空間座標,空間ベクトル--公式と例題
このページは,空間座標や空間ベクトルの基本公式を広く浅く取り上げ,次に簡単な例題を示したものです.
この部分は,教科書や授業では,平面座標・平面ベクトルと内容的に重なることが多く,空間座標・空間ベクトルの部分を全部教えることはまれなので,必要となったときに使いやすい形で一覧的なものを作った.
【2点間の距離】
【例題1】 次の2点間の距離を求めてください.2点 特に,原点
(1)
(解答)(2) (1) (2) 【例題2】
(1)
(解答)x軸上にあって,2点 (2) xy平面上にあって,3点 (1)
x軸上の点はP(x, 0, 0)などとおける.y座標とz座標が0になるところがポイント
求める点をP(x, 0, 0)とおくと2乗の形にすると,根号なしで計算できる |
(2)
xy平面上の点はQ(x, y, 0)などとおける.z座標が0になるところがポイント
求める点をQ(x, y, 0)とおくと
これにさらに
2乗の形にすると,根号なしで計算できる方程式としては のどれかを使う ↑公式を暗記しただけでは問題は解けない ![]() ![]() @)から A)から @’),A’)から
この問題では,「2点から等距離にある」という条件だけでは解けない.「3点から等距離にある」という条件によって,未知数2個の連立方程式になって解ける.
「4点から等距離にある」という条件になっても,一般には解けない…未知数2個で方程式が3個になるから |
【三角形の形状問題】 2点間の距離の公式に関連して,三角形の形状問題が出されることがある.これは,三角形ABCの頂点の座標が与えられたときに,その三角形がどのような形の三角形であるかを答えるもので,三辺AB, BC, CAの長さをあらかじめ計算しておき,次のどの型に当てはまるかを答える.
(1) AB=BCなどとなったとき
→ 「AB=BCの二等辺三角形」などと答える
単に「二等辺三角形」と答えた場合には,どの2組の辺が等しいかが書かれていないので,減点にするのが普通です
(2) AB=BC=CA=3などとなったとき→ 「一辺の長さが3の正三角形」などと答える
単に「正三角形」と答えても様々な大きさがあるので,1辺の長さが分かる場合には,それを書くべきだと採点官は考えます
|
(3) AB2+BC2=CA2などとなったとき
(※)三辺の長さのみを手掛かりにして三角形の形状を求める問題では,「∠A=120°の三角形」のような形の答えは出ないのが普通です.→ 「∠B=90°の直角三角形」などと答える
辺の長さだけを手掛かりに三角形の形状を求めるときに,直角という角度の性質を述べることができるのは,三平方の定理の逆から直角三角形が言える場合です.
(4) AB2+BC2=CA2,AB=BCなどとなったときこれに当てはまるかどうかは,2乗の和を試しに求めてみないと分かりません. 単に「直角三角形」と答えるのではなく,どの角が直角かも述べなければなりません.(最長の辺=斜辺に登場しない頂点が直角です.もしくは,2乗の和に2回登場する頂点が直角です) → 「∠B=90°の直角二等辺三角形」などと答える
直角三角形と二等辺三角形の両方が言える場合です.
答え方としては,直角の角か二等辺の辺の組かいずれかも示すようにします 辺の長さだけを手掛かりにした場合に,初歩的に角度の性質が答えられるのは,三平方の定理の逆を使う直角三角形(90°)と三辺の長さが等しい場合の正三角形(60°)ぐらいのもので,それ以外は超応用問題になります. |
【例題3】 次の3点を頂点とする三角形はどのような形の三角形か答えてください.
(1)
(2)
• とりあえず3辺の長さを計算してみなければ,手がかりがつかめません.
(解答)• 二等辺三角形や正三角形は、辺の長さを「見ただけで」分かりますが,直角三角形は「2乗を足してみないと」分かりません.試しにやってみるという姿勢が重要です (1) ゆえに,AB=BCの二等辺三角形…(答) (2) ∠A=90°の直角三角形…(答)
なぜわかるのか? 待っていても答えはやって来ない.試しに足してみると,29+22=51になる
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【例題4】 3つの頂点の座標が
(2014年度工学院大入試問題)
考え方は簡単だが,計算は大変!1題だけで30分ほどかかりそうで,根気負けしそう!
(解答)だから この連立方程式を解く (1)−(2) (2)−(3) (4)(5)より, (4)(5)に戻すと |
【内分点,外分点の座標】
【内分点】
2点 【中点】 2点 【外分点】 2点 【三角形の重心】 3点 |
![]() これを成分に分けると公式が得られる |
【内分点】の公式:≪一口メモ≫ 内分点の公式で計算するときは,「x座標とx座標からx座標を求めます」「y座標とy座標からy座標を求めます」「z座標とz座標からz座標を求めます」→絶対に混ざってはいけません. 次のように分けて計算してから,後で座標の組にする方が,「見やすく」「間違いにくい」と考える人はそれでいいのです. ![]() ![]() y座標,z座標も同様です. |
![]() 例えば,理科系の学校で,数学の得点を重視して,数学と英語の入試得点を9:1の比率で加重平均する場合(実際にはない:分かり易くするための例)
数学×0.9+英語×0.1
となる点数は,数直線上に数学の点数(例えば20点)と英語の点数(例えば80点)を図示した場合,真ん中よりもはるかに数学側に寄った,1:9の比率に内分する点になります.=数学× このように,統計でよく使われる加重平均の場合,内分点は重視されているものに近い場所になります. 【中点】の公式:≪一口メモ≫ 中点の座標を表す公式は,内分点の公式において,1:1に内分する点を求めたものです. |
![]() 外分点を考えるときに,高校生によくある間違いは,右図の×印で示した図でm:nの比率を考えてしまうことです. 正しくは,右図の○印で示したようにm:nを測るときに,「一方の足は必ずQを踏んでいなければならない」. ![]() ア) m>nのとき,外分点は右図のようにBの外にあるから イ) m<nのとき,外分点はAの左にあるから ![]() m>nならBの外にあり,m<nならAの外にあるから,外分点でmとnの比が等しい点はない. このことは,外分公式でm=nの場合に分母が0になってエラーになることからも確かめられる. |
外分点の公式は,内分点の公式において,「mかnのどちらか一方の符号だけを負にしたもの」です. の式の分母と分子の両方に −1 を掛けると (1)と(2)は,分数としては全く同じ値になるので,どちらを使ってもよい.だから,「mかnのどちらか一方の符号だけを負にしたもの」といえます. 数学の教師によっては,「どちらか」というような不安定な表現では,数学の弱い生徒が迷ってしまうから,「これが答えだ」と決めた方がよいと考える人もいます.例えば,「mとnの大きい方をプラスにして,小さい方をマイナスにする」という教え方があります.このやり方では「分母が必ず正になるから」計算間違いが減るということです. なお,mとnの2つとも負にすると内分公式に戻ってしまうので,思い違いしないように. ※結局どれで覚えたらよいか:「mかnのどちらか一方の符号だけを負にしたもの」「mとnの大きい方をプラスにして,小さい方をマイナスにする」など自分の一番しっくりするのを覚えたらよいのですが,「単純に次の式をそのまま覚える」方法も案外スッキリします
※ぐるぐる回って,元の公式に戻っただけなら,初めから言うなと思ってはいけない…いろいろ経験したら,公式が立体的に見えるようになるのです.もう忘れることはないでしょう.
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【三角形の重心】の公式:≪一口メモ≫ 平面上の三角形の重心については,このページに書いていますが,以下に空間の三角形でも同じなので,要点を再掲します. ![]() ![]() したがって 3の場合だけ は,「3点の重心」と「三角形の重心」を表しますが や は四角形や五角形の重心の座標を表しているのではなく,4点の重心,5点の重心を表していることに注意してください.(上の図の右側に対応) |
![]() 三角形の「重心」という名前が付いていて,三角形だけは右のように重さが集まる点と一致しますが,公式の証明には面積素辺の重さの集計はしません. ![]() 正確に言うと,「3つの中線の交点を求める」計算は,少しだけ手間がかかるので,もっと簡単に「3中線の交点の性質」を使います. ![]() 三角形 次に,APを2:1に内分する点の座標は |
【例題5】
(1) (2) 2点 (3) 2点 (4) 3点 |
(解答) (1) (2) (3) (4) |
【ベクトルの図形への応用】
【3点が1直線上にあるための条件】(共線条件)
![]()
3点
【例題6】
(解答)3点 ![]() この連立方程式を解くと
【例題7】
![]() (2) ABの中点をMとするとき,3点 (3) FGの中点をNとするとき,3点
なお,名前が紛らわしいですが,Gは重心を表しているわけではありません.
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(解答) (1) だから したがって,3点 また だから したがって,3点 以上から,4点 (2) だから よって したがって,3点 (3) だから よって したがって,3点 |
【ベクトルの図形への応用】
【4点が同一平面上にあるための条件】…(*1)
![]() ( |
【例題8】
(解答)4点 などでもよいが,以下の答案は 次の連立方程式を解く ![]() |
【ベクトルの図形への応用】
【4点が同一平面上にあるための条件】…(*2)
1直線上にない3点 (1) ( (2) ( |
前述(*1)の【4点が同一平面上にあるための条件】を使えば,(1)は次のように示される. ここで (2)は次のように示せる と書けるから,PはDCをu:(s+t)に内分する点となり,△ABCの内部にある. |