■　以上により，S=・・・これが，求める図形の面積です．

　上の図形の面積は，定積分で表わされます．

上組と下組は等しいので，　も成立します．

(公式)

■　この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）

＜要点＞
１　まず，Δｘ（通常は１／ｎ）を分離すること：これがｄｘになります．
（Σ記号の初項から末項までの項数ｎ個の等分となっている）
２　ｘ_ｋを決める　→　ｆ（ｘ_ｋ）を決める　→　ｆ（ｘ）を決める．　　　　　
３　limΣ→∫　とします．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
４　ｘ_０＝ａ，ｘ_ｎ＝ｂ　とします．（ｂ−ａ＝１でないなら，１の段階でΔｘを調整します．）　　　　　　　　　　　　　　　

• １／ｎ＝Δｘ　がなければ積分できません．なければ作ります．このために，１／ｎでくくります．（区間の幅は１）


• ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝　→　ｆ（ｘ）＝　とします．
• ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ａ＝ｘ_０＝０，　ｂ＝ｘ_ｎ＝１（区間の幅は１でよい．）
• limΣを∫にします．

＝＝

（答案１） ＝

（答案２） ＝

（答案１） ＝ ＝

（答案２） ＝ ＝

(考え方)
　または　　が　　に等しいので，
　では，「皮１枚分」多いことになります．（次の図参照）

→

この場合，「大した違いはないから」などとあいまいにせず，「過剰分を引いて定積分を完成してから」「右端（または左端）の項を加え」ます．

（答案）

＝

(考え方)
　または　　が　　に等しいので，この問題では「皮１枚分不足」です．
この場合，「不足分を埋めて，定積分を完成してから」「引きます」．（次の図参照）（埋めるのは，左端でもよい．）

（答案）
＝

(考え方)
k=1〜3nなので，短冊の横幅としてΔｘ＝１／（3n）を使うと，図形を想像しやすくなります．
（答案）


※　（例１）でｎに３ｎを代入したものと一致します．

(考え方)
ｋ＝ｎ＋１〜３ｎ　なので，項数は２ｎです．
Δｘ＝１／（2n），ｘ_ｋ＝ｋ／（2n）とおくとき，ａ＝ｘ_ｎ＝１／２，ｂ＝ｘ_３ｎ＝３／２　です．
（答案）

＝

[第1問 / 全7問]
解説 \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}} \) において \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+ x_k}\rightarrow f(x)=\sqrt{1+ x} \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+ x}dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+ k^2} \) においては，Δx となるべき 1/n がないから，これを作る 分母をn2でくくると \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n^2} \) 1/n2 のままではｎ等分にならないので1/n×1/nに分ける \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=\frac{x_k}{1+ x_k^2}\rightarrow f(x)=\frac{x}{1+ x^2} \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+ x^2}dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}(\sqrt{k}+ \sqrt{n})^2 \) において，Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(\sqrt{k}+ \sqrt{n})^2}{n}\times \frac{1}{n} \) 真ん中の式の分数の形を整える \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\frac{\sqrt{k}+ \sqrt{n}}{\sqrt{n}})^2\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n (\sqrt{\frac{k}{n}}+1)^2\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=(\sqrt{x_k}+ 1)^2\rightarrow f(x)=(\sqrt{x}+ 1)^2 \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 (\sqrt{x}+ 1)^2 dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \) Σ記号の中では，ｋが変数でｎは定数だから \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} \) Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n}}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{x_k}\rightarrow f(x)=\sqrt{x} \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{x} dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(n+ k)^2}{n^3} \) Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(n+ k)^2}{n^2}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac{n+ k}{n} \Bigr)^2\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \Bigl(1+ \frac{k}{n} \Bigr)^2\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=(1+ x_k)^2\rightarrow f(x)=(1+ x)^2 \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 (1+ x)^2 dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2}\sqrt{n^2+k^2} \) Δx となるべき 1/n を後ろに回して見やすくする \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{n^2+ k^2}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+ \frac{k^2}{n^2}}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+ (\frac{k}{n})^2}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=\sqrt{1+ x_k^2}\rightarrow f(x)=\sqrt{1+ x^2} \) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+ x^2} dx \) →解説を隠す← \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+ k^2}} \) 1/n を作るために分母をnでくくる（根号内は n2で割る） \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{k}{n}}\times n} \) \( \displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{k}{n}}}\times \frac{1}{n} \) \( \displaystyle \frac{1}{n}=\Delta x\rightarrow dx,\hspace{10px}\frac{k}{n}=x_k\rightarrow x \) とおくと \( \displaystyle f(x_k)=\frac{1}{\sqrt{1+ x_k}}\rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+ x}}\) \( \displaystyle a=x_0=0, \hspace{10px} b=x_n=1 \) となるから （原式）=\( \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+ x}} dx \) →解説を隠す←