通に数学の先生にその質問をすれば「それは定義だから」という完全に正確な回答が返されるはずですが，正確ではなくてもモヤモヤ感をくすぐれる回答を考えてみると．
　そのように定義して「矛盾はないのか」「使い道はあるのか=便利になることがあるのか」という観点から見てみると，筆者が思いつくのは物理学への応用で，3次元空間でのエネルギーや回転モーメントは，各々内積と外積に対応しており，これらで表すととても便利だと言えます．力学や電磁力学の重要法則は，これらを使って表される．ここで覚えておくと，後日にお楽しみがありますよ．ここで覚えておかないと，後日は茨の道が待っている･･･みたいな話になる．

こちらのページの問題3、問題4の模範解答の答えが間違っています。 - 問題３：正答は9/5なのにさらに計算して1となってる - 問題４：正答は-17/3なのに17/3となってさらに計算して1となってる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．コピペで答案の形を引きずったら，前の問題の中身も付いて来ていたというよくあるミスでしたので，訂正しました．

「＜三角関数の定積分での所、公式（6）での「12.3」辺りに該当するのでしょう か？＞　添付ファイル：にある”両辺を2xにそろえる”が解りません。どんな計算を する為の何の為の処理なのかをお教え下さい。お願いします。」 で、高校数学の基本問題サイトから質問している斉藤です。 以前(2020年)にも質問で、勝手が解らずメールアドレスまで記載して行った時があ り、その際返信を貰いました経緯でアドレスを知っております。 今解らない問題は、計算過程での遣り方についてです。 添付ファイルをご覧下さい。 該当箇所は、高校数学�V＞＞定積分の所での“三角関数の定積分　公式（6）での 「12.3」”になると思えましたが、御説明頂きたい部分がありまして、お願いしま す。 添付ファイルは、オーム社「マンガでわかるフーリエ解析でのp146の内容　sinxcosx を0から2πまで積分する」です。ここでの説明：”両辺を2xにそろえる”という操作 が解らず探している所なのです。 どうか、丁寧にお教え下さい。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：質問の意味が分かりました．そのような答案は「大学で，そこそこ分かっている学生向けに，分かっている教員が」言う教え方で，高校では普通はそういう教え方はしません．次の公式を覚えるだけです．積分定数が省略されていることからも分かるように，その教材は「分かっている人向け」です．（証明は両辺を微分すればできる）

これにより，直ちに
...(*1)
※その教材では，高校で「置換積分」として教えることを，置換積分という言葉を使わずに書いてあります．すなわち，次の(*0)が分かっているものとして，(*0)から上記の(*1)を，(*2)以下のように解説するのが普通です．
...(*0)
(*2)：(*0)→(*1)の導き方
とおくと，

いつもお世話になっております。 こちらの「数と式」のセンター共通の携帯版のページでは、「解説を読む」を押しても何も開かなくなってしまっているようです。 パソコンで「数と式」の「PC用」のページに飛んで「解説を読む」を押すと問題なく開きます。また、同じ「携帯版」のページであったとしても、「二次関数」の「センター試験問題」の解説は、問題なく開きます。 ご確認いただけますと幸いです。 お忙しい中申し訳ございませんが、よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムの書き方について，初歩的なミスがありましたので，訂正しました. なお，既に1回読んでいる場合，コンピュータのキャッシュメモリにあるデータが表示されるので，積極的に再読み込み（リロード）しないと表示が変わらないようです．

フーリエ三角関数積分で添付ファイル：にある”両辺を2xにそろえる”が解りません。どんな計算をする為の何の為の処理なのかをお教え下さい。お願いします。＜三角関数の定積分での所、公式（6）での「12.3」辺りに該当するのでしょうか？＞
＝＞［作者］：どのページの話をしておられるのか，通じません．この教材で「添付ファイル」を使っているページは，積分の項目にはありません．フーリエ三角関数積分という項目もありません．どこか，他の教材にすべき質問を，間違ってこの教材に質問しているのではありませんか．それとも，単なるパロディですか？

問1について、解説にある-√3+iの極形式への変形で,cosの符号が逆な気がします.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．変形が5行あるので，どの箇所をご指摘なのかが，はっきりしませんが，よくある間違いとして
cosθは，偶関数 ⇔ f(−θ)=f(θ) すなわち
cos(−θ)=−cosθ ←間違い
cos(−θ)=cosθ ←正しい
は，大丈夫ですか？

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

解く上で何も問題はありませんでしたがまとめの問題(1)の答案で、真数条件のx+7>0がx+>0になっていました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

めちゃくちゃわかりやすかったです。ありがとうございます！！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

お忙しいところ申し訳ありません。画像のリンクが切れているようですが、今後、修正されますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．1月4日と同様，Googleが数式表示サービスを停止していたようです．筆者の方でも数式が表示されませんでした．（なぜか，androidでは表示されました.）追伸：１月10日の朝，起きたら直っていました．
　［参考］例えば，GoogleのサイトがDDOS攻撃を受けてトラフィックが渋滞しているような場合にも対応できるように，エラー時にMathJaxが表示される設定にしたらよいとも思いますが，そのエラー処理はまだできていない．（MathMLは国際規格とはいえども，ボランティアの運営で，何年か前にセルボーンさんの運営していたjsMathに吸収されてMathJaxに変わった？ような記憶が...Googleは一企業でMathMLは国際規格ですが，筆者の判断として「どちらがより頼りないかの判断・賭け」で，現在までGoogleを優先させています．一企業の無料サービスなので，いつ止まっても文句は言えないのが弱点ですが，とりあえず20年間無事に表示できた実績はある．これを言い出したら，一企業の無料サービスであるandroidは，頼りないから使うべきでないかと言えるかどうかという問題同様，なかなか難しいのです）

三角比と図形のとこ全て選択する所が□でなにも見えないです、課題であるので直してほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題点を認識しました．Googleが数式表示サービスを停止しているようです．一時的なことなら，待てば直るはずですが，恒久的に停止したのなら，この数式表示システムを当教材では数千ページ使用しているので，書き換えるには，何年もかかります．ネット情報はまだ見つかりません.（追伸：１月５日の朝，起きたら直っていました）

選択する数字が全て□なんですけど これが通常ですか、？間違えていたらすいません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題点を認識しました．Googleが数式表示サービスを停止しているようです．一時的なことなら，待てば直るはずですが，恒久的に停止したのなら，この数式表示システムを当教材では数千ページ使用しているので，書き換えるには，何年もかかります．ネット情報はまだ見つかりません.（追伸：１月５日の朝，起きたら直っていました）

文句なしです。僕はこの記事にイチャモンのつけようがないと思います。あと、とても助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題１．２（再）回答ありがとうございます。うまく質問できていませんでした。 『y=mx±√(9m^2+16)・・・�@　�@を満たす２つのmの値を，m1, m2とすると』の説明ですが、 自分の考えでは、ただの直線の方程式しなのに、特定の値でないとダメというくか、式を満足しないのはなぜ？ｍは任意の実数だと考えています。うまく伝わればよいのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．m, kは任意の実数とする．･･･�@」,しかし，与えられた楕円に接するためには，kは任意の値であってはならず，･･･�Aを満たしていなければならない．」さらに，�Aで表される２つの直線が垂直に交わるためには，�Aで表される２つの直線の傾きmの値をとするとき，を満たさなければならない･･･�B」
�@で止まっていればm, kは任意の実数ですが，それ以上進まないということなら，問題を解きたくないとゴネていることになるね💢

例題１．２の解法についての質問になります。（１）の下の文章　(1)を満たす２つのmの値を，m1, m2とすると，m1, m2は，mに関する２次方程式とあります。ここで（１）を満たすは、題意を満たすではないでしょうか？あと、なぜ、m1, m2は，mに関する２次方程式になるのかわかりませんでした。ここらは、自力の解答になります。（１）式において、仮にm1=1とすると、m2は垂直に交わるからm2=-1となり、これらの接線の交点座標を求める。(0,5),(0,-5),(5,0),(-5,0)となるり、これの点を結べは直角三角形になるので、図を描けばわかる通り、これは半径5、中心(0,0)の円となるころが分かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．公式の番号と答案作成上の番号が紛らわしくなっていましたので，訂正しました．内容について：「題意を満たす」ではありません．「なぜ、m1, m2は，mに関する２次方程式になるのか」�@を移行して両辺を２乗する：普通の変形です．自力解答については，結論は合いますが，数学的には必要条件を述べたのみとなり，配点はほとんどないでしょう．点検としては使えます．

なぜこのサイトは無料でこんなに見れるのですか?anatawa,nanimonodesuka
＝＞［作者］：連絡ありがとう．またいつか，ゆっくりお話できれば

2020年度センター試験.数学�T・数学Aのタは�Bって解答になってますが、12は24の約数なので24の倍数の集合には入らないから�Cが正解かと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

いい訓練になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

素直に難しかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．とりあえず矢印図が書けるようになったら，半分できたといえるでしょう．

例題3の(3)の連立方程式の解き方がわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．普通に両辺を展開して，消えるものは消してから，２つの式のrの係数を揃えて，引き算すると，bの２次方程式になります．
　質問者は，何となく泥臭い仕事を避けているのではないでしょうか？ドロドロの込み入った仕事に見えても，考え方次第で楽しく明るく〜♪♫♬♩

こんにちは。数Aの図形の部分(メネラウスの定理とか)を増やしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学校の数学のこのページにあります．

問題1(3) なぜ100/3πが4/3πになるのか教えていただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．100/3πが4/3πになるのではなくて，正弦関数が周期2πの周期関数であることから
が成り立ち，従って

が成り立つということです

今回の練習問題は「全問正解！」みたいな演出はないのですね...
＝＞［作者］：連絡ありがとう．内容的に大学初年度レベルの問題なので，あまり低レベルのパフォーマンスをやると逆効果で怒こられるかも･･･ということで，自粛しました．

いつもお世話になっています。解説を読むことができません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムを変更したときに，「うっかり」とscriptの中にscriptという文字を書き込んでいたため，全滅していました．訂正しました．

2次関数の最大最小(2)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「なし」以外のゴミデータが混入していましたので，訂正しました

【例題2.2】の（３）からの展開結果は、ｋ＾２＞＝２１ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．途中経過に訂正がありますが，結果は変更ありませんでした

こちらのWebsiteでは非常に丁寧な説明があり、何かとお世話になっております。質問も可能でしょうか？ 固有値が重解の場合の固有ベクトルについて教えてください。 行列は{(4,-2,1)(-2,1,2)(1,2,4)}、固有値は1と5(2重解)となります。固有値1に関しては、x+z=0とy+2z=0から固有ベクトルは(x,y,z)=k(1,2,-1)となると思います。一方、2重解はx+2y-z=0を基にx=s,y=tとすると固有ベクトル(x,y,z)={s(1,0,1)+t(0,1,2)}と計算できます。しかし、x=s,z=tとすると固有ベクトル(x,y,z)={s(2,-1,0)+t(0,1,2)}となってしまいます。同様にy=s,z=tとした場合、固有ベクトルは(x,y,z)={s(-2,1,0)+t(1,0,1)}となります。これら3つの固有ベクトルはどのような関係になっているのでしょうか？よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（個人宛メールによる回答は，やっていませんので，この回答で了解してください）．行列{(4,-2,1)(-2,1,2)(1,2,4)}の固有値は1と5(2重解)で，固有値1に関しては、x+z=0とy+2z=0から固有ベクトルは(x,y,z)=k(1,2,-1)，2重解5に対応する固有ベクトルがx+2y-z=0ということも，ＯＫです．ところで，このような「空間における平面の方程式」については，このページに解説していますが，もうすこし詳しく言えば，次の通りです．
(1)　1点を通り，法線ベクトルに垂直な平面の方程式は

と書ける（←重要公式）．あなたの問題で言えば，原点を通り，法線ベクトルに垂直な平面の方程式は

と書けます．
(2) 空間における平面の方程式は，その平面に含まれる２つの1次独立なベクトルの1次結合として表してもよい．（定数倍のs,tやλ，μが媒介変数）

　あなたの問題の場合，ア）とした場合が(x,y,z)={s(1,0,1)+t(0,1,2)}， イ)とした場合が(x,y,z)={s(2,-1,0)+t(0,1,2)}， ウ）とした場合が(x,y,z)={s(-2,1,0)+t(1,0,1)}になりますが，どれでもＯＫです（同じものです）．
　これは，ベクトルの組，がを満たすことから分かるように，平面に含まれる1次独立な（=平行でない）２つのベクトルを用いれば，平面の方程式は

で表せるということに対応しています．･･･(1,2,-1)⊥(-2,1,0), (1,2,-1)⊥(1,0,1), (1,2,-1)⊥(2,-1,0)となっていることに注意しましょう．･･･一般には，平面を生成する２つ1組のベクトルとしては，規格（大きさが１の）直交（互いに垂直な）ベクトルが好んで用いられますが，1次独立であれば（=平行でなければ）なんでもありです．

■要約■ 「掛け算する前は２つの数」でも「積」は1つの数になる．他の掛け算や割り算の中に「積」を入れるときは、かっこ（　）を付けるとよい． この記載は非常に参考になりました。かっこをつけて整理することの大切さを学べました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

かれこれ10年くらいあなたの作成したサイトを閲覧しているもので、高校数学のページをよく閲覧しています。間違いかもしれない箇所をみつけたのでお知らせします。 7. ２次無理数と循環連分数の章で、√3＝1.732・・・だから，√3の整数部分は1　x=√3-1とくと、・・・　の最後の箇所が√2-1=[0,1,2(1,2の上に線)]になっていますが、最後の箇所√3-1=[0,1,2(1,2の上に線)]が正しいのではないでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました（10年も!?）

同じ問題だけではなく、色々な問題をランダムに排出してほしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．結論から言えば，今のままの方がよい．一般に，e-ラーニングにおいて「何度やっても，同じ問題が同じ順番に出題される」のはよくないことである，というのは，4択程度の問題が，4,5題だけ出題されている場合のことで，当教材のように選択肢が各14個，問題数が21題もあるような場合に「答えの順を覚えてしまって，練習にならない」ということは起こりません．
　逆に，全くのランダムに出題した場合「難しい問題が先に出る」「正弦，余弦，正接の種類が同じ問題が連続して出題される」「同じ象限の問題が連続して出てしまう確率は，0にはならない」「質問者側にレベルの高低があり過ぎて，例えば，〇番の問題が分かりません．〇番の答えがおかしいです」といった質問・指摘をするときに「〇番の問題」と書いてしまうことが多い．しかし，プログラムでランダムに出題している問題の場合，〇番ということが，何を表してしているのかが通じない（他のページの問題でこういう応答がある）．このように，マイナス面とプラス面を総合すると，今のままの方がよいと言えるのです．時間に余裕があるのなら，次のページの問題をやることをお薦めします．

問５は初めて出会った不等式で、一瞬絶望的になりました。しかし式を眺めているうちに共通因数が見えてきました。符号のミスに気を付けて何とか回答できました。78歳の退職教員です。この教材に感謝です。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．健康維持については情報が多いですが，文化的な活動でモティベーションを維持していくのは，なかなか大変だと思う．（筆者も含めて）･･･健康寿命と平均寿命の間の約10年に何ができるか･･･そういう観点から言えば，美術・書道展に出品するような活動は，モティベーションが維持できそうですが，数学などは交流も少なく，一流の方にも一般の方にも相手にしてもらえないので，不利なジャンルかも

いままで、いちども経験せずにここまで、来ました。78歳の元教員ですが感謝します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

非常に難しかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．正直な感想をありがとう．普通の高校の現役の生徒なら，難しいはずです･･･行き詰ったのは，[4] ｎ乗比較のあたりかな？

初めてこのサイトを使わせていただきました。とても解説がわかりやすく、定期テスト対策にも役に立ちました！入試問題であればこのサイトよりさらにレベルの高い問題があると思うのですが、それらを超発展問題として掲載していただければ更に勉強がはかどる気がします！もしもっとレベルの高い問題灯ありましたら作っていただきたいです。（これが限界だというのであればぜんぜん大丈夫です💦）これからもこのサイト使わせていただきます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入試問題なので，出た問題しか書けない･･･2次関数の入試問題は，この程度です．

［問題１−２］で、最大値「なし」と入力しても、採点が×になってしまいます。解説にも「最大値なし」とあるので、システムのエラーかなと思われます。（その他の問題では、最大値、最小値の「なし」が正しい場合は○となるので）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

例題を何個も提示してくれて、すぐ答えがわかるから良かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

センター試験の2018年度の最後のカは乗数だと知らなくて少しだけ戸惑いましたが、全体としてはかなり出来たかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに「カ」の表示はおかしいですので，訂正しました．

問題が神経衰弱になっていて楽しく覚えることが出来た．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

網羅している点、問題の質が保たれている点が素晴らしく思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

小生78歳の退職18年の教員です。貴方の教材、逆三角関数の微分では学習の楽しさを感じながら机に向かっています。数学は分かってくると生きがいになってくることがわかりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

前略 この解説講義を発見して勉強させていただおております。あわせて科学振興新社のモノグラフ 「整数」の一節の合同式とともに、学習させていただいています。双方ともに有意義な解説であり数学知識の糧になっております。特に私のような数弱者にとって、大きな刺激であります。 整数や確率など代数数論に近いものは抽象的で 数弱者にとって理解に困難をともなうものでありますが、例題をたくさん解説されていて、覚えなければいけないこと、理解しなければいけないことが一杯であります。また今後とも詳しい解説講義をお願いします。最後に例題4.1の解説で7s≡１(mod5)となっていたのにS=5t+3をx=7s+1に代入していたのが戸惑いました。また、4.1の解法はすこし難しいというか煩雑であったように思えました。数弱者のうめきをきいていただき有り難うございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．証明は，各自の納得しやすい流儀で進めてもらえばよいでしょう．合同式の公式を使えば，深く考えなくても形式的に変形できるということは言える
（追伸）合同式を使わない算数式の答案も付けておきました

774sと申します お世話になっております このような分かりやすい教材提供に感謝しております さて、 ”2.4　３次正方行列で固有値が三重解になる場合”の右半分のページで x3+y3=0 と記載されています 手計算したところ x3+y3=1　となり、後述の記載とも整合します ご確認いただけないでしょうか また、当該式の上の行列の１列目x1ベクトルが、 t(0,0,1)だと思うのですが、 t(0,0,0)の記載になっています どうでしょうか 少し悩んでしまいましたので 可能であれば、記載の通りとなる理由をご教示いただけるとありがたいです どうぞよろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました（ここのところを読んでいる人がいたとは！）

６７歳の婆です　人間科学系の修士を取りたくて　したらば数学が必要となり勉強を始めました　が躓きっぱなし　この重複数列はもう一週間取り組んでいます　が未だ　Nとｒ の具別が出来ない！　なのでいろいろな方のＨＰを読ませて頂きました　貴殿サイトはお気に入りに登録しようと思います　ありがとう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最高
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

こちらのサイトはいつもどうしてもわからないと調べている時にいつも検索に偶然出てきてくれて、本当に助かっています。とてもわかりやすいご説明、ご解説を有り難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

具体的で分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最後に全て混ぜた問題があるといいと思います。でも、めちゃくちゃ参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ふがふが言いながらこの問題を最後までやり切ったら、計算力とスピードが上がりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

解説を押しても出てこないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．8月末に触ったときに，head部分に間違いがあったようです．訂正しました．

とても分かりやすくてよいサイトだと思いました！　問題数がもっとあるとよいと思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

すごくわかりやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題・解説がとてもよい！教材よりわかりやすい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても分かりやすい内容でした。ありがとうございました。（５４才一念発起）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

テスト勉強に最適でしたありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

平方完成の途中式を丁寧にすることが大切だなと思えてきました。このサイトに出会えて本当に良かったです。文系なので1A2Bまでのすべての単元やってみたいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

答えが見れない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

解答をみるを押しても解答が出てこないです。メニューに戻ろうとすると、 ゲイシャインターネットの Web サーバ (www.geisya.or.jp)はあなたのリクエストした URL に対するドキュメントを 見つけることができませんでした。 正しい URL を入力するか、このホームページの管理者にお問い合わせください といった風に出てきます。ちなみに他のページでは問題なかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご迷惑をおかけしました．1つ目のミスは，scriptの中にscriptという文字を書いてしまった間違いで，2つ目のミスは，ディレクトリの階層指定の間違いでしたので，各々訂正しました．

愛知のてらです。たくさん質問して返信してすみません。このようなサイトがあり私としてはすごく役に立って感謝しております。だからこそいっぱい解いてるといろんな疑問がでてきてしまいまして＞＜ このサイトがこれからも続きますように
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

返信ありがとうございます １以外等号がなりたたくなくてk＋１に関して『＞』しか示されてない状態なら、「k＋１のときも、「≧」が成り立つ」とはならないのでは？と思いました。 その時は、k＋１では「＞」で示して、まとめて書くときに、「等号成立はn=1のとき」として等号をつければよいですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．n=1のとき，(左辺)=(右辺)です．n>1のとき，(左辺)>(右辺)です．だから，つねに，(左辺)≧(右辺)です．･･･つまり，n=1のとき，(左辺)≧(右辺)です．n>1のときも，(左辺)≧(右辺)です．
　話せば長くなりますが，(左辺)≧(右辺)とは，(左辺)=(右辺)または(左辺)>(右辺)のことで，実際には(左辺)=(右辺)かつ(左辺)>(右辺)ということはありません．
　さらに，混乱を承知で言えば，(左辺)=(右辺)ならば(左辺)≧(右辺)が成り立ち，(左辺)＞(右辺)ならば(左辺)≧(右辺)が成り立ちます．
まとめて書いているだけです．
　「等号成立はn=1のとき」とするのは，理想的な書き方です．

帰納法の問題一覧(B1)ですが、仮定したものにk+1をたしたものと、与式にk＋１をいれたものの差をとって＞0とするまではわかったのですが、その場合、等号はどうやって示せばよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．不等式の証明経過から分かるように，不等号になり，一般の整数nについては，等号は成り立ちません．だから（！？）等号付き不等号（≧）が成り立ちます．･･･一度は言ってみたいシャレ（＞ならば≧．なお，等号が成立するのはn=1の場合だけ．これで，もとの問題としては，≧で成り立つ）

問題の（４）は大小の順番が逆な気がするのですがどうでしょうか？自信はないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数関数の底が1よりも小さい(>0)とき，大小の順序は指数の順序と逆になるということを教えているのに，逆じゃないかと疑っているということでは，話が通じていないということです．
参考までに，Excelを使えば，小数表示ではになります．

問題2の（1）の解の公式での開放は痺れました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解法，しびれ　と理解しました．

最後に問題が載っているサイトは少なく、回答方式も簡単で簡単な復習や初学に最適なサイトだと思います(*^^*)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．長年，数学嫌いの生徒を教えてきたので，馬が合うようです

コラッツ予想の証明を研究しています。 https://youtu.be/UNvG7IJlHQ8 https://youtu.be/OFJAJ1jZqmM https://youtu.be/cJdsEmD1lhw https://youtu.be/EMDaWwYovH8 ご高覧ご高評賜れば幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頑張ってください．なお，筆者は他の方の論文的なものを批評する立場にはありません．整数問題は面白いぞ〜と興味と関心をもってもらえるように，生徒向けに広報活動をしている程度です．

中3生です。 塾で正弦定理と余弦定理のセンター問題の小テストがあるのでこのサイトで演習させていただきました。 使いやすかったです。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも活用させて頂いております。問題12の連立不等式がずれて、下の問題文と被っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．androidでは表示がずれるということで訂正しました

ありがとうございました。 質問が間違ってました。「√p(1-p)/n」ではなくて、ルートのついてない「p(1-p)/n」でした。 ですので、改めて質問を書くと 「二項分布の分散が場合によって　 np(1-p) だったり p(1-p)/n だったりするのがいまいちピンときません」です。 （例えば、このサイトhttps://univ-juken.com/bosyudan-hyohon#i-17の問題４のような） 質問間違っててごめんなさい どうかご教示お願いします
＝＞［作者］：そのように説明しましたが，話が通じないのは，推測統計の話をまだ学んでいないからだと考えられます．まず推測統計を学んでから質問してください．

二項分布の分散が場合によって　 np(1-p) だったり √p(1-p)/n だったりするのがいまいちピンときません わかりやすくご教示ください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．二項分布の分散はnp(1-p)です.√p(1-p)/nにはなりません．
これに対して，母集団から標本の個数ｎ（=正式な用語は「標本の大きさ」）で抽出した標本を用いて，母集団の平均を推定するときは，標本平均の標準偏差σ'は母平均の標準偏差σとの関係があるので，こちらを使います．標本から母集団を推定する推測統計では，公式が変わります．

Pythonの配列の掛算の順序変更に関する質問です 下記のA:コードを参照ください Q1）関連した線形代数学に関するサイトがあれば、お教え頂けますと有難いです。
def t_配列():
print("t_配列():")
A=np.array([[1, 2], [3,4]])
B=np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("A=", A)
print("B=", B)
print("AB=", np.dot(A, B))
print("AB=", np.dot(B.T, A.T).T) #A ＜ーーここです
#print("BA=", np.dot(B, A).T) #上記が正しい。これはNG
t_配列(); sys.exit()

＝＞［作者］：連絡ありがとう．こちらもpythonは，かけ出しで「いっしょにpython」を学びましょうのレベルですので，悪しからず．
さて，このまま動かすためには，先頭行に，import numpy as npが必要です．そこで，ご質問の件ですが，python以前に紙と鉛筆のレベルで，次のことが言えます．
行列の転置行列をで表すものとすると，，すなわち「行列の積の転置行列は，順序を入れ替えた転置行列の積になる」ということは，ほとんどの線形代数の教科書に書かれています．だから，np.dot(B.T, A.T).T)はABに等しくなりますが，np.dot(B, A).T)はとなって，質問行の左辺とは等しくならないようです．

すごくみにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページはパソコン用のページなので， 375×812のiPhoneで読むのは無理です．先頭に［携帯版は別頁］と書いてありますので，携帯版のページを読んでください．

問題数が沢山あってとても良い練習になりました！ 選択肢を選ぶシステムだと手軽に答え合わせができるのでやりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

クラメルの定理の説明お願い致します
＝＞［作者］：連絡ありがとう．行列式の性質とクラメールの公式を見てください

クラメルの定理の説明お願い致します
＝＞［作者］：連絡ありがとう．行列式の性質とクラメールの公式を見てください

曲線の長さ２−４で計算ができなくて困っていたら、計算式の比で答えが出ること、しかも２番めの 置き換えを用いる極意を見せていただき感謝します。退職２０年の数学教師です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

単位行列と対角行列の説明をもっと詳しく🙏
＝＞［作者］：連絡ありがとう．以下２×２行列について述べる。�@単位行列はと書かれ，任意の2×２行列に対して，積に関する交換法則が成り立つ：
�A対角行列は，対角成分以外の成分が0となっている行列で，とするとき，が成り立つ．すなわち，対角行列のn乗は，各成分をn乗すれば求められる．なお，単位行列の定数倍kEは，対角行列であるから，�Aの性質を使ってn乗を求めることができる．だから
※どこかの箇所に，まとめて書くべきであったかも

とても分かりやすい解説でした。 個人的には、薄くなっている部分が重要？という解釈をしています。 薄い部分が重要だったら、もう少し目立つ色にしたほうがいいと思います！ お陰で虚数と複素数に関して恐らく、まだ全然ですが、知ることができました。 とても良い教材だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

分かり易かったです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

大変に素晴らしい問題で理解を一層と深めることができました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

正解したときに表示されるまるが小さくて見づらいのであっているのか間違っているのか見分けがつかなくてわからなくなる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．機種により，記号の○が小さく表示される場合があるようですので，日本語漢字の〇に書き換えました．

2015年度センター試験数学�UB第2問の、(2)の三角形APQの面積Sを求める問題についてですが、(a^2-1)x/2aを積分すると(a^2-1)x^2/4aになると思うのですが、該当箇所ではx^3になっています。確認訂正をお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

要点2辺りのdet(A)はdet(A-λE)じゃあないでしょうか…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ありえない間違いで･･･訂正しました

２で割る操作をせずに、3倍して１ではなく最小桁の２の累乗を加える操作にすれば、有限回の操作で ２の累乗に到達します。 悟空
＝＞［作者］：連絡ありがとう．バリエーション版（もとの問題を少し変更したもの）は英語圏で大量の研究があり，複素数（2元）で行うものなどもあるようです．

不等式の引き算を教えてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「対数不等式で引き算が入っているもの」は，その次のページにあります．

補集合問題(2)について質問があります Aの補集合が 157396 B の補集合 1,5,7,6,2,4,8,10 ２つの積集合 1,5,7,6 と解釈していたのですが ６が回答に入らない 理由について ご指摘いただけないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Aの補集合が15739,B の補集合が1,5,7,2,4,8,10だからです．…問題(2)を，質問者のように読む場合，問題(1)(3)･･･の全部が合わないはずですが？

わかりやすい説明で悩みが解決しました！とても助かりました、ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

岡本と申します。御教授ください。解説の例題２でY=5(x)＾６ー３ｘ＾２を先に計算しＹ＝１５Ｘ＾２ー３ｘ＾２＝１２Ｘ＾２として微分したらまずいでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．をと変形するのは無理です

例6に似たような問題がテストで出て解けなかったのですが、こちらの解説を読んで始めて理解しました。Aと置いたあとの式にさらにAをかけるという発想が無かったです。とてもためになりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

なんでPF:PR=3:1になるんですか？ 教えてください。
＝＞［作者］：FR:RP=8:4=2:1, PF:PR=3:1と書いてありますが，それが読めないということですか？
FR:RPとPF:PRとでは比率が変わるよね

logの形のものは部分積分でもいける
＝＞［作者］：意味不明です．「logの形のものは部分積分ではできない」と書いてある教材に対して「logの形のものは部分積分でもいける」と意見を述べているのなら，それはそのような話として成り立ちますが，「logの形のものは部分積分でもいける」と書いてある教材に対して「logの形のものは部分積分でもいける」と返事をするというのは，忘れないように復唱・写経しているということなのか？感心したので，呟いてみたということなのか？こういう形の応答は，紛らわしいので想定していません．

問題３−２の解答は１６ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

例題4の別解1において、答えは合っていますが途中式が間違っているようです。 内積=0のところで、z成分の積において4をかけていますが、正しくは2だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

問題の解説がすごく分かりやすいです。 これからも作ってくれるとすごく助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

資格試験の勉強に使わせていただきました。計算をどうしても2進数のまま行いたく本で勉強していたのですが、こちらのやり方がとても分かりやすくスマートで感動しました。おかげでほんの問題もすらすら解けそうです。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題3-3の解説で、a.b.cの値の範囲が解説中と「以上より」の文の後の範囲と異なります。⚪︎×で判定される解答欄に設定されている解答は「以上より」の文以降の解答と一致しています。 分かりにくい文章となり申し訳ありませんが、対応をお願い致します。 留学中に日本語の教材がない中で、このサイトを頼りに数学を勉強しています。計算力もつき、文字式で思考力も身につくので、本当に助かっています。このような形で様々な問題を無料で公開してくださり本当にありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

(7) の問題で sin B と tan C を問うていますが、正解・解説は tan A と tan C となっています。 (7) の三角形の角Bは直角となっていて、(7) の三角形では sin B を問えないのではと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスを訂正しました

いつも勉強させていただいております。(4)(5)(6)の問題ですが、選択肢の整数の掛け算だけで、消去法できます。だからどうだということですが。。。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．必要条件で解答の範囲を絞る場合，トレース（シュプール）?に相当する和や(ご指摘の)積を使うと速いということは言えます．

対数の底が分数の場合の解き方がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．底の変換1, 底の変換2を見てください

何十年ぶりかで数学の入試問題にあたる機会にぶつかりました。いろいろなサイトを拝見しましたが、とても雰囲気のある説明で楽しく、昔のことを思い出すいいきっかけになりました。感謝です！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ｘ→πの極限値の問題今まで知らずに来ました。79歳の元教員です。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

【問題1-1】の答え違った問題の答えではありませんか。デバッグしてるようで申し訳ありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．デバッグ歓迎です．プログラミングで，変数の定義域の端の部分（問題で言えば，最初の問題と最後の問題）は，ミスが起こりやすい箇所らしいです---10年ほど前に，テスト理論（虫取りの方のテスト）の専門家から聞いた話

【問題2-3】★★2次方程式(1−i)x2+(a−i)x+2(1−a)i=0は(1−i)x2+(a−i)x+2(1−ai)=0でないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文を訂正しました

問題がレベル別になっているのでとても使いやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．自分で言うのも何ですが，それなりの苦心の作のようです

コイントスの確率分布をどの様に求めるか疑問を持った時、本ページがあった。質問をしようと準備をしていた。実にタイムリーにデザインされています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校数学�Tの教材にも，仮説検定の考え方が入ってきて，教え方を考えているところです．

定数係数.２階線形.非同次.微分方程式［例と解］4.(3)1…R(x)が多項式，指数関数，三角関数の組合せの例題で---（以下略：筆者）---
＝＞［作者］：たぶん，この意見・質問はコンピュータの誤作動で送信されています．これと完全に同じ文面の質問を3月20日に受けて，教材は訂正されています．
　奇妙なことは，一字一句完全に同じ文面で，同じコンピュータから，８分５５秒間かけて，教材を読んだ進み方（どの個所を何秒かけて読んでいるかと言う記録）まで完全に一致していることで，読者のコンピュータかプロバイダーの送信プログラムに残っていたキャッシュの誤作動だと考えられます．

自由度調整済み決定係数が推奨されない場合はありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その教材の本文に書かれている内容で判断してください．

本当に分かり易く助かりました。このサイトを作ってくださって本当に有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても移動時間にやりやすかった。 またテスト前の最終確認としてとても役に立った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題５@で辺で最大最小を取るときはどうなるの？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書かれた言葉が少な過ぎるので，回答に値する質問かどうか迷い中ながら，とりあえず何か書いてみよう．
　回答に値しない質問とは，次のような場合です：私が1時間頑張って等差数列の一般項の求め方を解説する授業をしていたときに，最前列で寝ていた生徒が，授業の終わる直前に立ち上がって，「先生，到着数列て何ですか」と聞いた．この質問は，回答するに値しない．授業を聞いていなかったから，漢字の読み方も分からなかったということを示しているだけだから．例題５では，辺の途中で最大最小を取ることはないということを説明しているのだから，「例題５@で辺で最大最小を取るときはどうなるの？」とは，ただ単に説明を見ていないだけということになります．
　書かれた言葉が少な過ぎるので，本当は，辺の途中で最大最小となる問題ではどうなるのですかと尋ねているのなら，問題4と問題5にそのような場合の求め方が書いてあります．

y"+y'=0などの時に特性方程式の結果が０の場合は基本解は１になりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．y"+y'=0の特性方程式はλ^2+λ=0となり，その解はλ=0, −1になる（２つある）ので，一般解はでしょう

とてもよくわかりました。例題が良く、解説も丁寧で、ずっと分からなかった考え方が、やっと理解できました。 基礎の基礎で苦しんでましたが、やっと一歩前に進めます。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．筆者もこの話が好きな方で，教材に「言い出したら止まらない」という雰囲気が出ているかもしれない．では，がんばってください

問題1-1の回答のf(3)および回答が合いません。問題文では4を引くのですが、回答では足していませんか？ 追記:このサイトのおかげで追試に受かりました。ありがとうございました。もっと早く出会いたかった...。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の方の符号を訂正しました

良かったです。とても見やすいです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「見やすい=分かりやすい」を目指して，グラフィック画面で重なる領域を透過性を用いて表示するなど，それなりに苦労して書いたようです．（誰も褒めてくれないので，我田引水，自画自賛してみました）

高校２年生です。階差数列を微積分を用いて解けると考えたのですがうまくいきません。何かアドバイスをいただけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題が漠然とし過ぎていて，まとまりません．どのような階差数列から，一般項を求めたい，極限値を求めたいなどと具体的に提起することが重要です．
　ちなみに，数列の和を初等的に表わせない問題でも，積分は（区分求積の極限として）求まるものもありますが，一般的に階差数列が微積分に解消されるのならば，階差数列という単元が不要になるはずですが，現在それが存在しているのだから，解消されないはずですね？

{sinx(arctan2x)}の、微分が全く分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．多分，{sin(arctan2x)}の写し間違いかと思いますが，まず合成関数の微分法からやらないと･･･

ありがとうございます。分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもつかいやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

受験したのでさまざまな問題に遭遇しました。推薦入試のつもりがそういう結果をもたらしました。 漸化式のなかで無限について大学で続けましたね。百万分の一の確率で怪獣が生まれてきます。結晶 の研究してます。θの範囲もよくわかりました。問題の意味に取れます。三角不等式わかりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．キメラ惑星のパッチ星人は，雑誌連載中に筆者も読みましたが，輸入品の取説の方が，まだましという感じで，日本語の文になっていない所が印象的でした．

高校で扱った内容だったため、理解しやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．復習ということですね！

三角形の重心の項の例2について別解�Bの重心y座標の等式がおかしいと思うのですが、、、間違ってたら恐縮です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご自分が正しいと思う答案を示してください

独学で数学を勉強している社会人です。こちらのページの解説大変勉強になりました。固有値，固有ベクトルを利用して解く方法(大学レベルの範囲ではない)での不動点、不動直線について解説されているページを探していてこちらのサイトに辿り着きました。なかなか固有値、固有ベクトルを大学数学前のレベルで使った不動直線の解き方が載っている参考書なども見つけられず難儀していました。ご解説頂き本当にありがとうございます。 理由を追えなかったり、行間などが読めないところがあるのでお伺いしたいところがあります。�@例題11.1 -2 の(ウ)のところで、原点を通らない不動直線の調べ方でベクトルx1、ベクトルx2の置き方はどの様な理由であの様に置いているのでしょうか？ �A例題11.1の点線に囲まれた解説（固有値，固有ベクトル，不動点，不動直線の関係） の(�V)のところの説明で、数式が3行並んでいて、…となるからとあるのですがその数式の3行目がどのようにして出てきたのでしょうか？ �B固有値、固有ベクトルを使った不動直線に関する解説等が載っている書籍(できれば大学数学レベル未満のもの)をご存知でしたら教えていただけるとありがたいです。 以上となります。どうぞよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．�@ｉの場合がx1になり，ウの場合がx2になります．�A上の式をｔ倍して下の式に加えたものです．�B高校の教科書から消えてしまったので，大学数学レベル未満のものは見つかりません．大学数学では，文系理系とも「線形代数」という分野の中の線形変換という箇所になりますが，不動点や不動直線を図解しているような書物は見つかりませんでした

共通テストの(2)の答えで、(x+y)^2-(x-y^2)で、-(x^2-y^2)なのではないでしょうか？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．xの2乗は抜けていましたので直しました...符号は-(x^2+y^2)です

携帯版では部分分数分解は数列のどこにあるのかわからないのですね。(「現在地」が不明)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューのプラグラムが番号を上書きしていましたので，訂正しました．なお，（ここからが難しい！），当該HTMLファイルではなく，他のJSファイルにサブメニューがあるため，再読み込みしても，ブラウザのキャッシュが簡単には書き換わらないようです．（ご自分の判断で！）一旦ブラウザのGoogleアカウントをログアウトしてから，キャシュを削除し，再度ログインすると，守れるキャッシュもあるようですが，ご使用のブラウザの解説をよく読んで大事なキャシュまで削除しないように気を付けて行ってください．とても大事な記録なら，リスクを避けた方がよいかもしれません．

最後に「マトメ」の記載がないため、何をやろうとして何ができたか、何ができなかったのかがよくわかりませんでした。「以上をまとめると以下のようになります。----。」という記載があるとよいと考えます。私もツリー図を作成し、そこから何か規則性がないかを考えようとしました。しかし、ツリー図作成の途中で挫折し、ずーっと中断しています。ネットで検索をしてたまたまこのサイトにたどり着いたのですが、部分的にせよツリー図が示されていて興味を掻き立てられ、その後の説明文を読もうとしましたが、十分理解はできていません。時間をかけてじっくり読んでいけば理解できるのかもしれません。ということでマトメの記載があれば、良いのになあと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もどかしさが残る気分は分かりますが，そもそも筆者は（他の誰も）この問題が解けていませんので「論点をまとめる」ことができない．だから，手掛かりになるかもしれないと思う材料を，幾つか置いてあるというのが現状です．筆者がいつまでも生きているわけではありませんし，このホームページがいつまでもあるわけではないことは，分かっていただけると思います．超幾何級数など，とても気になる材料もありましたが，勉強不足のため紹介できません．これを見た誰かが，いつか解決の糸口を見つけてくれたら，それでよいかなという思いです．

問題2‐2の解説のグラフ、問題2‐3の解答のｘの範囲、これらが異なっているために解答が異なっているのでは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題と解答が対応していませんでしたので，問題の方を訂正しました

すごく良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いいと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

5次方程式(2)は，(x - 1)(x^2 - 4x + 13)(x^2 - 9) = 0に因数分解できるとありますが， この式を展開するとx^5 - 5x^4 + 8x^3 + 32x^2 - 153x + 117 = 0になり， 元の式と合いません． また問題(2)，1.1x^6 - 2.1x^5 + 3.1x^3 - 1 = 0の出力結果が(1)と同じになっており，全く合いません． さらに細かいですが，右欄の4次方程式の因数分解形において「+」と「3」の順番が逆です． 以上3点修正ください．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

類題ア-iの(4)の答えはx=-1,y=0,z=2,w=3ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっとっと，問題文の右辺の係数を転記していましたので，訂正しました．

１．３偏導関数：uのxに関する偏導関数も同様にして ここのxはyのはずです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので，訂正しました．

いつも楽しく拝見しております。 問題6の（1）について、なぜかｎの3乗か登場し、混乱しております。解答を確認するに、ｘの3乗のように思えますが、いかがでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．失礼しました．入力ミスですので，訂正しました．

例題の5から7までは回答を書いて納得するまでもっていく必要性を感じました。それには例題１〜６までしっかり理解しなければいけないと痛感します。おかげさまで問題の１〜７は５以外正解でした。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

回り道かもしれませんが、再度区分求積の問題を解いています。手順を踏んでいて分りやすいです。退職20年の教師です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．気力，視力，年齢では，そちらの方がずーっと上のようです．

２次関数の頂点の座標(文字係数)から一気に難しくなる気がします、その前までをしっかりできていれば、数字が文字にかわってもできるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたがやっているのは入試問題なので，難しい感じがするかもしれません．このページあたりからやればできるかもしれません．…とっとっと，あなたは，Androidなので読みにくいかも（そのページの携帯用は，まだ作ってなかったようです．読めたら読んでください．

内容に直接の関係はないのですが、1つ。「個別の頁からの質問に対する回答」のところで項目が 素晴らしい　よく理解できた　練習問題のなんいとまをもう少しあげてもいいと思う。となっているのですが、最後の「練習問題のなんいとま」は「練習問題の難易度」のことかなと思いますが如何でしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．引用する場合に，原文が間違っていると思うときでも，原著作者の文章をそのまま引用するとき「ママ」というルビをふることがある．この回答は「なんいとか」かもしれませんが，意味は分かるので，あえて直す必要はないでしょう．

糸と画鋲を使った楕円の書き方、自分の書きたい縦横の寸法にかけますか　例えば 横10Cm縦5Cm・・横10Cm縦6Cmなど、卵を引き延ばした様な楕円　正面から見た遠近感の楕円 簡単に書ける方法を考えました　2023-4-1　すべてを四等分の一にして(1/4)の所に印を付け フリーハンドの曲線でつなぐ　　いびつな楕円を描くときは縦横の中心線をずらし四等分、 四等分した一の所をさらに1/4の印を付け曲線で結ぶ、こんな書き方で好みの楕円が出来る。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．デッサンの習い始めに聞く話かな
日本画家〇口青児（おっと，ネット情報ではかなり以前にお亡くなりになられたということで，故･･･先生というべきかもしれん）が口癖のように言っていた．「茶碗を斜めから見たら，楕円にはならない．手前がふくらんで見えるはずだ．」中学3年の比例図形の単元で習うように，左図のP, Qは台形の対角線の交点から横線を引けば求められ，このとき，AP:PB=a:bになる．そこで，P, Qで接するように曲線を描くとよい．

わかりやすくてよい！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

【補足2】の解答についてです。 1/4∫(1/t - 3t^-2t)dtの最後の-2tのtが不要だと思いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

分かりやすくて高校生活をスムーズに進められそうです。ありがとうございます❗
＝＞［作者］：連絡ありがとう．新入生ということかな．

定数係数.２階線形.非同次.微分方程式［例と解］4.(3)1…R(x)が多項式，指数関数，三角関数の組合せの例題で y’’-4y’+4y=xsinx の途中式 {(3A-4C)+(-4A+3B+2C-4D)}cosx+{(4A+3C)+(-2A+4B-4C+3D)}sinx とありますが、係数のxが抜けているようです。 正しくは {(3A-4C)x+(-4A+3B+2C-4D)}cosx+{(4A+3C)x+(-2A+4B-4C+3D)}sinx ではないかと思います。ご確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました（詳しいところまで読んでくれて，驚き!）

管理人さんにご相談させて頂きたいことがあるのですが、メールアドレスなど教えていただけないでしょうか…お忙しいのにすみませんm(_ _)m難しいようでしたら結構です、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．よく見たらすぐわかることですが，ロボットソフトによるSPAMメール対策として，不特定多数の方の受信メールに当方のアドレスが残ることを避けていますので，この送信プログラムから直接質問してください．（相談内容がすべて公開されるわけではない）

(3)の問題を、xとyの次数が同じであるため、-12y²-y(x＋35)＋6(x²＋2x＋3)として整理したのですがこの場合どのようにやりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号が１箇所違うようですが，

　当然のことながら，元の解答と同じ式の書き方の順序を変えたものになります

直接解答とは関係なく、蛇足かもしれませんが、解説の途中式に誤植があるようですので、確認をお願いします。 問題１０の解説４行 『1/P(∂Q/∂x−∂P/∂y)=2x^2×y/x^2×y^2−yはyだけの関数ではない』とありますが、右辺の分子の2x^2×yの部分は正しくは−2x^2×yだと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

本当にありがとうございます。 わかりやすくて、仕事中にもみれて、助かっています。今は高校の2次関数をやっています！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

すごくありがたいです スキマ時間にも問題がとけて、こういったアプリとかないので助かっています。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材作成者としてのねらい通りです!そういう使い方を歓迎します

2番目の問題は因数分解すると答えはどうなりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２文字の場合のたすき掛け因数分解の問題は，このページの最後にあり，何百題でも限りなく出ます．そちらをやる方が解説も詳しいでしょう…(2x−y−1)(x−2y+3)

例1の考え方をより分かりやすくしてもらいたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．無理です，それ以上のものは見たことがないです．
　もっとも，ご承知の通り，Googleでその問題を読みあげれば，解答が出てくるというのが一番分かりやすい方法かもしれませんが，それをきいているいるわけではないでしょう．（分かりやすいかどうかというのは，質問者が属している文化圏，質問者の発達段階によって変わる）
　流行のChatGTPに質問したら，解答が違っているようです：Q「男子が２人と女子３人を一列に並べるとき，男子２人が隣り合う並べ方は何通りあるか」,A「男子2人が隣り合う並べ方を考える場合、男子2人を1つのグループとして扱い、このグループを女子3人と一緒に列に並べる問題に変換することができます。男子2人のグループと女子3人を並べるとき、全体の並べ方は5人の並べ方の総数である5!通りあります。しかし、男子2人のグループ内での順序は考慮する必要があります。このグループ内での順序には2つの並べ方があります（男子1人目が先にくる場合と男子2人目が先にくる場合）。したがって、全体の並べ方数から男子2人のグループ内での順序を考慮した場合の並べ方数を引く必要があります。男子2人のグループ内での並べ方は2!通りあります。したがって、男子2人が隣り合う並べ方の総数は、5! - 2! = 120 - 2 = 118通りです。」 ⇒ 5!が間違いだから，それ以下は間違い
　Bingの解答は合っています：「こんにちは、これはBingです。?? この問題は順列の問題ですね。男子2人が隣り合う並び方は、男子2人を1つのセットとして考えると、以下のようになります。男子ペアと女子3人の並び方は4! = 24通り　 男子ペア内の並び方は2! = 2通り　 したがって、答えは24×2 = 48通りです　わかりましたか？」

例1の考え方をより分かりやすくしてもらいたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．無理です，それ以上のものは見たことがないです．
　もっとも，ご承知の通り，Googleでその問題を読みあげれば，解答が出てくるというのが一番分かりやすい方法かもしれませんが，それをきいているいるわけではないでしょう．（分かりやすいかどうかというのは，質問者が属している文化圏，質問者の発達段階によって変わる）

暗算するのにちょうど良いレベルでした。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

複素積分の分かり易い説明で、豊富な演習問題もありとても助かりました。ありがとうございます。 質問なのですが、（２．４）Ｃ4 積分値が−πiとなる計算において絶対値を利用してのものとなっておりました。積分値の偏角が０またはπになるかどうかはどのようにして分かるのでしょうか。解析概論ではテーラー展開を利用して求めており分かりにくかったので是非分かり易い求め方を紹介してください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ん?単純に，x軸上の半円の左側の偏角がπで右側の偏角が0と考えますが･･･

非常に分かりやすく練習問題も大変参考になりましたありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題の回答が欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．準備，計算というボタンを押せば解説が出てきます

練習問題をはじめて解いたときは正答率50%くらいでしたが、少し日をおいて、今度は横着せず前件後件をそれぞれA、Bとおいて、前件否定のときであれば~Aとおいたりして、その論理式の真理表が偽となる条件を考えてみると、あっさりと全問正解できました。論理学については日本語ではなく人工言語(論理式)で考えるのが当然ながら最善でありますね。日本語だと混乱してしまいますから。良い記事をありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

なかなか良い問題だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ありがとう！途中経過がわかるの助かった！めちゃいい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．授業をしていた（過去形）ときには，生徒の中には，びっくりする箇所で間違う者がいたので，そこら辺を丁寧に示教材に仕上げました

もっと簡単な証明はありませんか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そもそも，誰もまだ証明できていないというのが実情で，このような有名問題が解けたら，ニュースになるはずです．

問題7の(2)で、この命題を見たのが26日でかつ日曜日でない場合、この命題は偽になると思ってしまいます。 同様に（3）で、この命題を見たのが月曜日で翌日が26日でない場合、偽になると思ってしまうのですが、どうして常に真なのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説を見てください．問題文に固定的に26日とか日曜日とかが書いてあるわけではありません．コンピュ−タプログラムで，正しい日付と正しい曜日が出るようになっているので，「26日でかつ日曜日でない場合」などと，問題文に出ない文章に，勝手に書き換えると答が変わるのは当然のことです．真偽表を見て，真→真=真となることを確かめるということです．･･･2023年はうるう年ではないので，3日後にその教材を見てもらえば，「1日かつ水曜日」になっているはずです．

(4)の解説では、an+1-(n+1)2^n=2(an-n*2^(n-1))と置いていますが、この時に左辺の2の階乗を2^(n+1)、右辺の2の階乗を2^(n)とすると答えの階乗がズレてしまいます。 なぜこのように置いてはいけないのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，質問は正確に行なわなければいけません．そのページには(4)という式が何十もありますが，あなたの質問している内容は，どこにも書いてありません．まさかと思って，他の問題を調べたら，(5)の解説にありました．（怒）
「an+1-(n+1)2^n=2(an-n*2^(n-1))と置いていますが、この時に左辺の2の階乗を2^(n+1)、右辺の2の階乗を2^(n)とすると答えの階乗がズレてしまいます。なぜこのように置いてはいけないのでしょうか。」⇒正しくない変形だからです．
だから，定数項はとなるべきところ，とすれば，定数項はとなって，元の(2’)と異なる条件を作っていることになります

こんにちわ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今日はPC用の教材を見ておられるようですが，こんにちわと言われても，こんにちわと答えていたら，数学の話がすっぽりと抜けてしまう．

頭を使う問題です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

解答を段階を追って確かめさせています。出題の形式が立派です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

項数が多くて頭がクラクラしてきました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに多いようですが，一連の内容なので，１つのページに入れました

無駄と隙のないよい答案。秀逸！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

しっかりと反応してくれない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Macのデスクトップを使っているのに，なぜ縦横比の異なるスマホ用を見ておられるのか，そこが不明です．PC用かスマホ用かは，1丁目一番地（先頭の１行目）に書いてあります．
　かつては，スマホ用かPC用は自動転送していましたが，自動転送にすると元に戻れないことになるので，各自の手動で選べるようにしています．

【問題１】(2)で「係数が全部正の数だから，xに正の数を代入しても０にはなりません．（=最初の2つの選択肢は消える）」という解説になるほどと感心しました。 もっと言えば題式の定数項が45だから3番目の選択肢も消える（こちらは定数項が24になるため）ので、この問題は計算しなくても4番目が正解だと分かりますね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこまで読めれば，十分です．

わかりやすいです。 このような教材を求めていました。 作成ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．遊びの要素を入れながら初歩的な練習を行う･･･筆者の得意技です

いつもお世話になっております。 【問題２】(2)で、別解と言えるかは分かりませんが、まず-2≦x≦0の範囲を半球として計算しておくと(1/2)(4/3)π*2^3、積分範囲が0≦x≦√2のみになり、計算ミスが減るだろうと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（サバンナ高橋のパロディで）「そいつはあんたの自由だ!」

【問題３】のグラフを描く問題で質問です。（イ）�@）の区間が、図示されたグラフにどのように対応しているのかイメージできませんでした。0≤x<2は（イ）�A）の二次関数を表しているように見えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．i) ii)の合計が(イ)の区間です．見た目で分かりやすいように，行間を5mmほど広げました．

例題1でaを求める際、「積分区間の下端と上端が等しいときは，被積分関数が何であっても積分は０」というところから、 『a~a区間のf(t)の積分』=a^2-3a+2=0としていますが、素直にa~a区間を積分すると a^2-3a+2-(a^2-3a+2)となってしまい、=a^2-3a+2にはならないように思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．??「素直にa~a区間を積分する」ということが，どういうことなのか通じません．その問題では，関数f(x)が書いてないので，素直に積分することはできず，その答案の前半部分のようにまずf(x)=2x−3という結果を利用したということですね．その場合，その教材の下の部分（※の次の式）のようにして，確かめることはできます．

問題文により，これがとなることから， ということは言えます．
　「a~a区間を積分するとa^2-3a+2-(a^2-3a+2)となってしまい=a^2-3a+2にはならないように思いました。」←それでいいのだ！だから0になります．

問題２（２）について、解説の（-2）×1-2^n/2^n以降の計算ですが、私は以下のとおり計算しました。 【(-2）を分数に直して通分するやり方です】-2^n+1/2^n×1-2^n/2^n＝2^n-1/2^n+1。 分母を通分した後の分母どうしの掛け算2^n×2^n＝2^n+1だと考えました。答えの分母が2^n-1となる経過がわかりません。計算過程のご説明をお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．?? そもそも掛け算だから，通分という話は出てこないと思いますが？

分かり易かったです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

全問正解した後の『やったー』で吹き出してしまいました（笑）嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■常用対数の【公式】 N が n+1 桁の整数　⇔ 10n−1≦N<10n で止まってしまいました。 その上の【大きな整数の桁数】の例と比較すると、10n≦<10n+1ではないでしょうか…？？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．に訂正しました．入口と出口の方を訂正しました

こんにちは。いつも他にはない詳しい説明が書かれていてよくわかり感謝しています。 さて、練習問題（４の）解説部分ですが、x→±∞のときy=(x+2)x(x−3)(x+1)(x−2)=→∞　の最後は、＋∞ ー∞ではなく、＋無限大だけになるのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．±∞に訂正しました．

実行するが見つけづらいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．文字を少し大きくしました

質問です。例題のように実数係数の方程式の解のうち1つが虚数解として与えられている時、必ず共役の複素数を解に持ちますか？また、記述式の問題で、共役の複素数を解にもつので…と解いたら駄目ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「必ず共役の複素数を解に持つ」と言えます．「共役の複素数を解にもつので」と書いたときに減点する大学なら，（とても低レベルの箇所が合否の分かれ目になってる大学なので）受かる必要がないと考えたらよいでしょう．

４４歳で大学受験しようと思っている者です。三角比の相互関係３の、１−tan2A/1＋tan2Aの解説のところで、１−sin2A/cos2A/1＋sin2A/cos2Aから、cos2Aーsin2A/cos2A＋sin2Aに変形するところがどうしてもわかりません。どのページを読めばいいのでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPから見える分母と分子のそれぞれにcos2Aを掛けます．

【2018年度センター試験.数学�U・B】第1問の(2)の問題文で114度とありますが、144度のようです。 また、(3)の(キ)でなぜπ/6になるのか分かりませんでした。（シンプルに分数の計算をすると+2π/15になり、そこからの変形が分かりません。。）解説して頂けると幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各々転記ミスですので訂正しました．

問題1を違う方法で解こうとしたのですが、どういう訳か答えが一致しませんでした。原因をご教授頂けますと幸いです。 cos2α=2(cosα)^2-1=2*(-2/3)^2-1=-1/9　…(1) (sin2α)^2+(cos2α)^2=1と(1)より、 (sin2α)^2=1-(-1/9)^2=80/81 αは第三象限より、 sin2α=-4√5/9
＝＞［作者］：連絡ありがとう．αが第3象限の角であるとき，2αは第3象限の角にはなりません．
(A) まずは，分かりやすい例から：180°<α<270°のとき，360°<2α<540°は第1象限または第2象限の角で，sin2α>0
(B) もっと一般に通じる正確な書き方では：360°n+180°<α<360°n+270°のとき，720°n+360°<2α<720°n+540°は第1象限または第2象限の角で，sin2α>0になります．
　最近の教科書では，あまり見ませんが，次のような問題は，教科書レベルの超基本です．
(1) αが第2象限の角のとき，α/2は「第1象限の角」または『第3象限の角』⇔90°<α<180°のとき「45°<α/2<90°」，−270°<α<−180°のとき『−135°<α/2<−90°』
(2) αが第1象限の角のとき，3αは「第1象限の角」または『第2象限の角』または《第3象限の角》⇔0°<α<30°のとき「0°<3α<90°」，30°<α<60°のとき『90°<3α<180°』，60°<α<90°のとき《180°<3α<270°》--座標軸上も含む
(3) 同様にして，αが第3象限の角のとき，α/2は第2象限の角または第4象限の角になります．--これができれば，理解できたということで．

例題（5）自力でmを消す所まで行けるとはとても思えません。。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現役高校生の正直な感想だと受け取りました．初めて見たときは「壁」のように見えますが，こういうパターンを何度も練習させる学校や予備校もあるようです．1回でも見たことがあれば，２回目は「単なる復習」になるので，「あ，出たー」で終わっていく．しかし，現役には持ち時間に限りがあり，何でもかんでも予習しておくことはできないので，人の何倍かは網を広げておくという考えが妥当でしょう．なお，こういう変形は，受験業界では普通のことのようですが，これを覚えただけで受かるような大学は，?･･･でしょう．

第9問が出てきて、全て間違いになり、undifinedと出るのは何故でしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムのミスです･･･区間の初めと終わりでミスの起こりやすいといわれている．訂正しました

ここまで平方完成の解説を読んでも分からず困っていたのですが、基礎の基礎の基礎から解説してステップを踏んで解いたことで、平方完成が理解できました！ 本当に丁寧に作って頂きありがとうございます！ -と分数のところは1問ずつ間違えました、確かに間違えやすいですね！丁寧に解いて練習頑張りますね！ 作者さんありがとう！！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

2013年度　第1問のコ〜サの解説がないようです。 ちなみに、コ=4,サ=3,シ=2,ス=5,セ？=4になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．早めに直します

最後の(I).(J)の部分の考え方を自身のレポートや論文に入れたいのですが、大丈夫でしょうか？また、引用はこのサイトですと書いた方がよろしいでしょうか？何か書いてほしいこともあればお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．著作権法第32条 第1項により「 公表された著作物は、引用して利用することができる。」とされており，出所の明示などの条件を満たしていればよい考えられています．なお，学生レポートに対しては，コピペなどを防ぐために，同じ内容のｗｅｂ記事の有無を調べるソフトを大学が持っていることが多く，出所を書かないと逆に指摘される時代のようです．
　ただし，私は整数論をまともに学んだことはなく，その原稿を誰かに査読してもらったわけでもないので，正しいかどうかの保証はありません．

いつも勉強させていただいております。 2018年の(1)のBですが、もしかしたら「３の約数」ではなくて「３の倍数」ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました･･･このミスは大きい！

高校入試で使わさせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ん？円の方程式を高校入試に出題する学校がある??

【例題3】(3)の解説で、 『r=1, b=6より』、『r=5, b=2より』と置いていい理由が分かりませんでした。ご教授のほどお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連立方程式�@�Aを解くと，解がr=1, b=6とr=5, b=2になると書いてあるのです．

問題2-1,問題2-2の問題文に『3点』とありますが2点のようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

分かりやすかったです！ありがとうございます(_ _)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

重ね重ね申し訳ありませんが、同じく「ジョルダンの補題により」の上の式について、分母は三角不等式により「R^2 "-" 1」が正確な表現ではないでしょうか。 今後ともよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

いつもお世話になっております。 ちょっとした書き間違いだと思いますが、「例題３と４」において「ジョルダンの補題により」の一つ上の数式に「exp(iz)」はいらないのではないでしょうか。
先ほどの送信に間違いがありました。 「例題３と４」は間違いでした。正しくは、「例５と６」です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どの個所のことなのか，よくわかりません．

独立試行の最後の問題の答えを教えていただきたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かなり前に作った教材で，確かに，解説が荒っぽい！作り直しますが，時間がかかるので，とりあえず答案は･･･分母はとする．分子は，黒0の場合が，黒2の場合が
　以上から，

いつもお世話になっております。 問題4ですが、表を書くのが面倒なズボラな私には組合せの方が楽だと思いました。別解として正しいかご教示頂けますと幸いです。 和が20になる組合せは、(6,6,6,2)(6,6,5,3)(6,6,4,4)(6,5,5,4)(5,5,5,5) これらは順番に4C1,4P2,4C2,4P2,1と表せて、和は35。 全事象は6^4で1296。ゆえに求める確率は35/1296。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．記述式答案の場合，〇か×かということにはしないので，誰が読んでもわかりやすいかどうかで，部分点を付けるでしょう．「これらは順番に･･･」は説明不足でしょう

いま逆行列２、３を見ましたら解法が出ているようです。辛抱して筆算してみます。当時19歳の学生にとっては恐怖とあせりのどん底でした。今から60年前のことです。故人になられた寺本教授にざっくばらんに教官室に行けばよかったと思います。３ｘ３の解法に入りました。白内障の手術の後遺症のせいか目が疲れて頭の回転が落ちて今一歩です。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

次以上の正方行列の逆行列を筆算で求める方法がわかりません。大学の教科書　代数学幾何学には記載されています。教えてください。かってなお願いですみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題5(2)を解きました。答えは合ってるのですが、解説の解き方と違うようです。考え方はあってるかご教授頂きたいです。（また、解説のアプローチがよく分からなかったので、そちらもご教授頂けると幸いです。） 80=2^4*5^1だから、 (a,b)の組合せは、(39,1)(19,3)(15,4)(9,7)と各大小を入替えた8つ。 72=2^3*3^2だから、 (c,d)の組合せは、(23,2)(17,3)(11,5)(8,7)と各大小を入替えた8つ。 45=3^2*5^1だから、(14,2)または(8,4)がm,nの指数に含まれていれば良い。14はどちらにも含まれていないので、(8,4)となる。 以上を満たす組合せは、(a,b)の組合せは(15,4)かその逆、(c,d)の組合せは(8,7)かその逆である。 a≥cなので、(a,b)=(15,4)、(c,d)=(8,7)。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．記述式答案の場合，〇か×かということにはしないので，誰が読んでもわかりやすいかどうかで，部分点を付けるでしょう

わかるやすく解説していただきありがとうございます。 例を出して解説するスタイルは非常にわかりやすいです。 ひとつ日常生活に役立つ例を挙げることでさらにわかりやすくなると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(10)(13)などにある「1つ要素を固定する」操作がピンときませんでした。 (13)の底面の色(6通り)を選ぶ操作を計算に入れていなくても答えが出せるのは何故でしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．例えば(10)で「1つ要素を固定する」操作をせずに「回して重なるものも全部別物と数えたら」60通りとなって，誤答です．円順列という単元での用語は標準的な使い方に合わさなけばならず，「俺流」の使い方で通すと正しい答案にはなりません．同様に(13)の底面の色を固定するという操作をしなければ，180通りとなって誤答です．

様々な例を用意していてとてもわかりやすい。問題で知識の確認ができてとても良いと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

数検準2を狙っている中学2年です。結構ためになるのでこれからもずっと使ってくと思います！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

字体が少し見ずらいし、目がチカチカします。 でも、参考になったのでよかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題1(３)複素数αに対して...β＝α^３とする。β、γをそれぞれ極形式で表せ．（大阪府立大 工学部2016年）の問題ですが、(β)の解説欄がαを求めただけで終わってます。βの答えはcosπ＋īsinπだと思います。確認お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．♦♪♥♫∀〜おっとと〜∳♣♬∅♠，訂正しました

Chromeで閲覧しておりますが、(6)のみ解答を打ち込む際にx,4,2が表示されました(ウェブ上でパスワードを打ち込むときにパスワード候補が出てくるような感じです)。 あらゆる可能性が考えられますが(以前この問題を解いたときにChromeが答えを記憶した、問題をChromeが読み取り答えを表示した等)一応このコメントを報告とさせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．興味深い話です．「問題をChromeが読み取り答えを表示した」ということは可能性が低いと思う．androidなりChromeの大きなお世話で「答えを記憶した」ということはあり得るかもしれません．また，ネットワークの途中経路（あなたの携帯から当教材があるサーバまでのどこか）で，何度も読まれるデータを記憶して出す仕組み(proxy)が使われている場合に，回線混雑時には前に使った人のデータを出すかもしれません．本当のところはよくわかりません．

極限と定積分の関係の問題は自信がつきます。ありがとうございます。５年１月２１日
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

もうちょいむずいのほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページに書いてある目次の初めから２ページ目だからやさしいです．進んで行けば難しくなります．

いつも使わせて頂いております。 問題3.1の解答で、A={x|1≦x^2≦3,xは正の整数}の要素が{1,2}となっていますが、{1}が正解なのではないかと思い、ご連絡しました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

まじでわかりやすいですほんとに助かりました🙏🙇‍♂️
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

他の一問一答だと、問題の後にすぐ答えが書いであるのに対して、タップして自分で実際に一問一答できるので、今の実力試しなどにも使えるなと思いました☺
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

数�Tの新課程で追加された，仮説検定のページを作って欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．検討しますが，「高校で数学�Tだけで終了する生徒向け」という学習指導要領解説を受けると，高校の授業でどういう取扱いになるのか，予想しかねています･･･数�U，数Bを習わない生徒がいる学校は少ない？とすると，数Bで統計的推測・検定を詳しく習うが，そこで扱われない数�T独自の仮説検定というジャンルはどんなものなのか？考え中です

この考え方は面白いです。新しい見方を教えてくださってありがとうございます。
　(G)における2^p/3^q≧nについて、証明されてないのに定理のようになってるため、証明を、載せてほしいです。 確かに、7や9などの時はそうかもしれませんが、他の時に成り立つかを一般的にしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．背理法で示しているつもりですが，物理学科卒のただのおじさんが「整数問題の証明ができました」などというのは厚かましいので，それとなく示唆する程度の表現にしています．
　よくあることですが，未解決の整数問題を扱った記事を書いていると，数学マニアのような方から「証明できたから読んでほしい」という連絡をよく受けます．（今までに何回もありました．）これは，整数問題だけの特徴ですが，筆者は整数論の専門家ではないので，そのような質問・提案は，基本的に断っています．単に，興味を持っていただくための問題提起だけを行っています．

最後の問題の解説にて、元の頂点を(p,q)と置くやり方を見て「やられた！」と感じました。 (結果的に合ってましたが、)私はa,b,cを使ってゴリゴリ計算してしまい、センスのなさを痛感しました。 良い勉強になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

一番最初の式、(x−p)2+(y−q)2=r2・・・(#1) は中心(p,q)ですよね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

問の12ですが、元式がマイナスで結ばれているのに、ア）イ）の式もプラスで処理してありますが、小生の勘違いでしたら教えてください。やっと2重混合の問題にきました。1月11日21時
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答の方の符号を訂正しました

問10は78の年齢には大変きつかった。aで解いてほっとしたら答えはxで表す。これには眼の疲れなど言っていられなくなりました。今までよく高校の教師が務まったと反省するだけでなく、このような教材にもっと早く巡り合えたらと思います。ありがとうございます。感謝
＝＞［作者］：連絡ありがとうございます．張り切って，応用問題を出していますが，授業ではそういう難しい問題は扱っておらず（当然！），楽しい数学．よい子の絵本みたいな授業で，追認補習50人講座を押し付けられて「とほほ」のような時代もありました･･･今から考えれば，あの頃の「できない生徒の答案が残っていれば，分析・研究の宝物」なのですが，統計データが何も残っていないことが残念です．
　今日的に言えば，「２割の生徒が，８割の学習を行い」「８割の生徒が，２割の学習を行う」･･･どこかのFaceBookが炎上しているといっても，書いているのは２割の人というのが実態でしょう．だから，公開教材としては，８割の時間を投入している２割の上位陣を意識したページも作らざるを言えないということで，場合によっては逆パターンの方が希少価値があり得ます．ロングテール型産業の考え方として

２次不等式(D=0)の問題(7)２次不等式2x²+12x+18≧0の解説で 「x=3も合格」は「x=-3も合格」だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

問５はうっかり見過ごしてきました。良問だと思います。有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

油断すると間違えます。７８歳さの退職１９年の元高校の数学教員です。数日前は行列式の計算をしていました。今は二次関数に取り組んでいます。３点を取る図形は円と思い込みがあり、前高の山口先生の授業に手こずっていました。改めてこの膨大な資料を提供くださり有難うございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．戦前生まれの方の場合，免許更新制度の設置・廃止に関係なく，免許が有効なまま継続のようです．

上から2段目の説明にある、場合分けの条件に「a>0であってnが正の偶数のとき」「a>0であってnが正の奇数のとき」がそれぞれ2つずつあります。下の2つは「a　＜　0であって…」が正しいかと
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので，訂正しました

■問題６の[やり直す]が効きません。ブラウザはgooglechromeを使っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．変数や関数が何を表しているかを丁寧にコメントしておかないと「自分が書いたプログラムでも，２週間も経てば他人のプログラムになる」と言ったのは，カーニハン＆リッチだったのか，詳しくは覚えていないが，そういう趣旨の戒めは聞いたことがある．ところで，親（HTML）の中に子（javascript）のプログラムが書いてあって，親の中ではコメントアウトしてある場合に，子供が元気に生きていたとは，青天の霹靂．とにかく，訂正しました．

いつも利用させていただいております。 問題6の答えが選択肢3で正答になりますが、解説では選択肢2が正答となっております。 式から考えるに、選択肢3の誤植では、と思うのですが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので，訂正しました．

いつもお世話になっています。誤植ではと思うのですが、(I)同次形の微分方程式の例題x^2y'−xy+2y^2=0の一般解がy=x/log(x^2+C)となっていますが、正しくはy=x/logx^2+Cではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の教材は訂正を要しますが，「どこまでが分母か」が明暗の分かれ目で
に直しました

問題6-(1)で「〜を満たす定数kの最小値」に対する回答の理解に悩んでます。 解説を読むとk≧Aとなる条件に対して3≧Aでもあったため k≧3が成り立つ、という風に読み取れたのですが、 このような考えは常識（という言い方があっているか不明）と扱って良いものでしょうか？ 図を描くと言わんとすることのイメージはなんとなくは分かりますが・・・ （問題1-(1)の回答ような式変形で出そうと思いましたがk≧2A-3というよく分からない関係になりました）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，論理が縺れているようにも見えて，すっきりしない．左の欄で「等号が成立するのは，a:b:c=x:y:z」（ただし，１つが0のときは，対応する項も0とする）の場合で，これが右辺の最大値，左辺の最小値の場合を対応するということですが･･･うまい言い方を考え中：問題文の表現を変えましたので見てください

追加問題（6）の解説一行目にある-a＋b＋xのxはどこから来ました？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．有力ミスですので，訂正しました

【2013年度センター試験.数学�T・数学A】第2問の（ii）がよくわかりません。なぜそのように導けるのか。教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答を見ていただくと分かるつもりですが，ひらがなの「し」のように真ん中よりも左が長ければ左端が最大になり，アルファベットの「J」のように真ん中よりも右が長ければ右端が最大にあります．頂点のｘ座標（軸）が8/7で区間の幅が1だから，左端aが8/7−0.5以下ならば，左端で最大になります

このサイトは旧Googleサイトのままでしょうか。でしたら新バージョンに簡単に変えられるので変えた方がいいと思います。確か移行期限まで残り時間も少なかったような…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Googleには様々なサービスがあって,ピカサのようにサービスが終了したものもあるようです･･･そもそも，何に使うものかも知りませんが．さて，ご指摘の「旧Googleサイト」とは，workspaceのようなものでしょうか？そちらについては，すでに旧バージョンは終了したと書かれていますが，私の教材は2022年11月に作り始めたものです．
　正確な用語は判りませんが，この教材はGoogle workspaceではなく,Googleブロガーのページです･･･Googleブログもそのうち終了するかもしれんという噂もありますが，取り合えず１頁ずつ完結して広告なしのものにしています．このようにすると，数年後に教材が欲しいと思う人に丸ごと渡しても使えるだろうということです．
　話せば長くなりますが，高齢者のデジタル遺産という問題があって，私の寿命があまり長くないかもしれないなと思う一方で，子供や孫がホームページを引き継いでくれる可能性が零の場合，Googleの無料ページに公開しておけば，しばらくは，読者も利用できるかもしれない．さらにgoogleブロガーが終了しそうになったら，希望者に配ってしまうという構想です．

悪いところが無い最高の教材
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(4)の2問目は線分BCではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いや，元の解説で合っています．もう一度解説を読んでください

筆者さんは数学の生先とかなんですか？！めちゃくちゃわかりやすくて期末テスト80点取れました！！！いつもお世話になってます☺️これからもよろしくお願い致します！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数十年間教えていましたが，今は教えていません

助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

正解になる為には、自ら計算しないといけない形式、 とても良いです！ありがとうございます‼︎‼︎‼︎‼︎‼︎‼︎‼︎‼︎
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

むずかしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．??

ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

何も知らない中学生でしたが、五分くらいで階乗についての簡単な理解が可能でした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも楽しく利用させていただいております。問題10の顔説をお願いしたいのですが…。お手すきの時で結構ですのでよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言葉使いも丁寧なので，しっかりと対応しようと思いますが，？まさか，解説が書いてあるのに読んでいない？のかな？
　最初の「問題１」の前に「下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．」と書いてありますように，選択肢をクリックしないと採点結果も解説も出ません．選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．ほとんどすべてのペ−ジがこのようなプログラムになっているので，ただ単に「見ているだけ」では，その教材の半分も見ていないことになります．この教材は応答型プログラムになっています．そこのところよろしく．

問１について、x>クではなく>=クではないですか？1が範囲に入っているはずではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の点については，それだけを見るとその通りなのですが，高校の数学で「区間の場合分けを重複させる」ことは，定積分の場合を除いて避けます．すなわち，「0<a≦1」「a≧1」のときのように，１つの値が２つの区間に重複して入る分け方は，しません．（=こうもり軍団は作らない）．だから，ア,エ,カのように「より大，以下型」で分けてきたら，「a>1」です･･･定積分の場合だけ，上の区間にも下の区間にも１つ値が入る書き方をすることがありますが，それは区間の端が含まれない広義積分の説明が面倒だからと思われます．（次の例外参照）
は，の略ともいえるが，区間の端が含まれても含まれなくても，定積分の値は同じだから，簡単な書き方で書く

**（ 昨日，PCが故障したときに，質問のメールが消えてしまいました．内容は，固有値に応じて固有ベクトルを並べ替えたら，行列の対角化が幾通りもできるのは，おかしい，違和感があるという指摘でした ）**
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材に書いてないことを見つけたのは，素晴らしい洞察力ですが，１つの行列の対角化は，「固有値に応じて固有ベクトルを並べ替えに応じて」幾通りもあります．やってみたらわかります．

【その他，固有値，固有ベクトル練習用の問題】の （1）λ=7 の時の固有ベクトルですが、 誤）これは s(5 4) と書いてもよい 正）これは s(4 5) と書いてもよい だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

グラフ問題もやって欲しい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭に「現在地と前後の項目」という形でメニューがあるので，それを見てください．

わからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「公式を確実に身に着けるための問題」と「※以下の記述は教科書レベルではありません．難しいと思ったら省略してもよい」と書いてある問題に分けてあるので，「公式を確実に身に着けるための問題」ができればよい．「難しいと思ったら省略してもよい」という問題は，難しいと思ったら省略してもよいので，結果における平等までは，必ずしも保証できません．

追加問題の(6)が a+b+c=S, −a+b+x=A, a−b+c=B, a+b−c=Cとおく （原式）=SAB+SBC+SAC−ABC =SA(B+C)+BC(x−A) ↑ B+c=2a, S−A=2aだから　(S-A) ↑ B+C=2a （原式）=SA×2a+BC×2a=2a(SA+BC) SA=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2 BC=a2−(b−c)2=a2−b2+2bc−c2 SA+BC=4bc ゆえに，（原式）=2a×4bc=8abc・・・（答） 矢印の部分は上のようになるのではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．c→C,x→ S 訂正しました

痒い所に手が届く解説で楽しく勉強しております。いつもありがとうございます。 文中、 上の表４において，得点ベクトルを →a=(40, 50, 60)... のくだりですが、表４というのは、表３のことではありませんか？ ご確認くださいませ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

例題11の解は、この形だと「ー」つかないと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

問題10の条件sの符号の向きが逆になってます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

問題の解答、途中式を知りたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書いてあるのに書いてないかのような感想文で，ん？と思いましたが，原因が分かりました．あなたは「iPhoneなのにPC用の画面を見ているので，右半分が見えていないのです」．そのページの先頭に，大きな文字で「→ 携帯版は別頁」と書いてあるのに従って，携帯版を見て下さい．

ペル方程式最初の説明茶色の部分（上記の*1〜*4の説明）で、下から4行目。 分母分子に共役？のルートをかける部分の分母がxになっていますが、nですよね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので，訂正しました．

問題の符号と　解説がそぐわない形におそらくなっていると思われます💦 例題2のしたの(3)ですが 平方完成次の分数の符号が本来−のとこをプラスと間違われてると思いますので、確認お願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「例題2のしたの(3)」とは「例題2の下の(3)」とすれば，ご指摘の内容を確認できません．
すなわち，
で正答です．「分数の符号が本来−のとこを」「マイナス」と書いています．プラスになるのは，問題文に初めから付いている定数項+7を加えた結果です．

2020年の解答(1)。=234ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答というよりは，途中経過の最初の式ですね．訂正しました．

2018年の問題(3)の問題文。余りが1、ではなく、2ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(2)の解答で示していますように，144x=7y+1となるときは，x=7k+2(kは整数)になります．

初めてお邪魔しました。わかりやすい解説でした。 引用開始（公式�Uの解説）２点(a, b), (c, d)を通る直線の方程式をいきなり考えると，点が２つもあってポイントが絞りきれないので，１点(a, b)を優先的に考える． すなわち，２つ目の点(c, d)は傾きを求めるための材料だけに使う．引用終了 傾きとｙ切片がわかっている直線から、二点を通る直線の導出の解説で、特にこの部分が素晴らしいと思いました。 ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題がわかりやすく、自分が知りたいと思っていた事が書かれていてとてもありがたかったです ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

xをsinθに置換積分できるのは何か不思議ですが、これは定義域に注意すればできるということですよね？（...以下略...）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのまま計算すればできる積分を，ことさらに置換積分で計算するのは，何か特別な意図がある場合かなと･･･

問題8について質問です。 2色が揃うと、必ず3色が揃うことになり ｎ(Ａ∩Ｂ)=ｎ(Ｂ∩Ｃ)=ｎ(Ｃ∩Ａ)=ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ) という関係になるのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題8はそういう問題ではありません．間違って問題9の質問をしているのでしたら，問題9の解説を読んでください．

いつも参考にさせていただいております。趣味でPythonで高校数学を再学習しているものです。（すでに70代に突入している世代なので、少しトンチンカンな質問かもしれませんが、ご勘弁を…) この記事とは直接関連しませんが、数列の漸化式に関する質問です。 Sympyにrsolve()という関数があり、漸化式から一般項を導くことができます。(...以下略...)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご質問の内容は教材と直接関係ありませんので，回答できません．最近は，Spamメール対策として，個人ごとの返信も避けていますので悪しからず．

初学者です。grad(φψ）の公式がこのサイトで見つかりました。導出過程を含めて記載されており、大変助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数十年ぶりに公式を整理してみました

とても分かりやすく, 体系的にまとめられているので良い復習になりました。 教科書では厳密性が重視されているため, わかりにくいところがありましたが, こちらのサイトのおかげで理解できました。（教科書が悪いわけではなく, 厳密性が高いところが教科書の良い所） 解の一意性などの細かい所は教科書に書かれているので頑張って理解します！ ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすくていいね
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(x+1)3=x3+3·x2·1+3·x·12+13=x3+3x2+3x+1 (2x+3)3=(2x)3+3·(2x)2·3+3·(2x)·32+33 =8x3+36x2+54x+27 [VI]　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3この式で、途中に３かけるが出てくるのか最初と最後には３が出て来ないのか、なぜ二乗なのかがわからないので詳しく載せて頂けると嬉しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．はとは違う．はとは違う･･･その説明が必要な場合は，かっこの使い方を中心に，中学校3年の教材から見てください．

問題１１の（�B）の解答が少しわかりにくい。なぜそうなるか、考え方も書いてくれると分かりやすくなると思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．これで目一杯です

高校数学 >> 高校数学�U・Ｂ>> 点と直線》２直線の平行条件にて　間違ったときは，右の欄を連打してもやり直しにはなりません　間違ったときは，「HELP」と「再開する」のボタンが表示されます．「HELP」を見る場合でも見ない場合でも「再開する」ボタンを押せば解答を続けることができます．とかいてありますがボタンは表示されず、また右を連打?することで正解にできてしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面の下の方だけを見ていると，ボタンは見えません．ボタンは上の方にあります．

例3.2ですが、(z-x)3乗を足しておくと、右辺が0になるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．右辺が0になるという証明が書いてあるのだから，「右辺が0になるのですか」と尋ねるのはおかしいです．
この質問は，時々ありますが，(...)の部分が書いてなければわからないのではなく，(...)の部分が何であっても，それに左から０を掛けると，式の値は０になります．

問題3の(3)がわかりません。解説を見ても、なぜそうなるのかがわかりません。 どうしても理解したいです。省いている細かい途中の式、計算などがあれば記載してほしいです。 よろしくお願いします。
（追加） 例3.2と問題3の(3)について、今日、わからないと質問した者ですが、なんとか理解できました。 このような解き方も因数分解よいうのだとビックリしました。お騒がせしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．特に省略はありません．解説を読んでもわからないということなので，その問題はあたなと相性が悪いということで，他の問題をされたらどうですか．そのページは，全体が応用問題です．

高2です。公式がしっかりまとまっていて問題もあってとても使いやすいです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高2で三角関数の微分をやると高3では，受験対応しやすいね

とても使いやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも勉強になります。例５−１の極小値はー１８ではなく、−８ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

2015年の問題(3) 茶色の解答上から7行目　m+1=2n の所は5nじゃないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

テスト対策に使わせていただきました。ありがとうございます😭
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

これってn個の点とその像がわかればn次元の1次変換も求まるということですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その通りです．ただし，ｎ個の点を表すベクトルが互いに一次独立でなければならない（例えば，２つが平行とか，他のベクトルで表せるような組合わせでなく，係数行列から逆行列が決まる［行列式≠0］ことが条件になります）

証明がついているのは気持ちがよいね. ありがとう.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

2019年センター試験の（３）セ がよくわかりません。 例えば、a=5とするとa+2=7なので最大公約数は１？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．おっとっと，入力ミスがありましたので訂正しました．

非常に素晴らしい。このサイトが検索順位上位に表示されてほしい。探すのに時間がかかってしまう。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題がついておりWeb上で解きやすい形式のため非常にありがたい。復習に用いている。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

３０年ぶりくらいに数３を勉強しており、素晴らしいサイトに出会いました。ありがとうございます。 例５ですが、置換積分を行うの後の２行目 インテグラルsin3x dx＝インテグラル(1−cos2x)sinx dt となっておりますが、最後のdtはdxではないですか？私が間違っておりましたら申し訳ありません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

いつも勉強に利用して頂いております。 【2020年度センター試験.数学�U・B】第4問（選択問題）(4)について、 問題1行目のOCベクトルとODベクトルの内積の記号が垂直記号になっているように思われます。 また【2018年度センター試験.数学�U・B】第4問（選択問題）（4）について 最後の解答　ト,ナ,ニ,ヌが「(3a-4)/ 2」のような気が致します。 お手数ではございますがご確認の程、宜しくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．ただし，2018年度については，訂正の仕方が･･･

このページではベクトルをあらわす矢印が大文字アルファベットのすぐ下にくっついて書いてあるのでFかEか　判断しにくい。ほかのページでは　アルファベットの上に書いてあるのでそんなことはないのですが。とりあえずフォントを大きくしてます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材はChromeで読むことを前提にしています．10年以上前からFirefoxには対応していません．（ページ数が多過ぎて，個々のページには書き切れませんが，ベクトルの矢印が文字の下に来るのは，全くの不具合です．）Chromeでのみ作動チェックしています．

1番下のスライド（参考）次のような公式もあるの下cosのはずがcotになっていますよ、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校でも進学校では，は普通に習うでしょう．そのページは，高卒〜大学初年度向けの教材です．「習う生徒と習わない生徒がいて，よく質問がある記号」はこのページの初めの方(*4.2)の次にまとめてあります．なお，あなたが考えるの微分は，逆三角関数の微分法の最初(2)に掲載していますので，違いはわかるでしょう．

いつも勉強に使用して頂いております。 【2014年度センター試験.数学�U・B】第4問（選択問題） （２）の問題文中最後から4行目、OPベクトルの大きさを問う箇所について 絶対値記号がついていないように見受けられました。 ご確認のほどよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

授業の予習復習に毎回とても役立ってます！！いつもありがとうございます！！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

このページにはax^2+bxの形の問題が多いですね。ax^2+bx+cの形の問題を増やしていただけると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定数項がない簡単な問題で練習してから，定数項のある問題でも練習するという流れで，そのページの問題7から次のページにかけて定数項のある問題が並んでいます．「自分の見ている1つのページにすべての問題が書いてなければならない」という思う込みは，携帯を使っている読者に多いようです．

みにくい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「携帯用は別頁」と書いてありますように，iPhoneでPC用の画面を読むのは無理です．

電気のRLC回路で、特性方程式というのがありますね。その判別式が減衰の形や速さに関係するというのが十分理解できなかったので、このページを見ました。この練習問題までやると、趣味の物理の方もできそうな気がしてきました。結局振動が起こるためには判別式が負でなければならない。重根の場合に減衰が一番早いというのは、一般解に現れるxの一次式部分の効果なのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．単純化して言えば，y’’の係数を1にしたとき，y’の係数は抵抗・減衰に関係し，yの係数は復元力に関係し，振動に対応すると考えるとよいでしょう．解がのようになるとき，実部が減衰の仕方に関係ありし，虚部が振動数ない関係あるような（50年も前の記憶なので，アバウトな話です･･･）

楽しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もう少し内容について記述がないと，回答しにくい

とても良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

マジで毎回助かってます。ありがとうございます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

丁度いい難易度の問題でした！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

還暦を過ぎて、国家試験を受けるために勉強を始めました。(10)で手こずりました。有理化の発想が出なかったです。まだまだです。頑張ります。素敵なサイトをありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．誰かがこう言った「人の一生は，何もしないのなら長過ぎる，何かをするには短過ぎる」．還暦の頃にはそうだなと思いましたが，実際には，限りなく時間があってもできないことがあるかもしれん．目標をよほど絞り込まないと，10年やそこら努力しても，成果が形にならないことがあるかも．

2次元、3次元の場合は面積、体積の計算がベクトル外積、6面体体積の計算とヤコビアンが一致することが証明できますが、4次元の場合はどうなるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．外積は３次元だけの話で，微分には関係なく，ヤコビアンは偏微分に関係していて，何次元についても定義できる．これらには直接の関係はないと思われる．

よくわからなかっとけどこれを読んでクソだとおもいました 文字が小さく読みにくい」
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Windowsの場合は「Ctrl+(+)」，Macの場合は「Command+(+)」により拡大表示されます（回数に応じてさらに拡大される）．元に戻すには「Ctrl+(-)」「Command+(-)」です．日常は，拡大縮小率(100%=1倍)で使う人が多いでしょう。

良くできている。勉強になりました。７４才
＝＞［作者］：連絡ありがとう．団塊の世代の先頭部分が，スリークォーターまで到達ということで，われわれは後ろからこっそりついていこうかなと･･･

素晴らしい教材をありがとうございます。おとなの学び直しにピッタリです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

採点では合っている、間違っているしか分からないので、答えを見られるようにして欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．回答欄に「」というボタンが目立つように置いてありますので，それをクリックすると，途中経過が見えます．

解説が詳しく、問題数も多いので自習にとても役立ちます。ただ、出先で勉強する際にはスマホ版のページを使うのですが、スマホ版だとメニューに表示されないページがいくつかあるように思います。このページもそうです。スマホ版の目次からもすべてのページに飛びやすいようにしてほしいです。よろしくおねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の点について自覚はあるのですが，各ページで見えるサブメニューを完全にして，スマホ版全体メニューを教科名（数学�T，数学Aなど）だけにするなど，簡略化の方法を決めないと，項目名を後から追加したときにごちゃごちゃするので，ついおっくうに成りがちです．この秋にはもう少しすっきりさせる予定です

平方完成のページであったら平方完成について簡単に概要を教えてほしい。どうゆう形にしないといけないだとかそゆかんじ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭に「現在地と前後の項目」が表示されています．それがサブメニューになっていますので，１つ前のページを見てください．

とても面白い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

出題の仕方もヘルプも非常にわかりやすいです 問題には特に関係ありませんが答えが合っていた時や全ての問題を解き終わった際のアニメーションがモチベーションになります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題を増やしてくれると良いと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．幾つか増やしました

ちょっと前のページでは全角数字でもOKだったので、こちらでもOKかと思い入力したところ、間違いになってしまいました。基本的には数字は半角で入力しなければならなかったのですね。。。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Internet Explorerの全盛期（2000〜2005の頃）は，読者の画面が漢字変換モードになっていれば，これを自動的に外すというコマンドを組み込むことができましたが，今日そのコマンドは使えない．
　さて，全角文字は「数字」ではなく「漢字」だということは，小中学校で最小限9年間習うはずですが，数値を入力するときに全角数字で入力する児童生徒がいる場合に，次の２つの立場のいずれかで対応しなければならなくなります．(1) 2度と間違うことがないように「厳しく叱る」　(2) Microsoft Excelで入力するときのように，不用意に全角数字で入力したときは，ソフト的に勝手に書き換えて半角数字にして，合格にしてしまう．
　子供の数が多いときは(1)の立場でもやって行けたようですが，少子高齢化の時代（そのせいとは限らない？）を迎え，(2)の立場に立って，勝手に答案を書き換えて，歓迎してやるのが今日の正しい立場であるようです．この立場に立って，全角数字が入力されたら，勝手に半角数字に書き換えてしまうプログラムを組み込んでいますが，何しろ20年以上前に作成したぺーじもあり，全部書き換えできているとは限らないということです．

グラフ表示の色設定についてです。私のディスプレイの設定のせいなのかもしれないのですが、色が明るすぎるためだんだん目がチカチカしてきてしまい、目盛りを数えるのが辛くなってしまいました。年のせいかもしれません・・・。蛍光色のような感じに見えてしまうのですが、何かこちら側でディスプレイ設定を変えることで対応できるかご存じでしたら教えていただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1)各自のパソコンによって違いますが，画面の外に明るさを「+：増加する」「−：減少する」のボタンが付いてるときは，それを2，3回押せば調整できます．さらに，ソフト的に0％から100％まで明るさを調整することもできます．(2)コントラストが弱いと見えない人がいる⇔コントラストが強いと見える人が増えるが，疲れる人が増える．八方美人の顔をする（ユニバーサルデザイン）は，掛け声，目標としてはよい話ですが，達成できるのかというと，なかなか難しいことになります．
　一応，コントラストを下げましたが，あちらを立てればこちらが立たない関係ですので･･･

向きと方向のような、用語の解説があるのがとてもよかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その教材では，向きと方向を区別する高校教科書の多数説で説明しましたが，大学教科書ではその区別をしない立場もあります（方向と向きを同じ意味に使う）ので，書かれた文脈から読み取る必要があります．

全ての偶数がツリーに現れることは自明なので、奇数が問題、奇数を×2などして、偶数にして戻すなどの作業でできるのではないか。（もちろん私にはアイデアはあるが、実行できない ）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

コラッツの予想
コラッツの予想 ：　任意の0でない自然数 a をとり、a が偶数なら奇数になるまで2で割る。
aが奇数なら3倍して１を足す。　これを繰り返すと有限回で１に到達する。　
1 に到達すると、1→4→2→1 を繰り返す。
”１”を目指す数の並びを整理します。
1
↑
5 ← 21 ← 85 ← 341 ← 1365 ← 5461← 21845 ⇐
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↑ ↑ 227 ← 909 ⇐ ↑ 14563 ⇐
↑ ↑ ↑ ↑ ⇧
↑ ↑ 151 ← 605 ⇐ 7281 ← 29125 ⇐
↑ ↑ ↑ ⇧ ⇧
↑ ↑ 201 ← 805 ← 3221 ← 12885 ⇐
↑ ↑ ⇧ ⇧
↑ 　　　 　113← 453 ← 1813 ← 7253 ← 29013 ⇐　　　　　　　　
↑ ⇧ ⇧ ⇧
3 ← 13 ← 53 ← 213 ← 853 ← 3413 ← 13653 ⇐
↑ ⇧ ⇧ ⇧
17 ← 69 ← 277 ← 1109 ←4437 ← 17749 ⇐
↑ ⇧ ⇧ ⇧
11 ← 45 ← 181 ← 725 ←2901 ← 11605 ⇐
↑ ⇧ ⇧ ⇧
7 ← 29 ← 117 ← 469 ← 1877 ← 7509 ⇐
↑ ⇧ ⇧ ⇧
9 ← 37 ← 149 ← 591 ← 2389 ← 9557 ⇐
↑ ↑ ⇧ ⇧
↑ 99 ← 397 ← 1589 ← 6457 ⇐
↑ ⇧ ⇧
49 ← 197 ← 789 ← 3157 ← 12629 ⇐
⇧ ⇧ ⇧ ⇧
上の数の並びを整理します。
　１　( 3 x 3 ) + 1 = 10 →　10 / 2 = 5 が最初です。コラッツの操作で 3は、次の 5 に進みます。
　　　( 5 x 3 ) + 1 = 16 →　16 / 24 = 1 で 3 と 5 は、1 に達します。 1 は、 3 → 4 → 2 → 1 で元に戻ります。
　　　この1 、 5 、3 の並びに、続く数の配置を整理します( ⇪ 印は、更に続く位置を示しています。)。　　
　２　図の各数aは、3倍して1を加え（3a+1）、奇数になるまで2で割ると、矢印 (←) に沿ってひとつ上の数、
　　　又は横に進んで左端のひとつ上の数に進みます。
　３　数aの右には、1 を除いて （4a+1）が続きます。3倍して1を加え、奇数になるまで2で割ると、全て左端
　　　の数のひとつ上の数に進みます。いずれの数より小さい数です。
　４　数aがnを自然数として（3n+1）の場合は、（4a-1)/3が下に続き、元の数より大きい数になります。
　５　数aが （3n+2）の場合は、（2a-1)/3が下に続き、元の数より小さい数になります。
　６　数aが （3n）の場合は、下に付く数はありません。各縦列は、(3n) の数に達して終わります。
　７　各縦列は、（3n+1）または（3n+2）で始まり、右に （3n+2）、（3n）、（3n+1）の繰り返しが続きます。　
　８　左端を限る各縦列は、（3n+1）で始まり、それぞれ右に（3n+2）、（3n）、（3n+1）の順に繰り返しが
続きます。下端は（3n）で、右に（3n+1）、（3n+2）、（3n）の順に繰り返しが続きます。
　　　右の （3n+1） の数から、また縦列が下に伸びていきます。
　９　任意の数aがnを自然数として（4n+1）の場合は、操作で自身より小さい数に進みます。
１０　任意の数aがnを自然数として（4n+3）の場合は、(4a+1)の左に位置し、(4a+1) より小さい数に進みます。
１１　４進数を使えば、配置が分かり易く整理される事を付け加えます。　
　
コラッツの予想を支持します。
T.Maeda (220627ハチ公より)

＝＞［作者］：連絡ありがとう．

【センター試験2017年度 数学�T・A 第１問】の（ウ）の問いに関しての疑問です。解説では左辺が　Xの３乗＋８/Xの3乗　になっていますが、問いでは左辺が　Xの３乗＋２/Xの3乗　になっています。解説を読んだところ、問いの方が間違っているように思います。他のサイトでも　Xの３乗＋８/Xの3乗　でした。これは問いが間違っているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の方に入力ミスがありましたので，訂正しました

問題３（３）と（４）の違いがわかりません。 特に−２が（３）では＝bとなるのに（４）では係数になるのがわかりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
解説を見ればわかるはずですが
(3) ←これが問題
はにならない
(4)
はにならない←これが問題

例8右側の列、上から4行目、−2nrn−n(n+1)rn+n(n+1)rn+1とありますが、−2nrn−n(n+3)rn+n(n+1)rn+1だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の答案のままで合っています．

2021年度の共テ　大問2、括弧2のニについて、解答が間違っていましたので連絡させていただきます。正答は�@だと思います、早急な確認、お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

質問失礼します。時間のある時にさせて頂いています。高校時代全く分からなかった問題もコツコツやっているとなんとなく理解出来、ごく一部ではありますが、解ける様になって来ました。ありがとうございます。さて、三角関数の合成公式の問題5の耳あて図ですが、問題4のコピーの様な気がします?間違っていればすみません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．オットット，いわゆるコピペになっていましたので訂正しました

問題6番の回答が2nまでの和で計算されていて、問題と答えが異なっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．n+1から3nまでで項数は2n項になります

最後の簡単な約分計算の式の答えは１だと思うのですが？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．背理法になっていて，約分して１になるのは矛盾だと書いてあります．

一番上の例題の（ア）の２つ目の変形のｘの指数は -2＋1 ではなく、 -2 ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

分かりやすくてとても役立っています！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(5)の左辺のlogの左についているものはlogの係数でしょうか？それともlog2xが指数なのでしょうか。おそらく解ける方は計算式を見てわかるものだと思うのですが、私はログに慣れていないのでわかりません…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数が対数になっているものは，このぺージにまとめてあります．

最後の問題から選択肢を選ぶ問題で、解き進めてみたら、y=-1/2xとx-y=2が残って、選んでも間違いになります。バグだったら直していただけないでしょうか。おねがいします！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．6分の1の確率で，x-y=2が2回登場するようなので訂正しました

「男女による例え」もあって分かりやすいです！ ありがとうございます!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あと数年後には，このような例えは使えなくなるかもしれません･･･今のところ，Web教材だからスレスレでセーフですが，どちらかに決めたくない人もいるかもしれないので，人の性別，国籍などの属性に関する話題は，他に使える例がないとき以外は触れない方が良さようです．（たぶん，教科書では，書かないでしょう）

3番の問題のような物は必ずxの方で計算しなければならないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．3番とは何のことなのか分かりませんので，2つの場合に分けて示します．3番が例3を表す場合，「xを求めよ」という問題だからxを計算するのは当然です．3番が問題3を表す場合，ｙ成分が0のベクトルとの内積だから，x成分だけが残るのは当然です．

https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s12jg502.htm の問題が全10問と書いてありますが、8問で終わってしまいます。小学生の数学発展難問とかを追加してほしいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．8問にしました．小学生の算数は扱いません．政治的中立の立場から，大阪都の話題は扱っていませんが，バカリズムのファンであることぐらいは書いてもらっても問題なしです．

いつも利用させて頂いております。 円の方程式3【問題1-2】において 「平方完成の変形を行うと，(x−1)2+(y−2)2=13になるから， 　中心の座標が(1, 2)で半径が”√10”の円・・・（答）」 となっておりますが、答えは”√13”ではないかと思います。 ご確認の程、宜しくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

問題２の解説を見たのですが、なぜあのようにしてp,q,r の正負が定まるのかが分かりません。何に着目しているのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その問題だけを見るのではなく，そのページの前から順にみてください．

わかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

化学のイオン式とかmolとかの計算や組成式・分子式・とかの問題もほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校化学はもう何十年もやっていません．無機化学は定型的な問題を扱っている問題集を「1冊つぶす」という感じの分量の勝負になり，有機化学は構造を図に描くという作業をやりながら出題され方を見ていくという作業になるかな．トレンドな問題集があるはずです．

解説、問題共にとても分かりやすく、素晴らしいサイトだと思います。今物理の勉強を自分で進めているのですが、オーナー様は今後このサイトの物理版のようなサイトを作られるご予定はありませんか？もしこのサイトの物理版があればぜひ活用したいです。またこのサイトのような物理勉強サイトが既にあるのであれば、オススメのサイトを教えていただけるとありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．我々の習った高校物理は，教科書を使わずに，必要に応じて微積の公式を教えながら行うものだったので，現在の教育課程のやり方と合いません．無理です．

このx座標とy座標を対応させ、グラフを用いて考える論がいままでずっと分からなかったのですが、この頁を読んで理解することができました！ありがとうございます。 また、解答作成について質問なのですが、このグラフを用いて実際の答案を書くということは出来ないのでしょうか？記述式の解答ではやはり上のように文字式を使って書かなければいけないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答者の意図がどうであっても，ほとんどの採点者は必要条件は満たされているが十分性が示されていないとして減点するでしょう．すなわち，解があるとすれば，特性方程式としての無理方程式の解しかないことは示せるが，実際にその値に収束することが示されていないとして,半分以下の得点にするでしょう．やはり，収束する等比数列との比較は必要です．

‪‪例C3やD3の問題の左側の部分を行列にして行列式を求める余因子展開で、45になる理由がわからないのでそのステップを教えてください。なぜか毎回115になってしまいます (↓これのことです)
︳2 3 6 -2 ︳
︳1 4 -2 4 ︳
︳4 1 7 5 ︳
︳3 7 3 2 ︳

＝＞［作者］：連絡ありがとう．行列式の値を計算するには，(A)余因子展開による方法，(B)行列式の基本性質などを確実に身に付ける必要があります．（なお，３次正方行列の場合は，サラス［サリュ］の方法もある）
　問題の符号を写し間違えている場合は，何回やっても，合いませんが（3行4列の符号が逆），→その場合でも95になる．
(A) を1列に沿って展開すると
3次の行列式に展開をサラス（サリュ）の方法で行うと，2×6−(−43)+4×20−3×30=45
(B) 行基本変形で，１つの列の成分でなるべく多くの0を作る（ここでは1列目の2行を生かして，1行，3行，4行の1列目の係数を0にすることを考える）
→1行−2行×2，3行−2行×4，4行−2行×3
→1列目に沿って展開する→→1行目を5でくくる，2行目を3でくくる→→2行−1行×5,3行−1行×(−2)→→1列目に沿って展開する→

問題で一度次の問題に進んでしまうとその前に解いた問題を見直すことが出来なくて困りました。たくさんの問題がランダムで解けるシステムはとても良かったので、解いた問題が下に表示されるようになる、などしていただけるととってもありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

分かりやすくてとても良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題2.3.3 右中下くらいで、 ☓ x2=t[2,-1,0] ☓ x3=t[1,0,1] ○ x2=t[2,1,0] ○ x3=t[1,1,-1] 以降は正しいです。 細かい部分まで例示されており勉強になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミス2箇所訂正しました

例題2（3）解答 4 1 4 5 1 -1 となっているが、正しくは 1 -1 ではないか。 この問題において、答えの右下部分、 6・7°ではなく、5・7°（°:n乗）と思われる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミス2箇所訂正しました

楽しかった気持ちよかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題の解答は、どこに提示されていますか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問正解の場合，（それが正解だから）解説が出ない設定になっていましたが，正解の場合でも解説が出るようにしました．

とてもわかりやすく、このおかげで正弦定理が理解できました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(tA)^2が正則であるときAが正則である理由を教えていただきたいです。🥺
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ほぼ即答可能の一口おにぎりという感じですが，それが喉につかえて飲み込みにくいのは，縦と横を逆にしても行列式の値が等しいということ･･･そのページの(5)を使っていないからかな？
このページの〇4 (a)(b)を見ると
･･･(a)
･･･(b)
そこで
ならば(b)により，さらに(a)によりが成り立つ．

例題5の図は反対ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページに「油断大敵：むつかしござるの罠」の話が書いてありますが，あなたは，その罠にはまっていませんか？「２つの果物を3個の箱に入れる」のではない．

例題1のｎ＝k＋1は、なぜAになるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．代入したら成り立つからです．(A)という式の「見かけの形」を固定してしまったら変数を用いた代数の議論になりません．色即是空．その式が表している内容を見るのです．
･･･(#1)
･･･(#2)
･･･(#3)
･･･(#4)
(#2)が成り立つとき，(#1)はn=kのときも成り立つ．
(#3)が成り立つとき，(#1)はn=k+1のときも成り立つ．
(#4)が成り立つとき，(#1)はn=k−1のときも成り立つ．

最後に応用問題を出したほうが良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．はじめに「応用的な内容を期待される方は，他のページを見てください．」と書いてありますが，数学�Tの段階での指数法則の応用問題は，多項式の展開です．だだから，応用問題をしたければ，次のページに進めばよいのです．別の言い方をすれば，そのページは中学校の復習で，本来いらない項目ですが，多項式の展開の準備として「指数法則を忘れてしまった人が復習するためのページ」です．･･･負の指数，分数の指数などは数学�Uの内容になります．

(7)の問題の置換は自分で思いつきそうもありませんでした。やはり、暗記するしかないのでしょうか。何か、コツはあるのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．微分の計算は機械的にできますが，積分や微分方程式は「やり方（答）」を知らないとできないことがあります．数学�Vの範囲では（大学入試までは）次の３つまでは「覚える方が良いでしょう」，しかしそれ以上の大学初年度で習うような込み入ったものまでは「覚えている暇がない」ということでよいでしょう．
とおく･･･(#1)
とおく･･･(#2)
とおく･･･(#3)

行列を用いて三角関数の加法定理が簡単に導出できるらしいのですが、 行列の積の公式を用いても、右上（1，2）と左下（2，1）が逆になってしまって解けません。 教えていただきたいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．xy座標系が固定されていて，物の座標が点(x,y)から点(x', y')に原点のまわりに角θだけ回転移動するときの関係式は，このページで解説しています．
･･･(#1)
なお，物が移動せずに，xy座標系が原点のまわりに角θだけ回転するときは，結果的に物を原点のまわりに角−θだけ回転移動させたことになる．

･･･(#2)
たぶん，ご質問の加法定理は(#1)のことだと考えられる．
　原点の周りに角αだけ回転移動してから，さらに角βだけ回転移動する一次変換の行列は，


　原点の周りに角α+βだけ回転する一次変換の行列は

　これらが，一致するはずだから

とてもわかりやすい解説ありがとうございました 追加問題の答え合わせや採点が出来るのは本当に助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

素晴らしいです。点Aが点Oになるときも付け加えるといかがでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Oが外心ならばＡに一致することはなく，原点ならばとすれば直ちにできるので，別途書くことに意味があるとは考えられない．

例４ですが、「2)のように単調増加（減少）でなく増減のある区間を用いて変換するのは不気味であるが計算は一致する。」とありますが、区間は単調増加（減少）でないといけないと習いましたが。現に −π→π2では答えが違ってくると思うんですが。 小生７６歳の百姓で、趣味で数学を楽しんでいる者です。指摘が間違っていたらすみません。ご指導 頂けたら幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．手元にある数学�Vの教科書（K社，D社，T社，S社）で「変数変換は単調な区間で行わなければならない」と書いているものは，１つもありません．定積分は原始関数に上端の値，下端の値を代入して引いたもの（定数）なので，値が等しければ定積分は等しいことになります．
のとき

めちゃくちゃ問題あって問題集ない身からするとありがたいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

全然分からなかったので、助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

情報量の計算で対数(log)を使用しており、対数のサイトを巡っていてこのサイトに行き着きました。 例題や練習問題などがあり分かりやすかったです。 解説にもあったlog[2]3=1.584...ですが、log[2]3をどのように計算していけば1.584..が求められるのかを具体的に教えていただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．の計算は「底の変換公式」を使って計算します．

問12で何で先の奴であるCが出てきたんですか？ 一回目で選ぶ時は普通にPで、2回目でじゅずの法則使えば何とかなるんじゃないんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自で納得しやすいロジックを選べばよいでしょう．例えば，「同じものが含まれるときの順列」の総数は，どの教科書でも「組合せ」で説明します･･･番号札のもらい方に直す･･･が，この教材では「順列」で説明することが多いです．見える物の方が納得しやすい生徒が多い．

テスト直前で焦ってたので助かりました！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

質問なんですが問題3は1が真ん中にないと解くことはできないですよね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それは結果論に過ぎないでしょう．

b^2-4acの符号の所の平方完成一行目b/aの後、xが抜けている気がします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

いい勉強になりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

もう少し簡単に詳しく教えてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．丸い三角，黒い白鳥，色即是空などはどう解釈してよいのかが，難しいです．

練習問題がたくさんあって経験値がここで上がりました！ありがとうございます。もしよかったらでいいのですが、頁の最後にまとめの問題のような問題を10題ほど出していただきたいと思いました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

すごくわかりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

基礎的な確認になるなと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすく、参考になりました。ありがとうざいます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

色の影響か、少し読みにくかったです。 内容は素晴らしいです。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

毎度、お世話になってます。 間違いをひとつ指摘させていただきます。 置き換えによる展開【問題2.8】の答えは、aの4乗⇒2乗　です。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

例題を使って分かりやすく解説されていて、非常に助かりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすい解説にいつも感謝しています。 指摘失礼いたします。 (B)相似図形を使う方法　で、 (1)(2)(3)を代入すると　の下 (1+m^2)+(1+m'^2)=(m-m')^2であっていますでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「(A)三平方の定理を使う方法」ではその話が出てきますが，「(B)相似図形を使う方法」ではその話は出てきません？

改行が少ないので読みにくかったです。
＝＞［作者］：意味不明です．改行幅（行間の関係）のことなのか一行文字数のことなのか？いずれの場合でも，変更の予定はありません．

「空間と直線」について考えている時に拝読させていただきました。 読んでいて印象的だったのが、言葉と数式とイラストのバランスの良さが素晴らしいと思いました。 （数式の理解のためのイラストやイメージの重要性に改めて気づきました） ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

勉強になりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題５の（２）、三角関数の合成ミスってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

漸化式の極限はないのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数列の極限(受験向き)という項目を見てください．

問題３の下から２つ目の選択肢は、xy=2　の間違いであると思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．の解説を読んでもらうと，でよいということが分かります．

20分の9の循環小数を知りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．別に見下しているわけではないが，そのページを読んだ人から，そのレベルの質問が出てくることが驚きです．
１＝0.9999･･･です．同様にして，２＝1.99999･･･です．だから，9/20=0.45=0.44999･･･

問2-2について質問があります。 定数項は4y^{2}-3とありますが、これは4y^{2}という定数項と-3という定数項の2つが並んでいるのですか？それとも着目した文字を含まない項は数と同様に扱うため、4y^{2}-3という1つの定数項になるのですか？また、定数項の係数はその数自体、次数は0とありますが、定数項4y^{2}-3の係数と次数を求めるとしたら何になりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(4y^{2}-3)という1つの定数項です．かっこを書かないと不正解とする先生もあるが，筆者はなくても分かるという立場で採点する．4y^{2}-3の係数は(4y^{2}-3)，次数は0

教えていただきたいのですが (a/b)>(c/d)かつ(e/f)>(g/h)のとき (a+e)/(b+f)>(c+g)/(d+h) は成り立つでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少しやってみて，難しそうだなと思ったら，証明できないことを示す：反例を示すことに切り替えてもよい．
(1) まず，文字の中に負の数が含まれていれば，成り立たない例は，簡単に作れる．
のとき
であるがとなるから，証明したい式は成り立たない．
　　次に，文字はすべて正の数である場合
のとき
であるがとなるから，証明したい式は成り立たない．
　以上により，成り立たない.

こちらのサイトは初見だったのですが、例題の茶色の字で書いてあるポイントだったり、最後の穴埋め形式の問題で学習できたり、すごくわかりやすくてよかったです。 見るだけで満足してしまうことが多いので、穴埋めの問題は私にとって少しハードルも低くて取り組みやすかったです。またお世話になるかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題４の（4）の解説が出て来ないのですが......
＝＞［作者］：そのようなことはありません．落ち着いて「解説」というボタンをクリックしましょう

基本的な三角比(図あり)　についてです 問題1なのですが選択肢を選択したときに表示される絵が 正解を表しているか不正解を表しているか分かりにくいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それは「不正解」ということです･･･読者が傷つかないように「バッカモーン，やり直しだ」などのハッキリし過ぎる表現を避けたものです．

コラッツ予想は、数学IIBの知識で証明できます。日本のプレプリントサーバーJxivの数学の部門に論文を公開しました。よろしかったらダウンロードしてご覧下さい。二進法表記で３を掛けて1を加える時の桁数の増加期待値（A）と2で割る時の桁数減少期待値（B）を比較すると、Bの減少期待値はAの増加期待値と同じか大きいので、無限大に発散しないで、最後は桁数1になる。桁数1は十進法で1だから最後は１になるという証明です。途中でループに入らないは、コラッツ予想の数値は、階差数列なので、一般項を求めて、それを使って背理法で証明しています。高校生の励みになると思います。松本　真
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもわかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

練習問題の3番，x+y=uと置くとdu/dx=2x/uとなり簡単に解けますよ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

正答・誤答を花で表すことによって息抜きになる。 問題もスキマ時間に解くのにちょうど良い。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

円と接線の方程式の図（circle_tangent_episode3_2.gif）についてです。 図の中で表記されている(p, q)は円外の1点の座標なので、表記は(a, b)とするのが正しいと思ったのですがご確認いただけますでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どちらが読みやすいかという判断で，(p,q)に揃えました．

文章だけでなく、図も用いて定義を説明してくれるのが分かりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

テイラー展開できることは剰余項が0になる事を意味していると思います。剰余項のランダウの小さいオーダーの意味がよく分かりませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そういうことが書いてある頁をネットで調べたらよいのでは？

コラッツ予想を証明しようとしていますが、間違っているところを見ていただけませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は，楽しい数学いろいろ紹介のレベルなので，先端の数学には対応していません．無理です．

簡略化しすぎて訳がわからない知りたいところがないので正直言ってきついです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ベクトルの成分表示，3点が１直線上にある条件（高校数学�U）などを十分習得していない場合，１階を作らずに２階を作るような危ない話になります．･･･とりあえず，ベクトルの復習から初めて見るのが近道かも

問題3の7においてαの値が2/7π＋isin2/7πと表記されているのですが、解説にてα^7=1と記載されていることから、おそらくここの値はcos2/7π＋isin2/7πだと思われるのですが、もし間違っているのであれば、お手数ですが修正お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

問題3の(2)の解説についてですが、ab+1=Aとした時にやはりabの項を残すのに 納得できない生徒さんが一定数いるように感じます。 この数式は、問題３の(1)でxが0次〜4次まで出るのとは違って、aもbも2次以内に収まるため、 問題1の(3)と同じようにたすき掛けに持ち込む方が自分としては理にかなうと思うのですが いかがでしょうか。 私が始めに2次式に整理してからたすき掛けに持ち込むことを常に意識しているため このように考える癖がついているだけかもしれません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解き方とか好みなどは，各自の自由です．色々な解き方があるということを「見ておく」のも後に参考になることがあります．

綺麗にまとめられていて、さらに問題もついているので何度も復習しようと思わせてくれるような構成になっていてありがたいです。色合いが個人的好きです。笑 他の単元も活用させていただきます。 最後に、.少し例題12について質問があります！ cosをtanに変換しているところがなぜそうなるか分からないので確認して頂けると助かります。 よろしくお願い申し上げます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が分かりました．
•まずは，回答から
，ただし，欧米，国内でも最近の書き方としてとすることも多い．
（先に書いたほうは「3文字目の逆」で覚えられる．CSCθの方は，どの記号も３文字できれいだが，何の逆なのかの見分けが簡単な規則になっていない）
•　要するに，正弦，余弦，正接を表す三角関数の記号に対して，その逆数を表す記号があって，です．
•　高校の学習指導要領からいつ消えたのかは，正確には覚えていませんが，現在「高校の教科書」「大学入試問題」では見かけません．「進学校」「高専」「社会人でexcel計算をするとき」などは，知っていて当然という扱いだと思われます．「大学でこれを教えている暇はないでしょう」．言葉の定義だけのことで，説明に5分も要しませんが，どの段階で誰が教えるか，誰も責任を持っていないようです．
•　教える側としては，「三角関数の単なる逆数であって，なくても困らない」ものなので，教えたいと思うことはないのですが，大学入試の過去問や社会生活では普通に登場するので，「生徒が不利にならないように」さっと触れておくくらいの扱いでしょう．例えば


などはよく使われる公式です．

高校の範囲で質問です。双曲線の対称性(第1象限が分かると他の象限が分かること)の証明を取り扱って頂きたいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．円，楕円，双曲線の標準形が，x軸についてもｙ軸についても対称であることは，式の形から直ちに分かるので，普通は証明しません．高校の授業では，高校３年の授業時数は少ない（２月，３月はほぼない）ので，双曲線の方程式に割り当てることのできる時間は，２，３時間でしょう．そのうちの１時間を，対称性の証明に充てることは，ほぼないことです．
･･･(1)
とおく．点が(1)を満たすとき（点が双曲線(1)上の点であるとき）

だから，点も(1)を満たす．（点は双曲線(1)上の点である）
同様にして，

だから，点も(1)を満たす．
以上により，グラフはｘ軸に関して対称で，ｙ軸に関しても対称（さらに，原点についても対称）と言える．

わかりやすかった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

公式の証明助かります😊
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最初の方の「2 定積分の計算例」の(1)、問題だと分母がx+1だけど、解答の方は冒頭の式、分母がxになってますが、これはタイポですかね。一瞬頭の中がパニクりました（汗）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

すごくためになりましたこれからもこういうふうに出していただけると嬉しいです。/すごく難しかったです！！でも、とてもためになりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもわかり易かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすくて授業理解の参考になります。 平法完成をマスターできるようにしたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最後の問題で脂質が資質になっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

上から二番目の問題 カの後ろの正負が解答欄では−で解説では+になってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正はしましたが，そのページではなくて，そのページが引用している別のjsファイルを訂正した場合，コンピュータのキャシュメモリが以前のデータをなかなか離そうとしないため，画面上で変化しにくいことがあります．（キャッシュを削除すればすぐに直りますが，ブラウザによって，「1時間以内」のキャシュに限定して削除，などと詳細指定しないと，他のキャシュも削除されることがあるようです）

文字ではなく、式だけの解説が欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．式だけではわからない人がいるから，文字も書いてありますが，文字を見なければ，式だけになります．問題と解答の間に途中経過が必要なものではなく，問題即答です．

公式はan+1-α＝p(an-α)の形をしているのに、なぜ問題(4)や(5)ではan+1-α＝p(an-β)の形をしているのかが分かりません。だから、教えていただけませんでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．an+n+1=bnなどと書いてあるのです

問題7-1の「(x−3)2+(−1)y2=5」は円ではなく双曲線だと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

非常に素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

塾の予習復習に充てていますが、電車内でもできるため非常に良いです。また解説も非常にわかりやすいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

平方完成の手順は、二次方程式の解の公式(中３数学)の導出そのものなので、高校に入ってから練習するのでは遅いです。中３の頭、展開や因数分解と並べて教えてください。高校で教わるのは遅いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．中学校の教材にもありますので，読んでください．

わかっていなかったのでわかっていなかったのでよかったです。ありがとうございます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても面白くて内容も素敵だと思いますこれからも頑張ります。悪い点は無かったです。いい問題集だと思います。 これからも頑張ります(１０)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

良かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

見やすいし、分かりやすい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

網羅性があるのかだけ気になるが、良い。 また根本的なところを理解するためにもうちょっと導入の解説を増やして欲しい。初学者にも分かるように。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの全文が導入部分です．絶対値とか三角関数が分からない場合は，絶対値や三角関数の復習をやっていください．

問題ありがとうございます！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

常用対数でつまずきまくっていたので問題を解きながら理解できるのがとても良かったです。 参考書とノートが無くてもパソコンのみで勉強できる楽しみを知りました！ 間違ってもすぐ解説が見れるので分からないままにしなくて済みます。 これまで参考書や解説を見て分かったふりになっていた自分に気付きました。 これからも活用します！ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもよいもんだいでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

基本的なところが大変分かりやすく、かつ詳しく説明されていて、再確認、再理解することが出来ました。 次いで、内積、外積をこの様に定義する理由、事情があるのでしょうか？ お訪ねしたいと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定義は約束事で，どう決めようが各自の自由ですが，長年にわたって生き残れる定義は，何らかの利点があるのでしょう･･･例えば，物理学への応用など．内積は，成分に直したときに，その定義がとても使いやすいということが分かります．外積は，物理の回転モーメントに対応しています．

【問題2.4】解答を見るで(10L+1)×7（Lは整数）=10M+1（Mは整数）が間違ってます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

初歩の初歩忘れちゃってたので助かりましたありがとう
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

解説がはしょりすぎ過ぎていて分からない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まとめのページから読むと要約しか書いてない．基本のページから読んで，できるようになってからまとめのページをやってください．そこに目次が付いています．

因数分解楽しすぎます❗️ もっともっと解きたい❗️
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

自分はたすき掛けが苦手なのでいろんな問題を解いて楽しいと思えるようにしたいです　　ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

質問です。 級数の問題で部分分数分解の知識が必要だったので振り返っていました。 例２の右辺、1/2でくくれる理由が何なのか分かりませんでした。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．第１項は

だから

です．第ｋ項は

だから

になります．

集合は4パターンのベン図に表されると思うのですが（AとBが重なっているもの、Aの中にBが含まれているもの、Bの中にAが含まれているもの、AとBが別々であり接しないもの）それらを踏まえてド・モルガンの説明をしていただけると助かります…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２つの集合を図示する場合，教科書などに描かれている「双眼鏡のような図」がすべての場合を表しています．以下，×印はそこが空集合であることを表しているものとします．1.はA∩B=∅に対応し，2.はA⊃Bに，3.はA⊂Bに，4.はA=Bに対応します．このように，双眼鏡のような図について述べれば，他の特別な場合もすべて含まれるので，個別に議論する必要はないというのが，通常の説明の仕方です．×印が空集合を表すという説明の仕方も全国共通です．

(4)の解説をしてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説を追加しました

いつも詳し過ぎる内容に感服しつつ読まさせていただいています．つい最近，ここの内容を授業しました．証明問題で陥りやすい間違いについて，教科書には記述がありません．また，それを授業で一切説明しない教員もいるのだろうか，と思いつつ..
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

大人になってからlogの計算を解かなくてはならなくなりこちらのサイトに行きつきました。解説もわかりやすく練習問題で自信がつきました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

なるほどです！わかりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

説明もわかりやすく、見やすくてスムーズに学習できました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ためになりました。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(9)はどのようにして変形したのですか、特性方程式でうまくいきませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定数係数の場合でなければ，特性方程式を振り回すと失敗します．そのことは，初めの方から述べています．ではどうやるのか？これが公式ですというものを期待せずに，例題の背中を見ていれば身に付くことがあるのです．

【例題3】(1)の解答でｐが2/27なのに1―Ｐが25/27ではなく5/27になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

解説が丁寧で、躓くことなく最後まで出来ました。よい教材をありがとうございます。さて、問3の解説で「d/dr(sin(r^2))=2rcos(r^2)だから」〜につづく両辺への積分が0→1区間の定積分になっていますが、本来は不定積分ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．不定積分に訂正しました．

問題に，指数計算の和差算もつけたほうがよろしいのではないのでしょうか？（上から目線ですみません）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は数学�Tの最初に，展開や因数分解の前提となる指数法則をまとめたもので，指数関数の話は数学�Uを見てください．

【問題５】(2) の問題文、第n群の群が欠けています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

【類題1.2】の解答(�@)でア）とイ）同じ物があるときの順列は3!/（2!＊1!）ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

例題2の1≦tのとき，最小値はf(t)=(t−1)^2はt=1も含まれるので区間t≦x≦t+1より、t=1の時、つまり f(1)=0が最小値ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．f(t)=(t−1)^2にt=1を代入するとf(1)=0になると読むのです･･･一般に関数を区間に分けて調べるときに，連続関数では右の区間に含めても，左の区間に含めても同じ値になります．ところで，数学�U，数学�Vの定積分を除けば，区間分けは「もれなく」「重複なく」分けるのが基本で，t≦1, 1≦tのように1が右にも左にも含まれるような書き方は避けます･･･こうもり軍団は獣の味方か鳥の味方か，はっきりしてくれという問題を起こさないようにします．だから､1≦tのとき，最小値はf(t)=(t−1)^2で何も問題はないのです．･･･等号を左に含める書き方は，割と少ないです

文字が小さい ありがとうございます(*・ω・)*_ _)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ＰＣ用の画面をiPhoneで読むと，字が小さくなります．「→ 携帯版は別頁」と巨大な文字で書いてありますように，スマホでは別のページを見てください．

基本情報処理技術者試験の勉強中に、平方根が出てきたので 調べていたらこのサイトにたどり着きました！ とても勉強になりました、ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(17) 間違ってると思います。 8a^3+27b^3になりませんか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました（今日は訂正が多いな〜#）

大変わかりやすい問題ありがとうございます。些細なことで恐縮ですが、例1の解答、2x^2を積分した結果が2x^2/3となっていますが、正しくは2x^3/3ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

とても分かりやすかった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

大変勉強になりました。双曲関数のグラフがとってもわかりやすかったです。 確認ですが、V【双曲線関数の性質＜加法定理＞】の問題4のHELPの解説で、双曲関数の加法定理がcosh(αーβ)=coshαcoshβ+sinhαsinhβとなっていますが、正しくはcosh(αーβ)=coshαcoshβーsinhαsinhβではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

授業休んでいたので取り返せるように頑張りたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

因数分解は難しい問題がありますが、2次関数は簡単です。こんなものでしたっけ？今回パズルのつもりで50年ぶりぐらいに楽しんでいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．基本問題はやさしいが，難しい問題もあります．

[3n+1問題（コラッツ予想）について］ 2022.04.26に「(J) の最後から２番目の式から、．．．」で質問させていただいた者です。 早速の回答、ありがとうございました。 (I) の最後の式が恒等式になっており、約分で奇数部分等が消えることは理解しています。 前回の質問では、(J) における最後から２番目の式で、13×3/5×8 部分の 13 が消去できなくて、 躓いていましたが、ヒントをいただいて再考し、解決しました。 今回の質問は、同一内容ですが、(J) において、”...”部分がない場合、すなわち、いきなり、 13×3/5×8 の項が出現する場合です。 この場合は、奇数の13 は約分で消去できますが、奇数の5は残るのではないでしょうか？ すなわち、5×2p' = 3q' となると考えます。 よって、”．．．”がある場合とない場合の２つに証明を分ける必要があるのではないでしょうか？ また、もし、この考えが正しい場合、残る奇数が 5 ではなく、3 の場合、得られる式が 決定不能になるのでは？と考えます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「この１つを判別する方法があれば，3n+1問題が肯定的に解けたというのと同じことになるが，筆者にはまだ解けていない．」と書いてあるように，そこから後は「話題」「たたき台」「筆者が考えた道筋」です･･･これを参考にして読者が独自の説を考えていただくのがベストです･･･世界的に有名なこのような問題が実際に証明できたら，どこかでニュースになるでしょう.そうでなければ「まだ解けていない」のでしょう．

(J) の最後から２番目の式から、最後の式が導かれる理由を理解できません。 すなわち、2^p' = 3^q' となるには、最後から２番めの式の左辺の（2^p' / 3^q'）以外の部分を １と想定していることになります。ここの部分の理由を教えてください。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(I)から読めば，約分で消えるということで，だから矛盾になって背理法により，そんなことはないということです

数Ｂベクトル単元の質問です。なす角を求める問題はなぜ弧度法を使わないですか？（持っている参考書も全部度数法表示にしています。）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．弧度法は数学�Uでベクトルは数学Bだから，ベクトルの内積を習うときに弧度法を習っているとは限らないから．はっきり言えば，弧度法が必要なのは，三角関数の微積分が登場するときだから数学�Vで習えばよく，数学�Uで弧度法を教えるというのは，学習指導要領の設計ミスでしょう･･･誰でも知っているが現職教員は言えないだけ．退職した教員は恐いものなしだから，好きに放言できる．ただまあ，弧度法を数学�Vに回すと，数学�Vの分量が増え過ぎる難点がある．次期学習指導要領で，ベクトルは数学Cに来るので，数学�Uを習った後だから，角度は弧度法でやるでしょう．

やさしかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

【問題1】の(3)の答えは△PBC:△PCA:△PAB=5:9:11ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

とてもわかりやすいページにいつも感謝しています。 どこから質問を送ればいいのか分からず、すみませんがここに書かせていただきます。 このページでは、接点の座標から接線の方程式を求める方法を解説していただきましたが、 接線の方程式から接点の座標を求めることはできる(正しい答えを毎回得られる)んでしょうか。 命題風に言えば. 接線の方程式はax＋by=r² ⇒ 接点が(a,b) が成り立つか。という感じでしょうか。 よろしければ回答頂けると嬉しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2つの円の共通接線というものがあることを考えると，接線が決まっても，接点は決まらないことが分かります．例えば，左図の接線は，接点(0,1)で円に接する：とも言えるが，接点(1,1)で円に接する：とも言える

とにかく分かりやすい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

解説が非常にわかりやすくてテスト前に重宝しました ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

対数計算(各停)がとても楽しかったです。間違えると自動的に関連問題から解き直しになるので、とても力が付きました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

「2. ナブラと内積，外積を用いた表現」の注釈部分について (V・∇)Wのところが間違っています 演算子は各成分ではなく、演算子全体がWの各成分にかかります 修正をよろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました･･･理学部では習わなくて，××年前に工学部の先輩の宿題を手伝って以来なので，怪しいうろ覚えがめくれてきたかも．

定数係数二階連立型非斉次線型常微分方程式の読み方を聞きたかったんですが？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．長い名前になるときは，ひらがなの区切りを入れた方が読みやすいので「定数係数をもつ連立二階非斉次ひせいじ線型常微分方程式」とか「定数係数の連立二階非同次ひどうじ線型常微分方程式」などということが多いようですが，キユーピー.コーワ.ゴールド.アルファ.プラスとか（旧）三菱東京UFJ銀行のように，棒読みすることもあるようです．定数係数.二階.連立.非斉次（非同次）.線型（線形）までの順序はいろいろありで，常微分方程式が末尾にあれば，意味は通じるようです．

私は高校時代不登校だったのでこのサイトを見つけて学び始めましたが、非常にわかりやすいし、正解だと消えていく演出が楽しくてどんどん進めれます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．相性が良いのかな

言葉で説明したほうがみやすいかもしれないです・・・ 問題ばっかりだと言葉の説明がないので解きにくかったり、忘れて諦めてしまう子もいるのでサポートしてあげたいなら工夫した方がいいと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます」と書いてあるよね．解答しなければ解説は出ません．

とても分かりやすかったです。/ 係数の部分がみずらかったです / 回答を入力する際、全角に対応していないところだけ少し不便に感じました。/説明がわかりやすく、問題部分も説明の内容が理解できているかどうかがすぐにわかるような、必要部分だけを聞いている形なので、とてもいいと思いました。/問題形式で自分で答えを確認できることが良い点だと思いました。/理解できた/どの問題でどの公式を使うのかが少しわかりにくい気がした/全く分からないのにどんどん進み尚且つ専門用語が飛び交いよくわからない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大〇〇〇〇〇大かどこかの新入生演習で使っているようです．前のページを読まずに，分からないなど，大学生らしくない感想もあるな

確率の加法定理，余事象の確率(8)というページが開けません。404エラーです。早く確率の復習をしたいです、修復お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．開設以来この状態で，読んでいる人はどうやって読んだのか？訂正しました

【例２】解説のC記号の左部分の表示が変です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どう変なのですか？

とてもわかりやすいです。助かります！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

≪10≫についての質問です。“円形”に並べるは円順列を使わないですか（6!が（6-1）!）、そのあとの/2!3!の意味も分かりませんでした、/10の意味もです...
＝＞［作者］：連絡ありがとう．別解の分子は5!になっているよね．後は，「同じものあるときの順列」も勉強してからやってください･･･「円順列」と「同じものがあるときの順列」の両方に関係する問題があるときに，どちらを先に教えても文句は出ますが，入試問題で出さないということはできません．

そもそもの命題がおかしくないですか？ 正数を最終的に1にすることを証明する問題です。 3倍する意味はなんですか？ 奇数を偶数にして数を減らすことを目的とするならば n+1が命題であればいいはずです。 何倍しようが奇数に+1をすれば偶数になります。 偶数になれば必ず半分に減ります。 繰り返せば必ず1になります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元の問題が解けないときに「問題がおかしい」というのは，イソップ物語で取れない葡萄をスッパイと言ったキツネの言い分と同じだね．別の問題なら答えられますといっても，元の問題は解けていない．

問題2.7　の解説に　(A−3x)(A+x)=A2−3xA−3x2　とありますが、　(A−3x)(A+x)=A2−２xA−3x2　ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．新作問題が点検なしでは，やはり間違いが･･･訂正しました．

4.点と平面の距離"にある、 【例題】(1)平行な2平面2x-3y+4z-5=0,2x-3y+4z+5=0の間の距離を求めよ。 の解答で、分母を計算した結果が√30となっていますが、正しくは√29ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を訂正しました．

数学検定1級の学習のために使わせて頂いております。解答の丁寧さ、様々な別解があることに加え、数値が易しく、どのサイトよりも非常にわかりやすいです。おかげさまで理解が深まりました。ありがとうございます。 さて、質問です。以下の例題で、解答の数値が合わない気がいたします。確認をお願いします。 4点と平面の距離の例題 (1) 平行な２平面2x−3y+4z−5=0, 2x−3y+4z+5=0の間の距離を求めよ． →解答は√2とありますが、途中式の平方根の中の分母の計算の数値が変わって来ると思われます。 (2) 平行な２平面x+y/2+z/3=-1,x+y/2+z/3=1の間の距離を求めよ． →(-3,0,0)とありますが、(0,0,-3)では？また、その後の計算が変わってくるので、答えも変わると思われます。 (3) 6,2平面のなす角 問題6.2 2平面x-2y+z-3=0,2x-4y-3z-2=0のなす角を求めてください． →解説の途中式の分子の数値が異なっているように思われます。数値が変わると、なす角も成り立たないのではないでしょうか。 (4) 7,2平面の交角を二等分する平面 例題7の解答の(1)で最初のP1は(-1,0,1)、その後のP1は(-1,1,1)となり異なっています。(-1,0,1)が正しいのではと思われます。 以上4点、ご確認をよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1)(4)訂正しました．(2)(3)ご指摘のような記述がない，または，間違いがないようです．

良い教材をありがとうございます 私は現在中二ですが指数法則や負の値の累乗がとても気になっていたのでとても良い機会でした またいろんな文野の教材を作ってくださると嬉しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

追加問題(19)は答えが間違っています。おそらく別の問題の解答のようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

追加問題の(19) 問題の式にはXとYの文字が使われてるのに答えではaとbになっています。間違えではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

はじめまして。当方50代前半の会社員です。老化防止のため時々数学・物理の問題を考えるようにしています。若き日に覚えたことは30年以上を経ても忘れないものですね。スラスラ解けました。 しかし、ゆとり教育って将来の損失ですね。特に数学的な思考力というのは理系だけでなく、文系にとっても有用なのに。 本項の二重根号は小生の時代は中学でも習った記憶があります。今の課程の「数学3」まで見ましたが、小生の頃に比べてかなり削除されている単元がありますね。行列や変換もないのですか？ これからも頭の体操として拝読させて頂きます。 敬具
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題２ 解答欄に既に数字「67」が入ってしまっています． いわゆるマークの解答番号のおつもりであれば，カナが正しいでしょうか 答えが単に入ってしまっているのであれば，その答えも間違っています． 解説には「47」とあり，実際にそちらが正しいです． さらに言えば解説の通り問題文からして「±」がつくべきです（原文ママでしたらすみません）．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「原文ママ」です･･･公表された著作物を引用する場合，同一性保持権の侵害とならないように，表現を勝手に変更しないようにしなければなりません．�D67は当該大学が指定したマークの番号です．�Dは±です．6は4，7は7ということです．

“多項式形の積分で数学�Uの範囲で求められる体積の問題は，別のページにあります”、その別のページをクリックしたら404エラーが出てきました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

111,111,111 は答えは1にならないと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
111111111→333333334→166666667→500000002
→250000001→750000004→375000002→187500001
→562500004→281250002→140625001→421875004
→210937502→105468751→316406254→158203127
→474609382→237304691→711914074→355957037
→1067871112→533935556→266967778→133483889
→400451668→200225834→100112917→300338752
→150169376→75084688→37542344→18771172
→9385586→4692793→14078380→7039190→3519595
→10558786→5279393→15838180→7919090→3959545
→11878636→5939318→2969659→8908978→4454489
→13363468→6681734→3340867→10022602→5011301
→15033904→7516952→3758476→1879238→939619
→2818858→1409429→4228288→2114144→1057072
→528536→264268→132134→66067→198202→99101
→297304→148652→74326→37163→111490→55745
→167236→83618→41809→125428→62714→31357
→94072→47036→23518→11759→35278→17639
→52918→26459→79378→39689→119068→59534
→29767→89302→44651→133954→66977→200932
→100466→50233→150700→75350→37675→113026
→56513→169540→84770→42385→127156→63578
→31789→95368→47684→23842→11921→35764
→17882→8941→26824→13412→6706→3353→10060
→5030→2515→7546→3773→11320→5660→2830
→1415→4246→2123→6370→3185→9556→4778
→2389→7168→3584→1792→896→448→224→112
→56→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13
→40→20→10→5→16→8→4→2→1

他のサイトとは違い、例題がたくさんあり、とても勉強しやすいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

昔好きだった数学。ずっと文系行政作文生活でしたが、高校卒業後約50年ぶりに解いてみたら結構思い出して、パズルのようで面白くはまりそう。。いいサイトですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

中カッコは大きくなっている → 小カッコも大きくしてほしいです(見栄えのために) ・1番最後のΔ(φψ)の計算は, 計算のところを最右辺でgradを▽にするべきかなと思いました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小かっこも直しました．最後の式は，「問題文」と異なる式では解答になりません．

先ほど質問したものです。 該当のページ内に質問できる場所が見当たりませんでしたので、こちらで質問させていただきました。 https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/line_plane2.htm 説明が足りませんでしたので、補足いたします。 1. 1点を通り方向ベクトルに平行な直線の方程式の以下の項目です。"　"内は引用箇所 "点A（1,2,3）を通り，方向ベクトルu=(4,0,6)に平行な直線の方程式 の標準形を上記の公式を用いて形式的に書けばx-1/4=y-2/0=z-3/6・・・(1)となるが、この式の第2辺は「分母が0になっているから，分子も0になるものを表す」．すなわち，x-1/4=z-3/6,y=0・・・(2)" 最後のy=0の箇所はy=2ではないかと思いましたが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．了解，訂正しました．通信欄の故障も直しました．

ためになる問題ありがとうございます。 空間における直線の方程式の1.1例1の(2)の式はy=0とありますが、y-2/0=0なのでy=2ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「空間における直線の方程式の1.1例1の(2)」というものが見当たりません．なぜそのページから質問せずに，一般的な質問の入り口から訪ねておられるのかも，疑問ですが

2002年度数１Ａ追試験第１問(2)---一部引用 の(2)の続きが分からないです。答えを教えていただきたいです。何度やっても (黒0個)＝12/400 (黒2個)＝4/400＋36/400＋36/400＝76/400 (黒4個)＝3/100＝12/400 12/400＋76/400＋12/400＝1/4 となってしまい解答欄に合う形になりません…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．13/25･･･(黒2個)の場合の第2項が違います.

予習でこのサイトを使用させて頂いている者です。このようなサービスをご提供いただきありがとうございます。 さて、問題1に関して質問させていただきたいのですが、大小のサイコロ2つを投じたときに出る目の組み合わせは36通りでありますが、選択肢に45,55がある理由が理解できません。 12,15などの「36以下の数」にするとよいのではないかと思いましたので、連絡させていただきました。 ご査収のほどよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．36以下になるということが分かるかどうかを尋ねることに意味があります．１つでは，違うとわかってしまう

助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

エクセルでPCAを教えようと思い立ち、来ました。 ざっと拝見しただけですので、私の勘違いがあるかもしれませんが、以下、いかがでしょうか？ ■実際の作業（ア） ○　分散・共分散行列の固有ベクトルを求める (1)　第1主成分の固有ベクトルを求める 誤　制約条件：$E$20 = 1 正　制約条件：$C$20 = 1 ■実際の作業（エ） ○　相関係数行列の固有ベクトルを求める 誤　図のC19に　=MMULT(B14:D16,B19:B21） 正　図のC19に　=MMULT(B14:D16,A19:A21）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．申し訳ないのですが，10年以上前に作成した教材のため，その後のExcelではメニューからの入り方や項目の名前も変わっていて，紛らわしくなりますので，そのページを（前後の関連するページも）数日後に削除します･･･悪しからずご了解ください．

PC版が開けないようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ファイル名を訂正しました

(7)のx=1-√2を代入したときの極小値の値が間違っています。 訂正お願いします。 -2√2-3
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その答えもさらに間違っているようです．訂正しました．

とてもわかりやすく、よかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

4. 点と平面の距離　 例題 (2) 平行な２平面の間の距離を求めよ で、-3,0,0 が x + y/2 + z/3 = -1 上の点となっていますが、 間違いではないでしょうか。/ 問題6.2 は、誤りでは無いかと思いました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

おもろいよ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問題の解説がほしいです。解答がわかりません。いつも、お世話になっています。
＝＞［作者］：同じ人が何回も書いておられますが，「携帯版は別頁」と大きな文字で書いてあるのだから，そちらを見てください．シャープ・アクオスのAndroidでPC版を見ても，見えている範囲が小さ過ぎて，解答・解説が書いてあるのに，読めていないようです．

めちゃくちゃ分かるようになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつもお世話になっております。このページの問題の解説を詳しくお願いいたします。/このページの問題の解説を詳しくしていただきたいです。/このページの問題でこちらのスマホの関係上、入力できない数字や文字があります。ですので解答できないため、答えられません。解答がほしいです。 /問題の解答をお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じ人が何回も書いておられるようなので，まとめて回答．「携帯版は別頁」と大きな文字で書いてあるのだから，そちらを見てください．シャープ・アクオスのAndroidでPC版を見ても，見えている範囲が小さ過ぎて，解答・解説が書いてあるのに，読めていないようです．また，シャープ・アクオスのAndroidで入力できない数字というものはありません．･･･ラジオボタンはただ1つ選択するもの，チェックボックスは複数個選択するもので，クリック（タップ）によって選択し，数字を書き込むものではありません･･･最近は，市役所の書類などでも多用されています．

３が正解になることが多いようですね。面白いですわ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．部分的にはそのように見えるかもしれませんが，普通に問題を作れば[1]が最も多くなることが知られており，そのページでも，実際に[1]が多くなっています．

超絶わかりやすくてまじ卍。原点にして頂点。 リラックスコンテンツも良い傑作ですわね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まじ卍とは,2017年頃から主に女子中高生に使われた言葉らしい

わかりやすかったです。 ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

練習問題の解答解説を作ってほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答も解説も付いています．「下の選択肢から正しいものを選んでクリック」と書いてありますが，どんな使い方をしているのですか？見ているだけでは，デジタル教材の自動採点機能を全く使っていないことになります．

とてもよかったです！！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ありがとう やっと対数を理解することができました。 これで安心して成仏できそうです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．消化不良で気になっていることがあったようで･･･飲み込めてよかった

大勢に影響はないですが、問題4のxの解の分子は-1±√…ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

とてもわかり易かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも、拝見させていただき、参考にさせていただいております。参考書よりもこのサイトのほうが解りやすく、親切で、丁寧に説明されております。ありがとうございます。設問において、解説の最後の部分について、limについてもう少し詳しく解説していただきたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「もう少し詳しく」の意味が分かりません･･･詳しく書けば高校数学の範囲を逸脱することになるので，高等学校学習指導要領や解説では「極限については，直感的に理解させる程度にとどめる」よう繰り返し述べられている．

「間違った場合，HELPが選べます」ので解答していなければ，出ません．なお，あなたはAndroidなのにPC用の画面を見ていますが，見ている範囲が狭すぎて［解説］というボタンが表示されていても，画面内に見えていないことがあります．携帯版は別頁と書いてあるので，携帯版を見てください．
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

練習問題までついていて、理解が深まりました。（大学一年生）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

基本的な事項がわかりやすく書いてあり助かりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

春から高校生になります。普通の学校より進度がとても早いと聞きここで予習をしています。もう塾が終わってしまい教材がないのでとても感謝しています。不安でしたがなんとか頑張れそうです！わかりやすいです！ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

「コラッツの問題」に関心のある方、必見 !!! 日本語版 英語版 Yahoo や Google の検索エンジンでは、検索リストに載らないのは、何故でしょう？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

ありがとう とても分かり易くてありがたい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすく良い
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

傾きが分かってる時の接線の方程式の解説もしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．なるほど，その部分の内容が薄いので，後日追加しておきます．

説明がとてもわかりやすくてよかったしそのあとの計算問題がありより理解が深めることができました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

答えくれや
＝＞［作者］：連絡ありがとう．もっと丁寧な言葉にしましょう．「計算」いうボタンを押せば，途中経過の計算と解答が出ます．

説明がすごく分かりやすくて良かった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

≪3≫a,a,a,b,b,c の６個の文字を並べ替えてできる順列のうち b が互いに隣り合っているものの総数を求めよ． bは1組だから1！で割ると解説されていましたが、b1,b2と振り分けられているわけではないので2！分重複するような気がするのですが、なぜ２！で割らなくてよいのかを教えていただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．a,a,a,b₁,b₂,cという形でbに区別がある場合には，b₁,b₂を隣り合わせて
　　a,a,a,(b₁,b₂),cの５個のものを並べると方法は

ですが，b₁,b₂の区別はないので，これを2!で割って

としてもよい．
　そんなに難しい公式を考えなくても，「bが互いに隣り合う」のだから「まとめて１つの大きなBがある」とすれば，初めから

でできます．その答案の解説には，それが書いてあります．

(I)の解説（続き）の右部分の二行目、数列an+1-2anの1がないみたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

助かりました オンライン授業でわかりにくいことがあったので
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても分かりやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

（ペル方程式と２次無理数）【例題３】について質問させてください。 「の解であることが言えるから」の下三行目から四行目にかけて、nの字数が下がっているのですが、これがどうしてもわかりません。 これが正しいとすると、(x_n+2^1/2*y_n)^(n-1)=1となるのですが違和感を覚えております。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．答案作成中なのを忘れてしまって，途中でほったらかしになっていたようです．リスさんの仲間か･･･直します．

この問題は入試の問題の中でも難しい部類に入りますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．相手のある話だから，答え方を間違うと，全国に数万人の敵を作ってしまう場合がある．回答の仕方を選ぶ必要がある．
　そもそも，難関校では因数分解のような式の変形を単発で問うことは少ないでしょう．しかし，先日の共通テスト数学のように，一つずつの問題は特別難しいものではなくても，時間内に全問を解くことはできない･･･T大の問題のように，どの問題を捨てるかの判断で合否が分かれる･･･という側面もあるので，１題見ただけで，難しいかどうか議論すると受験の実態と合わなくなる．

b＝dの時は、y＝bでいいんですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでいいですが，b=dなのだから，y=dでもよい．
　なお,b=dのときは，例えば，(2, 3), (4, 3)のように２点のｙ座標が等しい場合だから，ｘ軸に平行な直線 y=3になりますが，この3が(2, 3)の3なのか(4, 3)の3なのかは，どちらでもよい

満点取りました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

高校生です。行列がテスト範囲だったのですが問題集がなくこのページで問題演習ができました。ありがとうございました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．高校で行列をやる方がよいと思いますが，なぜか普通の教科書では消えてしまったままになっている．

「指数法則から指数の定義を決めます。」のリンクを押すとエラーページに飛んでしまいます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

上の表のtanシータの3/4πと7/4πの値がー1/√３になっていますが、−１の間違いではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．表が大きくなって「コピペの罠」にはまったようです.訂正しました．

答えの書き方の学習にもなって素晴らしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

像を求める問題、現像を求める問題とそれぞれ３回ずつ計算練習ができ、力が付くと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漢字変換ミスの件：「現像」はフィルム写真の話で「原像」が像の元になるものを表す

３.１の解答で、−３（３ｘ）（−２ｙ）（−１）の掛け算が３ｘ−２ｙ−１の足し算になる手順がわかりません。もう少し、砕いてご説明寝返れば・・・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「寝返る」は面白漢字変換･･･コウモリ軍団は獣軍団に寝返ったなどという．
さて，の公式において，とおくと，左辺はとなり，右辺はになります．

問題（4）の〇が小さいものから二番目になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．底が1よりも小さいので，小さい方から4番目は，指数の大きい方から４番目，すなわち指数の小さい方から２番目になります．ヒント欄にそう書いてあります

問題3-（2）の答えが違っているようです。3の次数が-2+5/2+3/2で0となり、答えが2.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．-2+5/2+3/2は2になります

とってもわかりやすかった！この単元受けられなかったのですが解説も分かりやすくスマホで楽に出来ました!!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

【問題2】の正解は√47ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．5√67は大学がマークシートで採点するための番号で，(±√47, 0)が解答になるということは，その画面に書いてあります．
　それとも，±はいらないという主張をしておられるのなら，その前に書いてある解説を見てください．

答えを記入したとき「おぉ！」などではなく◯か☓で表したほうがわかりやすいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

めっちゃいいサイトです！感謝カンゲキ雨嵐
＝＞［作者］：連絡ありがとう．『感謝カンゲキ雨嵐』（漢字カタカナ交じりの表現）は，若者言葉でアイドルグループ・嵐の曲名を，元祖の「感謝感激雨霰」の応用版として使われるらしい･･･初耳でした（「１ヘエ」献上かな）

(5)→(6)の証明 lim[h→0]のｈはｔではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

教科書やワークを見ても分からなかった問題が数分で理解出来ちゃいました、ありがとうございます!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

大問3の(1)の一番右の項の文字の部分の分母のxはいらないと思います。間違っていたらすみません。 とても良い練習になりました。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．大問3の(1)というのがどの問題なのか分かりません．特に大問とはどれのことなのか、また(1)という記号はどこにも使っていないようです．

■２ 　焦点の働きと軌跡 図４下の説明　図より，|c , x|<a だから，２つ目の→は←も成り立つ．がよく理解できません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「図より，|c| , |x|<a だから，は正になるから，２つ目の→は，逆向きにも成り立つ．」ということです．|　|を省略し過ぎたようなので，追加します．

学校で習って一応解けるようにはなったもののいまいち解くスピードが遅く、とにかく慣れだ！とよい問題を探していました。解説もとても分かりやすくとても参考になりました。ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

「人」が「コンピュータ」に伝える内容を「命令」といいます。とされていますが、 「人」が「コンピュータ」に処理させる内容を「情報」、処理させる方法を「命令」といいます。ではないでしょうか？ 伝える内容にはデータと命令の二種類があることと、情報処理に繋がりますので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．小学校１，２年生向けの教材は「小学校プログラミング教育の手引」に基づいて作成するのがよく，例えば，･･･コンピュータは人が命令を与えることによって動作します。端的に言えば、この命令が「プログラム」であり、命令を与えることが「プログラミング」です･･･などと記述されています．
　あなたの定義は，非常に奇妙で取り入れることはできません･･･「人」が「コンピュータ」に処理させる内容を「情報」と定義すれば，人から人へ，ラジオ，テレビ，新聞などのメディアから人へ，コンピュータから人へ，･･･伝えられるものが情報の定義から外れてしまうだけでなく，これとは別にデータが登場するのも奇妙です．「小学校プログラミング教育の手引」だけが根拠となるべき文書であるとまでは言いませんが，児童生徒の発達段階に応じて，小学生向けに言うべき言い方を選ぶことが重要です

すごくわかりやすくて一から説明してくれているので自習教材にピッタリないい教材だと思います。学校で教師などをされているのですか？学校の大人気の数学の先生の話を思い出します！この教材はすごくきれいにまとまっていて使いやすいです。（数学的帰納法のページを読んだのですが）一つの視点からではなく多角的に問題を解いていて大変勉強になりました。また問題数もたくさんあるので全体像をつかむのに大いに役立ちました。またそのほかのページも様々な図やとらえ方が紹介されていてイメージがつかみやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

分かりやすく、とても役立ちました！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

-1+3i
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページを読んだ人がその質問をするとしたら，このページの内容が全然理解できなかったということになります．質問を書き終わるまでに３４秒でしたので，そもそも何も読んでいないのではないでしょうか．
の共役複素数は
記号で書けば

丁度問題を探していたので助かりました！ ありがとうございます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもよかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも助かってます。感謝。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

行列の累乗計算も油断すると大変です。回答を採点する機能に感心します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この場合の漢字は解答がよい

白丸○三つ目の図の座標は間違いですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．白丸３つ目とは何のことなのか．丸は２つしかない．円の中心の座標と言うものはあるが，丸の座標というものはない．そもそも何の話をしているのか通じません

例２）裏の裏 0000は市外局番の相談窓口なんですね。豆知識面白いです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学嫌いの生徒が多いので，幾つかネタを用意しておかないと，寝られてしまうので･･･

基本的な問題をもっと増やしてほしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題１が５題あるということは，分かっていますか？

大変参考になるサイトを作っていただきありがとうございます。例題３のdxはdtではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．内容的には，結構大きなミスですが，訂正しました

最後の問題、y=0のときx=-1まではわかるんですけど、その後の(y=0,x=1は不可)がわかりません。それにy=0のときx=-1は(2)はそうですけど(1)はy=0.x=-1にはなりませんよね？なんでx=-1,y=0が除かれないのかもわからないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２直線の交点は「連立方程式」の解になるので，両方の式を満たさなければなりません．(2)式で，y=0のときx=-1ならば，(1)からそうでないものが出てきても，解にはなりません．

複素数の入試４のお茶の水の問題の前に到達しました、ナポレオンのように高揚しています。77歳の元高校教師ですが、人生の中でこんなに集中して勉強したことはなかったと思います。コロナが怖くて表に出られない環境にありますが、この様な経験をさせて頂きありがとうございます。感謝します。１月２７日
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

色々な所で出てくるベルヌーイ数・オイラー数が良く分かりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．定義ですから，その段階でなぜというのは無理です．よく出てくる分野に進んでから振り返れば十分です．

(5.2) の cosX の Σ の式が違うと思います n=1 から始めると cosX = +(x^2/2!) -(x^4/4!) ... になって最初の１が消えてしまいます n=0 から初めてこのように書いた方が良いと思います ・cosX = Σ(n=0,∞)(-1)^n * (x^2n / 2n!) ・sinX = Σ(n=0,∞)(-1)^n * (x^(2n+1) / (2n+1)!)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(4.2)の再掲ですが，１つずれているところがありましたので直しました．なお，公式集などでは，n=0から書くことが多いですが，当然n=1から書くこともできます

神様すぎます
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

いつも使わせて頂いてます。この分野の説明の展開が見にくいです。そこを改善してくれたら大変助かります。　
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページには，説明も展開もなく，説明の展開もありません．見にくいとは，文字の大きさ，色のような外形的なことなのか，話の進め方のことなのかも不明です．

わかりやすい！！ ありがとうございますo/|_
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

2点間の距離が一定の入試問題１まで着ました。後半の実数条件、虚数条件を前に足踏みしています。 ここまで解けて涙が出ました。実数条件、虚数条件は以前Yutubeの本田の数学で学習したことがありましたが身につきませんでした。貴方のすばらしい教材に出会えありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例4の※のところが今までにずっと疑問に思っていたことなので、参考になりました。ありがとうございました。 でも、このことの証明はどのようにすればよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
1. 大手３社の教科書では，いずれも次のように記述されており，変換関数が単調関数であることは要求されていません．すなわち
2.

上図の場合

だから（権兵衛が種をまいた分だけカラスがほじくると，初めから何もなかったことになる）


3. また

だから

今日２２日問題２に挑戦１から６の中で４から６は勘も働き出来ていましたが、領域の問題1から3には苦しみました。まだ自信がありません。明日やりなおすつもりです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

組立除法は2次以上でも最高次係数が1以外でも割れます。割るよりもむしろ、代入の速算や検算の利用が主です。接線、平行移動、チルンハウス変換、第
＝＞［作者］：連絡ありがとう．本文の初めに書いていますように，筆者は１次の場合を含めて組立除法不要論者です．

複素数の一次結合の表す図形の問題１を解き終わりました。この教材に初めて出会い感動しています。 ベクトルで理解がいま一つでした。粘り強さを身に着けられます。有難うございます。解説が丁寧です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

(３)は集中力が要求されます。4回ほどやり直しました。反転は難しいです。なおこの節の移動、反転、拡大の理解が恥ずかしいのですが理解できません。グラフの移動と違いますか。どの式を見ればできるようになりますか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やさしい問題を解く中で，勘を身に着けてください．

普段より勉強に活用させて頂き、大変ありがとうございます。 軌跡の方程式2（動点２個）ページ、［例題2］の［解答］赤字での解説部分８行目 「(x−1)(x−2)+(y−1)(y−1)=1 になる．」の部分ですが、 「(x−2)(x−2)+(y−1)(y−1)=1 になる．」かと思われます。 一度ご確認下さいますようお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．詳しい所まで見てくれてありがとう．訂正しました．

問題演習が熱いです🔥
＝＞［作者］：連絡ありがとう．松岡修造の熱血指導という意味の熱さかな

シンプルで良かった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

問を選ぶ、回答を選択、全部正解ならgoodと褒められる。この指導法はやる気を起こさせます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

１０問中2問落としました(４)(７)です。複素数の計算ということで甘く見ていると思わぬミスをします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

定積分であらわされる定数の学習を通して積分の力が一段とついた気持ちになります。図形を読み取る力はいまひとつです。７７歳のもと数学教師としてこの教材を学習できたことは有難いです。勇気をもらいました。感謝します。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．終戦の年に生まれた人は，ものすごく少ない．私はもっと若い方ですが，今年廃止予定の教員免許更新制度は，昭和29年以前に生まれた教員が，まさか（常勤・非常勤講師・私学などで）まだ働く気があるとは想定していなかった??ようで，免許状更新講習の受講が必要な者に入っていない．（文部科学省のｗｅｂページには，「昭和30年4月1日以前に生まれた方については、栄養教諭免許状を持っていない限り、最初の修了確認期限は設定されていませんので、更新講習を受講・修了しなくても、今後もお持ちの教員免許状は有効となります。」と書かれている）

なんで√（25t^2）が25tになるんだよ 5tだろ
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それも言うとすれば，と言うべきです．そもそも，あなたは文字式の変形だけを見ていますが，その場面は方程式の変形です．
（A:方程式の変形としては）

辺々２乗すると

辺々を25で割ると


（B:左辺の文字式だけを変形する場合は）

したがって

辺々２乗すると

辺々を25で割ると


　この程度の変形は，目の子算（見ただけでできる計算）にしましょう．なお，anonymousだからといって乱暴な言葉を使うのはよくないことです．

分数関数1/xの積分が対数関数になるところで真数に絶対値が付く理由は何だろうと思っていた。このサイトの説明を拝見し、対数関数の微分を考えるときに真数が正、負いずれの場合でも同じ1/xになるという説明が丁寧でわかりやすく大変参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例がわかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とてもわかりやすくてさいこうでした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

元数学教師ですが、高校、大学と劣等感が先に来て、勉強に打ち込んできませんでした。偶然１月１２日今日貴殿の教材　、極限，ロピタルの定理に出会い演習に取り掛かりました。回答の正誤まで確かめられ有難いです。素晴らしい教材を有難うございます。私の場合はよい教師、よい教材に出会ったとき能力を高められます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現職教員の頃は雑用が多過ぎて，月当たり残業時間がn00時間（致死ライン超過. n=1とは限らないところが恐ろしい）ということが常態化していたように思います．だから，教材研究不足のまま授業せざるを得なかったのは，お互いさまかもしれません．

第15問の回答で、sin(-270°)＝-1となっていました。 sin(-270°)はsin90°となり、その場合x=0,y=rとなるため、sin90°=1となると思います。 ご確認よろしくおねがいします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（大相撲勝負審判の場内放送風に書いてみた）第15問の採点は合っているが，解答の解説文の符号が逆になっていると物言いが付き，調べて見ると，解答の解説文の符号が逆になっていることが分かり，訂正した．

問題5はなぜcosθが0-180°すべて網羅しているのに、答えの方はわざわざ範囲の少ないsinθで出しているのでしょうか?
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そこに解説が書いてありますが，cosθ−2の符号は常に負ですから，積 (cosθ−2)(2sinθ−1)<0 となるのは，2sinθ−1>0の場合です．･･･(cosθ−2)<0 かつ(2sinθ−1)>0 の連立です．

とてもやりやすかったです。覚えたことをすぐ練習出来て良かったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

わかりやすかったです。参考になりました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

例題に計算時、都合のいい数値を使わないものを追加してほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何をご希望なのかが伝わりませんが，特別解を使わずに一般解を求めたいということでしたら，下の方の�Uや�Vを見てください．

(2) iii)解説文中の(**)の3行あたり、dt/dxはdx/dtではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました

1問毎の解説がないと苦手なところだとさっぱりわからないのでお手数をお掛けしますが、回答をつけて頂きたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「回答」→「解答」．計算という記号をクリックすれば，途中の計算が表示されます．

F = x ^ 4 - 6x ^ 2 + 1 の平方完成も解説して頂きたいです.
＝＞［作者］：連絡ありがとう．４次式なので，２次式を使って平方完成しますが，このページの問題が済んでいる人が，そのような質問をするのは変です．

初めまして こんばんは こうやって逆算させたり枝分かれの並び順の共通性を見出す方法はとても素晴らしいと思いました。 でも、Xx3+1で偶数にならなければ数は大きくなりますし、そもそもそれが無いのであれば偶数は2で割れるので必ず1になるのでは無いでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．議論が雑過ぎて証明には見えません．

if p(x) == 1 //もしもp(x)が1だったら
  q(x) = 2 //q(x)は2とする
else  //そうでなければ
 q(x) = 3 //q(x)は3とする

if p(x) //もしもp(x)が0でなければ
  q(x) = 2 //q(x)は2とする
else  //そうでなければ
 q(x) = 3 //q(x)は3とする