三角関数の導関数

$-3\sin(4x+ 5)$ $3\sin(4x+ 5)$

$-12\cos(4x+ 5)$ $12\sin(4x+ 5)$

$y=-3\cos t$
$\underline{\hspace{56}t=4x+ 5}$ とおく
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=3\sin t\cdot 4$
$=12\sin(4x+ 5)$ …（答）

(2)
$y=4\tan(3x-\frac{\pi}{2})$

$\frac{4}{\cos^2(3x)}$ $\frac{12}{\cos^2(3x)}$

$4{\rm cosec^2}(3x)$ $12{\rm cosec^2}(3x)$

$y=4\tan t$
$\underline{\hspace{56}t=3x-\frac{\pi}{2}}$ とおく
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$
$=\frac{4}{\cos^2 t}\cdot 3$
$=\frac{12}{\cos^2(3x-\frac{\pi}{2})}$

$-\frac{\pi}{2}+\theta$ $\theta$

細工し過ぎだろ！

これに合う選択肢がないので，変形する．右図を見て数学Ⅱでならう公式を思い出す
$\cos(\theta-\frac{\pi}{2})=\sin\theta$
これを使うと
$\cos(3x-\frac{\pi}{2})=\sin(3x)$
$\frac{12}{\cos^2(3x-\frac{\pi}{2})}=\frac{12}{\sin^2(3x)}$
(5)を使うと
$12{\rm cosec^2}(3x)$ …（答）

(3)
$y=\cos^3 2x$

$-3\sin^2 2x$ $3\sin^2 2x$

$-6\cos^2 2x\cdot\hspace{0.5}\sin 2x$ $6\cos^2 2x\cdot\hspace{0.5}\sin 2x$

$y=u^3$
$u=\cos t$
$\underline{\hspace{76}t=2x}$ とおく
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$ ←3段階
$=3u^2\cdot(-\sin t)\cdot 2$
$=-6\cos^2 t\cdot\sin t$ ← $t$ では終われない
$=-6\cos^2 2x\cdot\sin 2x$ …（答）

(4)
$y=\sin x\cos 2x$

$6\cos^3 x-5\cos x$ $6\cos^3 x+ 4\cos x$

$4\cos^3x-3\cos x$ $4\sin^3 x+ 3\sin x$

$y\apos=(\sin x)\apos\cos 2x+ \sin x(\cos 2x)\apos$ ←(8)積の微分法
$=\cos x\cos 2x+\sin x(-2\sin 2x)$
$=\cos x\cos 2x-2\sin x\sin 2x$
選択肢に合うものがないので，変形する
$=\cos x(2\cos^2 x-1)-2\sin x\cdot 2\sin x\cos x$
$=\cos x(2\cos^2 x-1)-4\sin^2x\cdot\cos x$
$=\cos x(2\cos^2 x-1)-4(1-\cos^2x)\cdot\cos x$
$=2\cos^3x-\cos x-4\cos x+ 4\cos^3x$
$=6\cos^3x-5\cos x$ …（答）

微分は簡単なのに，
後始末が大変！

【問題２】　次の関数について $\frac{dy}{dx}$ を求めてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$y=\frac{1+ \cos x}{1-\cos x}$

$-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}$ $\frac{\sin x}{(1-\cos x)^2}$

$-\frac{2\sin x}{1-\cos x}$ $\frac{\sin x}{1-\cos x}$

商の微分法(9)を使う
$y=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow y\apos=\frac{f\apos(x)g(x)-f(x)g\apos(x)}{\{g(x)\}^2}$

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

$\frac{dy}{dx}=\frac{(1+\cos x)\apos(1-\cos x)-(1+\cos x)(1-\cos x)\apos}{(1-\cos x)^2}$
$=\frac{-\sin x(1-\cos x)-(1+\cos x)\sin x}{(1-\cos x)^2}$
$=\frac{-\sin x+\sin x\cos x-\sin x+\cos x\sin x}{(1-\cos x)^2}$
$=\frac{-2\sin x}{(1-\cos x)^2}$ …（答）

(2)
$y=\frac{\cos x}{1+\sin x}$

$-\frac{1}{1+\sin x}$ $\frac{\sin x}{1+\sin x}$

$\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}$ $\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2}$

商の微分法(9)を使う
$y=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow y\apos=\frac{f\apos(x)g(x)-f(x)g\apos(x)}{\{g(x)\}^2}$

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

$\frac{dy}{dx}=\frac{(\cos x)\apos(1+\sin x)-(\cos x)(1+\sin x)\apos}{(1+\sin x)^2}$
$=\frac{-\sin x(1+\sin x)-(\cos x)\cos x}{(1+\sin x)^2}$
$=\frac{-\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x}{(1+\sin x)^2}$
$=\frac{-\sin x-1}{(1+\sin x)^2}=-\frac{1}{1+\sin x}$ …（答）

(3)
$x=\cos y\hspace{3}(0\lt y\lt \frac{\pi}{2})$

$\sin y$ $-\sin y$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

逆関数の微分法(11)を使う
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\sin y}$
問題によっては，このまま答にしてよいこともある．この問題では，一致する選択肢がないから，変形する．
$0\lt y\lt \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin y\gt 0$ だから
$\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2}$
$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ …（答）

(4)
$x=\cot y$

$\frac{1}{x^2+ 1}$ $-\frac{1}{x^2+ 1}$

$x^2+ 1$ $-x^2-1$

逆関数の微分法(11)を使う
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

公式(*4)により
$\frac{d}{dx}(\cot x)=-\frac{1}{\sin^2 x}$
$\frac{d}{dy}(\cot y)=-\frac{1}{\sin^2 y}$
だから
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\frac{1}{\sin^2 y}}=-\sin^2 y$
問題によっては，このまま答にしてよいこともある．この問題では，一致する選択肢がないから，変形する．
数学Ⅰ，Ⅱの三角関数の相互関係から
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
の両辺を $\sin^2\theta$ で割ると
$1+\cot^2\theta=\frac{1}{\sin^2\theta}$
したがって
$\frac{dy}{dx}=-\sin^2 y=-\frac{1}{\cot^2 y+ 1}=-\frac{1}{x^2+ 1}$ …（答）

大学入試問題（やさしい方）

【問題３】　次の関数を微分せよ．

(3.1)
$y=\frac{\cos x}{1-\sin x}$

（2014年宮崎大）

商の微分法(9)を使う
$y=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow y\apos=\frac{f\apos(x)g(x)-f(x)g\apos(x)}{\{g(x)\}^2}$

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

$\frac{dy}{dx}=\frac{(\cos x)\apos(1-\sin x)-(\cos x)(1-\sin x)\apos}{(1-\sin x)^2}$
$=\frac{-\sin x(1-\sin x)-(\cos x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}$
$=\frac{-\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x}{(1-\sin x)^2}$
$=\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)^2}=\frac{1}{1-\sin x}$ …（答）

(3.2)
$y=\sin^3 2x$

（2011年茨城大）

$y=u^3$
$u=\sin t$
$\underline{\hspace{76}t=2x}$ とおく
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$ ←3段階
$=3u^2\cdot\cos t\cdot 2$
$=6\sin^2 t\cdot\cos t$ ← $t$ では終われない
$=6\sin^2 2x\cdot\cos 2x$ …（答）

(3.3)
$y=\sin x^2$

（2005年佐賀大）

$y=\sin t$
$\underline{\hspace{56}t=x^2}$ とおく
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$ ←合成関数の微分法
$=\cos t\cdot 2x$
$=2x\cos x^2$ …（答）

※次の問題は対数微分法を学んでから行うとよい

(3.4)
$y=x^{\cos x}\hspace{5}(x\gt 0)$

（2016年岡山県立大）

$x\gt 0$ だから，両辺とも正
両辺の対数をとると
$\log y=\log(x^{\cos x})=\cos x\log x$
$\frac{d}{dx}(\log y)=\frac{d}{dx}(\cos x\log x)$
$\frac{d}{dy}(\log y)\frac{dy}{dx}=-\sin x\log x+\cos x\times\frac{1}{x}$
$\frac{y\apos}{y}=-\sin x\log x+\cos x\times\frac{1}{x}$
$y=x^{\cos x}(\frac{\cos x}{x}-\sin x\log x)$ …（答）