■必要条件・十分条件･･･センター試験問題
【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　aは実数とし，bは0でない実数とする．aとbに関する条件p, q, rを次のように定める．
p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である
r：は有理数である
(1) 次のスに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つ選べ．
条件pの否定はスである．
0「a, bはともに有理数である」
1「a, bはともに無理数である」
2「a, bの少なくとも一方は有理数である」
3「a, bの少なくとも一方は無理数である」
(2) 次のセに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つ選べ．
条件「qかつr」は条件pが成り立つためのセ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが十分条件ではない
2十分条件であるが必要条件ではない
3必要条件でも十分条件でもない
(3) 次の0〜7のうち，正しいものはソである．
0「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．
1「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．
2「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．
3「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．
4「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．
5「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．
6「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．
7「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ス
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

セ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ソ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　集合A, Bを
　A={ n | nは10で割り切れる自然数 }
　B={ n | nは4で割り切れる自然数 }
とする．
(1)　次のカとキに当てはまるものを，次の0〜3のうちから一つずつ選べ．
自然数nがAに属することは，nが2で割り切れるためのカ．
自然数nがBに属することは，nが20で割り切れるためのキ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件でない
2十分条件であるが，必要条件でない
3必要条件でも十分条件でもない
(2)　次のク〜コに当てはまるものを，下の0〜7のうちから一つずつ選べ．
C={ n | nは10と4のいずれでも割り切れる自然数 }
D={ n | nは10でも4でも割り切れない自然数 }
E={ n | nは20で割り切れない自然数 }
とする．自然数全体の集合を全体集合とし，その部分集合Gの補集合をで表すとき
C=ク，D=ケ，E=コ
である．
0A∪B 1A∪ 2∪B 3
4A∩B 5A∩ 6∩B 7
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


カ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

キ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ク
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　次のケ〜シに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　自然数m, nについて，条件p, q, rを次のように定める．

p：m+nは2で割り切れる
q：nは4で割り切れる
r：mは2で割り切れ，かつnは4で割り切れる

また，条件pの否定を ，条件rの否定を で表す．このとき

pはrであるためのケ．
は であるためのコ．
「pかつq」はrであるためのサ．
「pまたはq」はrであるためのシ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件でない
2十分条件であるが，必要条件でない
3必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

サ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

シ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　実数aに関する条件p, q, rを次のように定める．
p：a2≧2a+8
q：a≦−2またはa≧4
r：a≧5
(1)　次のクに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つ選べ．
qはpであるためのク
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件でない
2十分条件であるが，必要条件でない
3必要条件でも十分条件でもない
(2)　条件qの否定を ，条件rの否定を で表す．

　次のケ，コに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
命題「pならばケ」は真である．
命題「コならばp」は真である．
0qかつ
1qまたは
2かつ
3または
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ク
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　次のケ〜サに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．また，シに当てはまるものを，下の4〜7のうちから一つ選べ．

自然数nに関する条件p, q, r, sを次のように定める．
p：nは5で割ると1余る数である
q：nは10で割ると1余る数である
r：nは奇数である
s：nは2より大きい素数である

また，条件rの否定を ，条件sの否定を で表す．このとき
「pかつr」はqであるためのケ．
はであるためのコ．
「pかつs」は「qかつs」であるためのサ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件でない
2十分条件であるが，必要条件でない
3必要条件でも十分条件でもない

　自然数全体の集合を全体集合Uとし，条件pを満たす自然数全体の集合をP，条件rを満たす自然数全体の集合をR，条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると，P, R, Sの関係を表す図はシである．

45

67
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

サ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

シ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（追試験） 第１問［２］】
　1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし，その部分集合A, B, Cを次のように定義する．
A={ x | xは偶数 }
B={ x | xは3の倍数 }
C={ x | xは4の倍数 }
(1) A, B, Cの関係を表す図は，次の0〜3のうちセである．

01


23

(2) Cの補集合をで表す．また，xが集合Sの要素であることをx∈Sと表す．
x∈Cはx∈A∩Bであるためのソ．
x∈A∩はx∈Aであるためのタ．
x∈A∪Bは「x∈A∩またはx∈B」であるためのチ．
x∈A∪Bは「x∈Aまたはx∈B∩」であるためのツ．

　ソ〜ツに当てはまるものを，次の0〜3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件ではない
2十分条件であるが，必要条件ではない
3必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


セ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ソ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

タ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

チ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ツ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　実数a, bに関する条件p, qを次にように定める．
p：(a+b)2+(a−2b)2<5
q：|a+b|<1または|a−2b|<2

(1) 次の0〜3のうち，命題「q⇒p」に対する反例になっているのはチである．

0a=0, b=0 1a=1, b=0
2a=0, b=1 3a=1, b=1

(2) 命題「p⇒q」の対偶は「ツ⇒テ」である．
　ツ，テに当てはまるものを，次の0〜7のうちから一つずつ選べ．

0|a+b|<1かつ|a−2b|<2 1(a+b)2+(a−2b)2<5
2|a+b|<1 または|a−2b|<2 3(a+b)2+(a−2b)2≦5
4|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2 5(a+b)2+(a−2b)2>5
6|a+b|≧1または|a−2b|≧2 7(a+b)2+(a−2b)2≧5

(3) pはqであるためのト．
　トに当てはまるものを，次の0〜3のうちから一つ選べ．

0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件ではない
2十分条件であるが，必要条件ではない
3必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


チ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ツ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

テ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ト
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（追試験） 第１問［２］】
　m, nを整数とする．
　次のク，コに当てはまるものを，下の0〜5のうちから一つずつ選べ．また，次のケ，サに当てはまるものを，下の6〜9のうちから一つずつ選べ．ただし，ケ，サには，同じものを繰り返し選んでよい．

(1) m, nに関する条件p, qを次のように定める．
p：m, nの少なくとも１つは3の倍数でない
q：m+n, m−nの少なくとも１つは3の倍数でない
pの否定はク．
pはqであるためのケ．
(2) m, nに関する条件r, sを次のように定める．
r：m, nの少なくとも１つは4の倍数でない
s：m+n, m−nの少なくとも１つは4の倍数でない
sの否定が成立するならば，コ．
rはsであるためのサ．

0m, nの少なくとも１つは3の倍数である
1m, nはともに3の倍数である
2m, nはともに3の倍数でない
3m, nはともに奇数である
4m, nはともに偶数である
5m, nのうち一方だけが偶数である

6必要十分条件である
7必要条件であるが，十分条件でない
8十分条件であるが，必要条件でない
9必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ク
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

サ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　kを定数とする．自然数m, nに関する条件p, q, rを次のように定める．
p：m>kまたはn>k
q：mn>k2
r：mn>k
(1) 次のクに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つ選べ．
pの否定はクである．
0m>kまたはn>k
1m>kかつn>k
2m≦kかつn≦k
3m≦kまたはn≦k

(2) 次のケ〜サに当てはまるものを，下の0〜3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
(i) k=1とする．
pはqであるためのケ．
(ii) k=2とする．
pはrであるためのコ．
pはqであるためのサ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件でない
2十分条件であるが，必要条件でない
3必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ク
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

サ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


【センター試験 2013年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第１問［２］】
　三角形に関する条件p, q, rを次のように定める．
p：三つの内角がすべて異なる
q：直角三角形でない
r：45°の内角は一つもない
　条件pの否定をで表し，同様に, はそれぞれ条件q, rの否定を表すものとする．

(1) 命題「r⇒（pまたはq）」の対偶は「ク⇒」である．
クに当てはまるものを，次の0〜3のうちから一つ選べ．
0（pかつq）1（かつ）
2（またはq）3（または）

(2) 次の0〜4のうち，命題「（pまたはq）⇒r」に対する反例となっている三角形はケとコである．
ケとコに当てはまるものを，次の0〜4のうちから一つずつ選べ．ただし，ケとコの解答の順序は問わない．
0直角二等辺三角形
1内角が30°，45°，105°の三角形
2正三角形
3三辺の長さが3, 4, 5の三角形
4頂角が45°の二等辺三角形

(3) rは（pまたはq）であるためのサである．
サに当てはまるものを，次の0〜3のうちから一つ選べ．
0必要十分条件である
1必要条件であるが，十分条件ではない
2十分条件であるが，必要条件ではない
3必要条件でも十分条件でもない
≪次の解答欄から各々選んでください．≫


ク
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

［２つ答えたときに採点］
ケ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

コ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G


サ
− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G

...メニューに戻る