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【極方程式とは】
 極座標(r, θ)を使って,曲線のグラフを
r=f(θ)
θ=g(r)
F(r, θ)=0
などの形で表したものを極方程式といいます.
【例1】
 原点を中心とする半径a (>0)(一定)の円の極方程式は
r=a
で表されます.
この極方程式には,見かけ上θが書かれていませんが,それは任意のθの値に対して(どんなθの値に対しても)raに等しいときは(また,その場合に限って)この曲線上にあるということを表しています.

この事情は,右図のようにx軸に垂直な直線の方程式をx=3と書き,方程式にはyが現れないときに,任意のyの値に対して(どんなyの値に対しても)x3に等しいときは(また,その場合に限って)この直線上にあるというのと同様です.
 r=aの方程式でθに制限がなければ,ある1つの角αに対して,θ=α+2nπは同じ位置を表すので,曲線上の点Pを決めてもθの値が1つに定まりませんが,r=a (0≦θ<2π)としておくと,θもただ1つ定まります.
【例2】
 原点を通り始線となす角がα(一定)である直線の方程式は
θ=α
で表されます.
この極方程式には,見かけ上rが書かれていませんが,上の(1)と逆に(理屈上は同様に)任意のrの値に対して(どんなrの値に対しても)θαに等しいときは(また,その場合に限って)この直線上にあるということを表しています.

 この極方程式で,通常考えられるr≧0という制限を付けると,図の青で示した半直線だけを表すことになります.
 赤で示した部分も表すためには,r<0の場合も考えることにし,r<0のときは,θ+π(180°回転した場所)を表すものと解釈します.
 例えば,r=−2, θ=という点は,r=2, θ=の点を表すものと解釈します.

【例3】
 極座標で表したときに(h, α)となる点Hを通り,線分OHに垂直な直線の方程式は
r cos(θ−α)=h
で表されます.
(解説)
右の図において,△POH∠Hが直角の直角三角形で,OP=r , OH=hだから
OP cos(θ−α)=h
すなわち r cos(θ−α)=h
が成り立ちます.(逆に,この関係が成り立つときは,点Pは図のような直線上にあります.)

 cos(θ−α)=cos(α−θ)なので,この関係はθ≦αの場合でも成り立ちます.

【例4】
 点A(a, 0)を中心とする半径aの円の方程式は
r=2a cosθ
で表されます.
(解説)
右の図において,直径をOBとすると,直径の上に立つ円周角は直角になるから,△OPB∠OPBが直角の直角三角形で,OP=r , OB=2aだから
OB cosθ=r
すなわち
2a cosθ=r
が成り立ちます.(逆に,この関係が成り立つときは,点Pは図のような円周上にあります.)


【問題1】
 各々の極方程式に対応するグラフを右(青の線で示したもの)から選んでください.
初めに極方程式を選び,続いてグラフを選んでください.
間違ったときは,問題を選び直してください.)








【応用】
【極座標で表された2点間の距離】
 極座標で表された2点A(r1 , θ1 ), B(r2 , θ2 )間の距離をlとおくと
l2=r12+r22−2r1r2cos2−θ1 )
が成り立つ.
(解説)
 右図の△OABに余弦定理を適用すると
l2=r12+r22−2r1r2cos2−θ1 )
が成り立つ.


(別の解説)
 直交座標(x1, y1 ),(x2, y2 )に直して,2点間の距離の公式
l=
を適用することを考えると
x1=r1cosθ1 , y1=r1sinθ1
x2=r2cosθ2 , y2=r2sinθ2
だから
l2=(x2−x1 )2+(y2−y1 )2
=(r2cosθ2−r1cosθ1 )2+(r2sinθ2−r1sinθ1 )2
=r22cos2θ2+r12cos2θ1 −2r1r2cosθ1cosθ2
+r22sin2θ2+r12sin2θ1 −2r1r2sinθ1sinθ2

=r22+r12−2r1r2(cosθ2cosθ1+sinθ2sinθ1 )
=r22+r12−2r1r2cos2−θ1 )
【例5】
極座標で表された点C(c, θ1 )を中心とする半径aの円の方程式は
r2+c2−2rc cos(θ−θ1 )=a2
左の距離の公式において,次のように置き換えると得られます.
r2→r
θ2→θ
r1→c
θ1→θ1
l→a
ただし,得られた式においてrθを変数として扱います.

【例6】
極座標で表された点C(c, θ1 )を中心とする半径cの円の方程式は
r=2c cos(θ−θ1 )
(解説)
 上の【例5】においてa=cとおくと
r2+c2−2rc cos(θ−θ1 )=c2
r2−2rc cos(θ−θ1 )=0
r=2c cos(θ−θ1 )

(別の解説)
 右図の△OBPは直角三角形だから
OP=OB cos(θ−θ1 )
したがって
r=2a cos(θ−θ1 )

(さらに別の解説)
 上の【例4】のグラフ
r=2a cosθ
を原点のまわりに角θだけ回転したものだから
r=2a cos(θ−θ1 )
【三角関数の公式を使って変形したもの】
 三角関数の公式
sin(±θ)=cosθ
sin(±θ)=−cosθ
a sinθ+b cosθ=sin(θ+α)
ただし,αsinα=, cosα=
となる角
などを使って,上記の【例】(3)(4)の形に直せるものも,直線や円を表します.

【例7】
 r sinθ=hは,図のように点H(h, )を通り,OHに垂直な直線を表します.
(解説)
 sinθ=cos(−θ)
さらに,cosθ=cos(−θ)だからcos(−θ)=cos(θ−)
したがって,元の方程式は
r cos(θ−)=h
と書き直せるから,点H(h, )を通り,OHに垂直な直線を表します.

(別の解説)
 右図からわかるように,点P(r, θ)がこの直線上にあれば,r sinθ=hが成り立ち,逆にr sinθ=hが成り立てばこの直線上にあります.
(さらに別の解説)
 r sinθ=hを直交座標に直すと,y=hになるので,y切片がhx軸に平行な直線になります.

【例8】
 r=(sinθ+cosθ)は,三角関数の合成公式を使って,次のように変形すれば,【例6】に述べた円を表すことが分かります.
r=2cos(θ−)
(解説)
r=(sinθ+cosθ)
=2(sinθ·+cosθ·)
=2(cosθ·cos+sinθ·sin)
r=2cos(θ−)
【問題2】次の各々のグラフ(青の線で示したもの)に対応する極方程式を右欄から選んでください.
(1)

r2+4rcosθ+12=0 r2−4rcosθ+12=0
r2+8rcosθ+12=0 r2−8rcosθ+12=0
(2)

r=2cos(θ−) r=2cos(θ+)
r=4cos(θ−) r=4cos(θ+)
(3)

r sin(θ−)=4 r sin(θ+)=4
r cos(θ−)=4 r cos(θ+)=4

【直交座標⇔極座標:方程式の変換】
 直交座標で表されたグラフの方程式と極座標で表されたグラフの方程式とは,次の関係をもとにして互いに変換することができます.
x=r cosθ
y=r sinθ
(上記から導かれるものとして,x2+y2=r2もよく使う)
【例9】
x+y=2
r cosθ+r sinθ=2
r (cosθ+sinθ)=2
r×2 (cosθ·+sinθ·)=2
rcos(θ−)=1
【例10】
x2+y2=x
x2+y2r2に直す.
xr cosθに直す.
r2=r cosθ
両辺をr>0で割る.
r=cosθ
※次のように変換できないものもあります.
[直交座標に直せないものの例]
r=aθ(アルキメデスの渦巻き線)
[極座標に直せないものの例]
x=a(θsinθ), y=a(1−cosθ)(サイクロイド)

⇒ r cosθr sinθの形になっている式は直せますが,生のθが登場する式は直せません.
【例11】
r=2 sin(θ+)
右辺を三角関数の加法定理で展開して,sinθcosθの式にする.
r=2(sinθcos+cosθsin)
r=2(sinθ+cosθ)
r=sinθ+cosθ
両辺にrを掛けてr sinθr cosθを「作る」
r2=r sinθ+r cosθ
x2+y2=y+x
【問題3】
 各々の極座標で書かれた方程式に対応する直交座標の方程式を右から選んでください.
初めに極座標の方程式を選び,続いて直交座標の方程式を選んでください.
間違ったときは,問題を選び直してください.)





x2+y2+2x−2y=0
x2−y2=−1
y=2x
x−y=2
x2+y2=2y
x2+=1
xy=1
x2+y2−x−y−2=0
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■[個別の頁からの質問に対する回答][極方程式について/16.10.27]
例8計算ミスしていませんか?
=>[作者]:連絡ありがとう.符号が逆になっていましたので訂正しました.