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== 条件付き確率(入試問題) ==

難易度の目安
基 本:★☆☆
普 通:★★☆
やや難:★★★

【確率の定義】
 全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき,事象Aの起こる確率P(A)は,「全体に対する部分の比」で定義される.
集合の要素の個数が分かっているとき
全体集合Uの要素の個数をn(U),集合Aの要素の個数をn(A)で表わすとき,確率は全体に対する比になる
・・・(1)
【条件付き確率の定義】
 事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率(事象Aが起こったことが分かっているときに,事象Bが起こる確率),すなわち,条件付き確率は,「Aの部分(次の図の赤線の枠)に対する比」で定義される.
・・・(2)
 (2)の分子分母をn(U)で割って,(1)を使って変形し,次の形で使うことも多い.
・・・(3)

※条件付き確率の定義において,BであってもAでない部分(上の図の×印の部分)は,分母にも分子に入らないことに注意.
※条件付き確率を文章で表す場合には「Aであることが分かっているときのBが起こる確率」「A起こったときにBが起こる確率」というような言い回しをする.
• 単に「AかつBが起こる確率」といえば

という「積事象」ABの確率を表し(分母が全事象Uの要素数n(U)になる),条件付き確率にはならない.
==サイコロの確率==
【問題1】★☆☆
 1つのサイコロを続けて2回振ったときに,1回目の出る目をa,2回目に出る目をbとする.
(@) 事象|a−b|<5の起こる確率は
である.

(A) 事象a<5が起こったときに,事象|a−b|<5
起こる確率は
である.

(2014年度明治大 政経学部)
[解説を読む]

【問題2】★☆☆
一般に,事象Aの確率をP(A)で表す.また,事象Aの余事象をAと表し,二つの事象A, Bの積事象をABと表す.
大小2個のさいころを同時に投げる試行において
Aを「大きいさいころについて,4の目が出る」という事象
Bを「2個のさいころについて,目の和が7である」という事象
Cを「2個のさいころについて,目の和が9である」という事象
とする.
(1) 事象A, B, Cの確率は,それぞれ
P(A)=
P(B)=
P(C)=

である.
(2) 事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き
確率は
であり,事象Aが起こったときの事象C

起こる条件付き確率は
である.

(3)(4) 略
(2018年度センター試験)
[解説を読む]
【問題3】★☆☆
 1から6までの目が等しい確率で出るさいころを2回投げる.1回目に出た目をm,2回目に出た目をnとする.
(@) 略
(A) m1≦m≦4を満たすとき,9≦m+n≦11
なる条件つき確率は
である.

(2016年度上智大 法学部・経済学部)
[解説を読む]

【問題4】★★☆
 3つのサイコロを同時に投げたとき,すべて異なる目が出る事象をA,3つのサイコロのうち少なくとも1つは1の目である事象をBとする.
(1)〜(4) 略
(5) 事象Bが起こったときの事象Aの起こる条件付き確率はである.
(2000年度東京理科大 薬学部)
[解説を読む]
【反復試行の確率】
 1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると,この試行をn回繰り返すとき,Aがr回起こる確率は
【問題5】★★☆
 座標平面上を動く点Pが原点の位置にある.1個のさいころを投げて,1または2の目が出たときには,Px軸の正の向きに1だけ進み,他の目が出たときには,Py軸の正の向きに2だけ進むことにして,さいころを3回投げる.点Pの座標が(2, 2)である確率は(ス)であり,Pと原点との距離が3以上である確率は(セ)である.Pと原点との距離が3以上という条件の下で,Pが座標軸上にない条件付き確率は(ソ)である.
(2021年度慶應義塾大 看護医療学部)
[解説を読む]

【問題6】★☆☆
 コインを繰り返し8回投げ,n回目(1≦n≦8)が表なら1を,裏なら0をn桁目とする10進数Nをつくる.このとき,Nが8桁の数である確率を求めよ.また,Nが8桁の数であるとき,それが3の倍数である条件付き確率を求めよ.
(2021年度東京都市大 理工学部)
[解説を読む]
==赤玉,白玉の問題==
【問題7】★☆☆
 箱の中に,赤玉が5個,青玉が4個,白玉が3個入っている.それぞれの玉の大きさは同じで,1個あたりの重さは,赤玉が100g,青玉が45g,白玉が30gである.このとき以下の問いに答えよ.ただし,取り出した玉は重さを量ったあとで,箱の中にもどすものとする.
(1)
 無作為に箱から玉を1個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが40g以上であるという条件のもとで,袋の中身が赤玉である確率を求めよ.

(2)
 無作為に箱から玉を2個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが100g以上であるという条件のもとで,袋の中身が2個とも赤玉である確率を求めよ.

(3)
  無作為に箱から玉を3個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが150g以上であるという条件のもとで,袋の中身が3個とも赤玉である確率を求めよ.

(2014年度九州大 工学部)
[解説を読む]

【問題8】★★☆
 袋がひとつあり,はじめに赤玉3個と白玉3個が入っている.このとき,以下の操作(*)を考える.
(*)
袋からひとつの玉を取り出して色を確認した後,その玉は袋に戻さず,別に用意してある白玉をひとつ袋に入れる.

次の問いに答えよ.
(1) 操作(*)を2回行ったとき,2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求めよ.
(2) 操作(*)を3回行ったとき,2回目までに取り出した赤玉が1個以上であるという条件のもとで,3回目に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ.
(3) 操作(*)を4回行ったとき,4回目に取り出した玉が赤玉であるという条件のもとで,3回目までに取り出した赤玉が2個以上である条件付き確率を求めよ.
(2018年度横浜国立大 理工学部)
[解説を読む]
【問題9】★★☆
(一部引用)
 赤玉3個,黒玉5個,白玉7個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す.赤玉,黒玉,白玉が1個ずつ取り出され
る確率はである.取り出された玉の色が2種類で
ソタ

あったとき,その中に赤玉が2個入っている確率は
である.
ツテ

(2021年度杏林大 医学部)
[解説を読む]

【問題10】★★★
 二つの袋A,Bと1つの箱がある.Aの袋には赤球2個と白球1個が入っており,Bの袋には赤球3個と白球1個が入っている.また,箱には何も入っていない.
(1) A,Bの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.
 (@) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球であ
る確率はアイである.
ウエ

 (A) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すと
き,取り出した球が赤球である確率はオカであり,
キク

取り出した球が赤球であったときに,それがBの袋に入
っていたものである条件付き確率はである.
コサ

(2) A,Bの袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる.
 (@) 箱の中の4個の球のうち,ちょうど2個が赤球であ
る確率はである.また,箱の中の4個の球のうち,

ちょうど3個が赤球である確率はである.

 (A) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り
出すとき,どちらの球も赤球である確率はタチである.
ツテ

また,取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに,それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたもの
である条件付き確率はトナである.
ニヌ

(2021年度共通テスト)
[解説を読む]
==くじ引き・不良品の問題==
【問題11】★★☆
 当たりくじ5本を含む13本のくじがあり.このくじを,A, B, C, Dの4人がこの順に1本ずつ引くとし,引いたくじはもとに戻さないとする.このとき,以下の確率を既約分数で求めよ.
(@) 4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1
(A) 4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2
(B) 4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき,Dが当たる条件付き確率P3
(2016年度大阪府立大 工学部)
[解説を読む]

【問題12】★☆☆
 ある製品を製造する4つの機械X, Y, Z, Wがあり,Xの製品には1%,Yの製品には2%,Zの製品には1%,Wの製品には2%の不良品がそれぞれ含まれている.Xの製品200個とYの製品300個とZの製品300個とWの製品200個を混ぜた中から1個を選び出す.選び出された製品が不良品であったときに,それが機械Wの製品である確率はである.
(2016年度産業医科大)
[解説を読む]
【問題13】★★★
 ある臓器にできる腫瘍しゅようXは悪性と良性の2つの型に分けられ,同時に両方の型であることはない.実際に,Xである人とない人の割合は3%と97%であり,Xがある人のうち,悪性の人と良性の人の割合は1:2である.そして,腫瘍Xがあるかないかを調べる検査Yについて,次の事が知られている.
(@) 悪性のXがある人にYが用いられると,95%の確率でXがあると判定される.
(A) 良性のXがある人にYが用いられると,80%の確率でXがあると判定される.
(B) Xがない人にYが用いられると,90%の確率でXがないと正しく判定される.
ある人が,この検査Yを受けることになった.このとき,次の確率を求めよ.
(1) この人にXがあると判定される確率
(2) Xがあると判定されたとき,悪性のXが実際にある確率
(3) 悪性のXが実際にないとき,Xがないと判定される確率
(2018年度旭川医科大)
[解説を読む]

==原因の確率==
【問題14】★☆☆
 Aの袋には白玉2個,赤玉4個の計6個の玉が,Bの袋には白玉,赤玉ともに3個ずつの計6個の玉が入っている.2つの袋A,Bのうちどちらかを選び,その袋から玉を1個取り出す.取り出した玉が白玉であったとき,選んだ袋がAであった確率はいくらか.
(1)
(2)
(3)
(4)

(5) 上の4つの答えはどれも正しくない.
(2018年度防衛医科大学校)
[解説を読む]
【問題15】★☆☆
 赤球6個,白球4個が入った袋Aが2つと,赤球4個,白球6個が入った袋Bが1つある.これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び,その袋の中から3個の球を取り出したとき,赤球2個,白球1個であった.このとき,選んだ袋がAであった確率は次のどれか.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)

(h) 以上のどれでもない.
(2018年度防衛大学校)
[解説を読む]
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