三角形の辺の長さ

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== 三角形の辺の長さ ==(三角測量)

(1) 三角比の定義

　右図のような直角三角形では，辺の長さの比によって三角比の値が定義されています．
$\sin \theta=\frac{y}{r}$ …①

$\cos \theta=\frac{x}{r}$ …②

$\tan \theta=\frac{y}{x}$ …③

(2) 直角三角形の辺の長さ

　逆に上記の式①において， $\sin \theta$ と $r$ の値が分かっているとき， $y$ の値は次のようにして求められます．
$y$ $=$ $r\sin\theta$ …④
　同様にして，式②において， $\cos \theta$ と $r$ の値が分かっているとき， $x$ の値は次のようにして求められます．
$x$ $=$ $r\cos\theta$ …⑤
　さらに，式③において， $\tan \theta$ と $x$ の値が分かっているとき， $y$ の値は次のようにして求められます．
$y$ $=$ $x\tan\theta$ …⑥

⇒ このようにして，三角比の値 $\sin \theta,\hspace{5}\cos \theta,\hspace{5}\tan \theta$ があらかじめ分かっている場合には，これら④⑤⑥の式を使って，辺の長さを求めることができます．

　例えば，右図のような高い塔の高さ直接測るのは難しいことですが，角度θと横の長さを測れば，計算によって塔の高さを求めることができます．このような方法は三角測量と呼ばれます．

【例１】　
　右の直角三角形において， $y$ の長さを求めてください．

（解答）
$\frac{y}{10}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
だから
$y=10\sin 30^{\circ}=10\times \frac{1}{2}=5$ …（答）

　直角三角形の辺の長さを求める問題（三角測量の問題）においては，必要な三角比の値が分かっていなければなりませんが，次の３種類×3の値は問題文に書かれていなくても読者が覚えていなければなりません．

θ	sin θ	cos θ	tan θ
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

　これ以外の値，例えば sin 22°などが必要になる場合は，コンピュータを使ってあらかじめ計算した「三角比の表」が付いているのが普通です．（高校の教科書では，巻末の見開きに付いているものを使います．）
　この教材では，必要に応じて次のように示します．（ほとんどの三角比の値は無限小数になりますが，実用的な計算では有効数字3桁の小数で十分なので，小数第4位までの表が多く用いられます．）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
…	…	…	…
19	0.3256	0.9455	0.3443
20	0.3420	0.9397	0.3640
21	0.3584	0.9336	0.3839
22	0.3746	0.9272	0.4040
23	0.3907	0.9205	0.4245
24	0.4067	0.9135	0.4452
…	…	…	…

※この表はどのようにして作っているのか？
角度を弧度法という単位で表しておくと，
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\cdots$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\cdots$
$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}\cdots$
などと計算する式（テイラー級数）があって，この式の初めの幾つかまでで有効数字4桁の小数に直せます．

【問題１】　答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください．選択肢の中から正しいものをクリック（以下の問題も同様です）

(1)
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．

解説やり直す

0.7 1.4 7.1 14.1

$\frac{x}{20}=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$x=20\times \frac{1}{\sqrt{2}}=20\times\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}=14.14..$
14.1…（答）

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(2)
　右の直角三角形において， $y$ の長さを求めてください．

解説やり直す

5.0 50.0 8.7 86.7

$\frac{y}{100}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$y=100\times \frac{1}{2}=50$
50.0…（答）

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(3)
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．

解説やり直す

1.73 17.3 5.20 52.0

$\frac{x}{30}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$
$x=30\times \sqrt{3}=30\times 1.732...=51.96...$
52.0…（答）

→閉じる←

(4)
　右の直角三角形において， $a$ の長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
24	0.4067	0.9135	0.4452
25	0.4226	0.9063	0.4663
26	0.4384	0.8988	0.4877

解説やり直す

5.3 5.4 5.5 5.6

$\frac{a}{6}=\cos 25^{\circ}=0.9063$
$a=6\times 0.9063=5.4378$
5.4…（答）

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(5)
　右の直角三角形において， $c$ の長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
34	0.5592	0.8290	0.6745
35	0.5736	0.8192	0.7002
36	0.5878	0.8090	0.7265

解説やり直す

5.7 5.8 8.1 8.2

$\frac{c}{10}=\sin 35^{\circ}=0.5736$
$c=10\times 0.5736=5.736$
5.7…（答）

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(6)
　右の直角三角形において， $d$ の長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
43	0.6820	0.7314	0.9325

解説やり直す

9.3 13.6 14.6 18.7

$\frac{d}{20}=\tan 43^{\circ}=0.6325$
$d=20\times 0.9325=18.65$
18.7…（答）

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【例２】　
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
18	0.3090	0.9511	0.3249

（解答）
$\frac{20}{x}=\sin 18^{\circ}=0.3090$
だから
$x=\frac{20}{0.3090}=64.72$
64.7…（答）

【問題２】　答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください．選択肢の中から正しいものをクリック（以下の問題も同様です）

(1)
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
28	0.4695	0.8829	0.5317

解説やり直す

0.5 2.7 5.3 9.4

$\frac{5}{x}=\tan 28^{\circ}=0.5317$
$x=\frac{5}{0.5317}=9.403..$
9.4…（答）

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(2)
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
38	0.6157	0.7880	0.7813

解説やり直す

3.9 10.2 12.9 13.0

$\frac{8}{x}=\sin 38^{\circ}=0.6157$
$x=\frac{8}{0.6157}=12.99..$
13.0…（答）

→閉じる←

(3)
　右の直角三角形において， $x$ の長さを求めてください．（必要に応じて次の表を使ってください）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
48	0.7431	0.6691	1.1106

解説やり直す

13.4 14.9 26.9 29.9

$\frac{20}{x}=\sin 48^{\circ}=0.7431$
$x=\frac{20}{0.7431}=26.914..$
26.9…（答）

→閉じる←

(3) 角度を計算する

　紙の上の三角形に対しては，分度器を当てれば角度を測定することができますが，日常生活で遭遇する非常に大きなものや小さなものに対しては必ずしも分度器が使えるとは限りません．しかし，直角三角形の辺の長さの比が分かれば，それを使って角度を逆に求めることもできます．
　例えば，右図のような坂道があって，水平方向に100(m)進むと垂直方向に10(m)高くなる場合， $\tan \theta=\frac{10}{100}=0.1$ となる角度θを次の表を使って度の位まで読み取ると，θ=6°になることが分かります．
（度まで求めるときは最も近い値を読み取る）

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
…	…	…	…
0	0.0000	1.0000	0.0000
1	0.0175	0.9998	0.0175
2	0.0349	0.9994	0.0349
3	0.0523	0.9986	0.0524
4	0.0698	0.9976	0.0699
5	0.0872	0.9962	0.0875
6	0.1045	0.9945	0.1051
7	0.1219	0.9925	0.1228
8	0.1392	0.9903	0.1405
9	0.1564	0.9877	0.1584
…	…	…	…

【問題３】　答は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めてください．選択肢の中から正しいものをクリック（以下の問題も同様です）

(1)
　右の直角三角形において，角 $\theta$ の大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
30	0.5000	0.8660	0.5774
31	0.5150	0.8572	0.6009
32	0.5299	0.8480	0.6249
33	0.5446	0.8387	0.6494
34	0.5592	0.8290	0.6745
35	0.5736	0.8192	0.7002
36	0.5878	0.8090	0.7265
37	0.6018	0.7986	0.7536
38	0.6157	0.7880	0.7813
39	0.6293	0.7771	0.8098
40	0.6428	0.7660	0.8391
41	0.6561	0.7547	0.8693
42	0.6691	0.7431	0.9004
43	0.6820	0.7314	0.9325
44	0.6947	0.7193	0.9657
45	0.7071	0.7071	1.0000
46	0.7193	0.6947	1.0355
47	0.7314	0.6820	1.0724
48	0.7431	0.6691	1.1106
49	0.7547	0.6561	1.1504
50	0.7660	0.6428	1.1918
51	0.7771	0.6293	1.2349
52	0.7880	0.6157	1.2799
53	0.7986	0.6018	1.3270
54	0.8090	0.5878	1.3764
55	0.8192	0.5736	1.4281
56	0.8290	0.5592	1.4826
57	0.8387	0.5446	1.5399
58	0.8480	0.5299	1.6003
59	0.8572	0.5150	1.6643
60	0.8660	0.5000	1.7321

解説やり直す

30° 37° 53° 60°

$\sin\theta=\frac{3}{5}=0.6$
より
$\theta=37^{\circ}$ …（答）
（別解）
$\cos\theta=\frac{4}{5}=0.8$
より
$\theta=37^{\circ}$ などでもよい

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(2)
　右の直角三角形において，角 $\theta$ の大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
30	0.5000	0.8660	0.5774
31	0.5150	0.8572	0.6009
32	0.5299	0.8480	0.6249
33	0.5446	0.8387	0.6494
34	0.5592	0.8290	0.6745
35	0.5736	0.8192	0.7002
36	0.5878	0.8090	0.7265
37	0.6018	0.7986	0.7536
38	0.6157	0.7880	0.7813
39	0.6293	0.7771	0.8098
40	0.6428	0.7660	0.8391
41	0.6561	0.7547	0.8693
42	0.6691	0.7431	0.9004
43	0.6820	0.7314	0.9325
44	0.6947	0.7193	0.9657
45	0.7071	0.7071	1.0000
46	0.7193	0.6947	1.0355
47	0.7314	0.6820	1.0724
48	0.7431	0.6691	1.1106
49	0.7547	0.6561	1.1504
50	0.7660	0.6428	1.1918
51	0.7771	0.6293	1.2349
52	0.7880	0.6157	1.2799
53	0.7986	0.6018	1.3270
54	0.8090	0.5878	1.3764
55	0.8192	0.5736	1.4281
56	0.8290	0.5592	1.4826
57	0.8387	0.5446	1.5399
58	0.8480	0.5299	1.6003
59	0.8572	0.5150	1.6643
60	0.8660	0.5000	1.7321

解説やり直す

30° 33° 38° 41°

$\tan\theta=0.65$
より
$\theta=33^{\circ}$ …（答）

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(3)
　右の直角三角形において，角 $\theta$ の大きさを度の位まで求めてください．
（必要に応じて次の表を使ってください）
表を見る表を隠す

≪三角比の表≫
θ(°)	sin θ	cos θ	tan θ
30	0.5000	0.8660	0.5774
31	0.5150	0.8572	0.6009
32	0.5299	0.8480	0.6249
33	0.5446	0.8387	0.6494
34	0.5592	0.8290	0.6745
35	0.5736	0.8192	0.7002
36	0.5878	0.8090	0.7265
37	0.6018	0.7986	0.7536
38	0.6157	0.7880	0.7813
39	0.6293	0.7771	0.8098
40	0.6428	0.7660	0.8391
41	0.6561	0.7547	0.8693
42	0.6691	0.7431	0.9004
43	0.6820	0.7314	0.9325
44	0.6947	0.7193	0.9657
45	0.7071	0.7071	1.0000
46	0.7193	0.6947	1.0355
47	0.7314	0.6820	1.0724
48	0.7431	0.6691	1.1106
49	0.7547	0.6561	1.1504
50	0.7660	0.6428	1.1918
51	0.7771	0.6293	1.2349
52	0.7880	0.6157	1.2799
53	0.7986	0.6018	1.3270
54	0.8090	0.5878	1.3764
55	0.8192	0.5736	1.4281
56	0.8290	0.5592	1.4826
57	0.8387	0.5446	1.5399
58	0.8480	0.5299	1.6003
59	0.8572	0.5150	1.6643
60	0.8660	0.5000	1.7321

解説やり直す

33° 40° 43° 50°

$\cos\theta=\frac{16}{25}=0.64$
より
$\theta=50^{\circ}$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角測量について／18.7.27］

素晴らしい教材をありがとうございます。感謝しております。細かいことなのですが、[問題2]-(3)の三角形に直角記号が抜けております。失礼いたしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．加筆修正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角形の辺の長さ(三角測量)について／18.5.1］

問題２の（１）（２）の解答間違ってませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにおかしいので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[直角三角形の辺の長さについて／17.10.19］

「三角形の辺の長さ」がnot found になっています! なんとかしてください!
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC用に作った教材のレイアウトを縦長に直すのが無理なので，携帯用の教材がまだないためエラーになっていました．文字が小さくて見にくい場合は，iPhoneを横に持ってください．