センター試験問題必要条件・十分条件

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== 必要条件・十分条件･･･センター試験問題 ==

【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　aは実数とし，bは0でない実数とする．aとbに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：は有理数である

(1) 次のスに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．
条件pの否定はスである．

0「a, bはともに有理数である」
1「a, bはともに無理数である」
2「a, bの少なくとも一方は有理数である」
3「a, bの少なくとも一方は無理数である」

ス→ 解説を読む解説を隠す

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　aは実数とし，bは0でない実数とする．aとbに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：は有理数である

(2) 次のセに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．
条件「qかつr」は条件pが成り立つためのセ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが十分条件ではない

2十分条件であるが必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

セ→ 解説を読む解説を隠す

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：は有理数である

(3) 次の0～7のうち，正しいものはソである．

0「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．

1「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．

2「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．

3「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．

4「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．

5「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．

6「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．

7「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．

ソ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　集合A, Bを
　A={ n | nは10で割り切れる自然数 }
　B={ n | nは4で割り切れる自然数 }
とする．

(1)　次のカとキに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つずつ選べ．

自然数nがAに属することは，nが2で割り切れるためのカ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

カ→ 解説を読む解説を隠す

自然数nがBに属することは，nが20で割り切れるためのキ．

キ→ 解説を読む解説を隠す

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　集合A, Bを
　A={ n | nは10で割り切れる自然数 }
　B={ n | nは4で割り切れる自然数 }
とする．

(2)　次のク～コに当てはまるものを，下の0～7のうちから一つずつ選べ．
C={ n | nは10と4のいずれでも割り切れる自然数 }
D={ n | nは10でも4でも割り切れない自然数 }
E={ n | nは20で割り切れない自然数 }
とする．自然数全体の集合を全体集合とし，その部分集合Gの補集合をで表すとき

C=ク，D=ケ，E=コ
である．

0A∪B 1A∪ 2∪B 3

4A∩B 5A∩ 6∩B 7

ク→ 解説を読む解説を隠す

ケ→ 解説を読む解説を隠す

コ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　次のケ～シに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
　自然数m, nについて，条件p, q, rを次のように定める．

p：m+nは2で割り切れる
q：nは4で割り切れる
r：mは2で割り切れ，かつnは4で割り切れる

また，条件pの否定を，条件rの否定をで表す．このとき

pはrであるためのケ．

はであるためのコ．

「pかつq」はrであるためのサ．

「pまたはq」はrであるためのシ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

コ→ 解説を読む解説を隠す

サ→ 解説を読む解説を隠す

シ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　実数aに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a2≧2a+8
q：a≦−2またはa≧4
r：a≧5

(1)　次のクに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．

qはpであるためのク

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ク→ 解説を読む解説を隠す

(2)　条件qの否定を，条件rの否定をで表す．

　次のケ，コに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

命題「pならばケ」は真である．

ケ→ 解説を読む解説を隠す

命題「コならばp」は真である．

0qかつ

1qまたは

2かつ

3または

コ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　次のケ～サに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．また，シに当てはまるものを，下の4～7のうちから一つ選べ．

自然数nに関する条件p, q, r, sを次のように定める．
p：nは5で割ると1余る数である
q：nは10で割ると1余る数である
r：nは奇数である
s：nは2より大きい素数である

また，条件rの否定を，条件sの否定をで表す．このとき

「pかつr」はqであるためのケ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
自然数nに関する条件p, q, r, sを次のように定める．
p：nは5で割ると1余る数である
q：nは10で割ると1余る数である
r：nは奇数である
s：nは2より大きい素数である

はであるためのコ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

コ→ 解説を読む解説を隠す

「pかつs」は「qかつs」であるためのサ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

サ→ 解説を読む解説を隠す

　自然数全体の集合を全体集合Uとし，条件pを満たす自然数全体の集合をP，条件rを満たす自然数全体の集合をR，条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると，P, R, Sの関係を表す図はシである．

シ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（追試験）第１問［２］】

　1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし，その部分集合A, B, Cを次のように定義する．

A={ x | xは偶数 }
B={ x | xは3の倍数 }
C={ x | xは4の倍数 }

(1) A, B, Cの関係を表す図は，次の0～3のうちセである．

01

セ→ 解説を読む解説を隠す

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし，その部分集合A, B, Cを次のように定義する．
A={ x | xは偶数 }
B={ x | xは3の倍数 }
C={ x | xは4の倍数 }

(2) Cの補集合をで表す．また，xが集合Sの要素であることをx∈Sと表す．

x∈Cはx∈A∩Bであるためのソ．
x∈A∩はx∈Aであるためのタ．
x∈A∪Bは「x∈A∩またはx∈B」であるためのチ．
x∈A∪Bは「x∈Aまたはx∈B∩」であるためのツ．

　ソ～ツに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件ではない

2十分条件であるが，必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

ソ→ 解説を読む解説を隠す

タ→ 解説を読む解説を隠す

チ→ 解説を読む解説を隠す

ツ→ 解説を読む解説を隠す

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　実数a, bに関する条件p, qを次にように定める．

p：(a+b)2+(a−2b)2<5
q：|a+b|<1または|a−2b|<2

(1) 次の0～3のうち，命題「q⇒p」に対する反例になっているのはチである．

0a=0, b=0 1a=1, b=0
2a=0, b=1 3a=1, b=1

チ→ 解説を読む解説を隠す

(2) 命題「p⇒q」の対偶は「ツ⇒テ」である．
　ツ，テに当てはまるものを，次の0～7のうちから一つずつ選べ．

0|a+b|<1かつ|a−2b|<2 1(a+b)2+(a−2b)2<5
2|a+b|<1 または|a−2b|<2 3(a+b)2+(a−2b)2≦5
4|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2 5(a+b)2+(a−2b)2>5
6|a+b|≧1または|a−2b|≧2 7(a+b)2+(a−2b)2≧5

ツテ→ 解説を読む解説を隠す

(3) pはqであるためのト．
　トに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件ではない

2十分条件であるが，必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

ト→ 解説を読む解説を隠す

※茶色の箇所は，スマホ画面で見やすいように，本来の記述個所から転記したもの．

【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（追試験）第１問［２］】