無理数の独立

== 無理数の独立 ==
《解説》

（定理1）
a, bが有理数のとき， $a+ b\sqrt{2}=0\hspace{5}\leftarrow \rightarrow\hspace{5}a=b=0$

なお，この関係は $\sqrt{2}$ $ \sqrt{2} $でなくても、 $\sqrt{3},\hspace{5}\sqrt{5},\hspace{5}\sqrt{6},\hspace{5}\sqrt{7},\hspace{5}\cdots$ など，平方数でない数nの根号 $\sqrt{n}$ $ \sqrt{n} $に関しても成り立ちます.

a, bが有理数という条件がなければ，［→］は成り立ちません.
例　 $(2)+(-\sqrt{2})\sqrt{2}=0$ $ (2)+(-\sqrt{2})\sqrt{2}=0 $
例　 $(\sqrt{6})+(-\sqrt{3})\sqrt{2}=0$ $ (\sqrt{6})+(-\sqrt{3})\sqrt{2}=0 $

（証明）
［←］　 $0+ 0\sqrt{2}=0$ $ 0+0\sqrt{2}=0 $だから，明らか.
［→］
　まず，b=0を示す：

b≠0のとき， $\sqrt{2}=-\frac{a}{b}$ $ \large{\sqrt{2}=-\frac{a}{b}} $と変形でき、左辺は無理数，右辺は有理数だから矛盾．
背理法により，b=0が示される.

　次に， $a=0$ を示す：

$a+ 0\sqrt{2}=0$ $ a+0\sqrt{2}=0 $より，a=0

（定理2）
a, b, c, dが有理数のとき，
$a+ b\sqrt{2}=c+ d\sqrt{2}\leftarrow \rightarrow a=c,\hspace{5}b=d$ より，a=0

$\sqrt{3},\hspace{5}\sqrt{5},\hspace{5}\sqrt{6},\hspace{5}\sqrt{7},\hspace{5}\cdots$ などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

（証明）
［←］　明らか.
［→］
　 $(a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0$ $ (a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0 $となり，a−c, b−dが有理数であることから、
定理１により，a−c=0, b−d=0
　ゆえに，a=c, b=d

（余談）：定理1は定理2において，ｃ＝ｄ＝0とすれば得られます.つまり，定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし，上に示したように，定理1から定理2が示されるので，定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには，どちらの形で使ってもかまいません.

例
$a+ 3\sqrt{2}=4+ b\sqrt{2}$ のとき，有理数a, bの値を求めなさい.
定理2の形で使うときは：a=4, b=3・・・(答)
定理1の形で使うときは： $(a-4)+(3-b)\sqrt{2}=0$ よりa−4=0, 3−b=0
ゆえにa=4, b=3・・・(答)

このように，定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.

定理1と定理2のような特別＝一般の関係は，恒等式の係数比較などでも見られます.

定理1 「ax+b=0がxの恒等式　←→　a=b=0」
定理2 「ax+b=cx+dがxの恒等式 ←→ a=c, b=d」

《問題》---定理の使い方の練習
1
　a, bが有理数で，
$(1-2\sqrt{2})(a-4\sqrt{2})=b-10\sqrt{2}$ のとき， $a=$ ，　 $b=$

ａ-２ａ√2-4√2+16＝ｂ-10√2
ａ+16-(２ａ＋４)√2＝ｂ-10√2
と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから
ａ+16＝ｂ，2ａ+4＝10

a=3, b=19

2
　a, bが有理数で，
$(3-\sqrt{2})a+ (2+ 3\sqrt{2})b-1+ 4\sqrt{2}=0$ のとき， a=，　b=

(３ａ＋２ｂ－１)+(－ａ＋３ｂ＋４)√2＝0
と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから
３ａ＋２ｂ－１＝0，－ａ＋３ｂ＋４＝0

a=1, b=−1

3
　a, bが有理数で， $\frac{-9+ 7\sqrt{5}}{a+ b\sqrt{5}}=3-\sqrt{5}$ 　のとき，

a=，　b=

分母を払うと
３ａ－ａ√5+３ｂ√5-5ｂ＝-9+7√5
ａ，ｂは有理数だから
3a-5b=-9，-ａ+3ｂ＝7

a=2, b=3
（別解）
$\frac{-9+ 7\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=a+ b\sqrt{5}$
のように変形して，左辺を単純に計算するだけで答えてもよい．
$\frac{-9+ 7\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{(-9+ 7\sqrt{5})(3+ \sqrt{5})}{9-5}=\frac{8+ 12\sqrt{5}}{4}$
$=2+ 3\sqrt{5}$ より
a=2, b=3

《問題》---背理法による証明の練習
⇒［背理法の基本］を見ておく

1
　以下の問に答えよ.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい．

　有理数ｐ，ｑ，ｒについて，ｐ＋ｑ√2+ｒ√3＝0ならば，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0であることを示せ.

（「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）

（答案例を見る）

ｐ＋ｑ√2＝-ｒ√3　と変形
両辺を2乗すると，ｐ²+2ｐｑ√2+2ｑ²＝3ｒ²

ここでｐｑ≠0と仮定すると
√2＝（3ｒ²-ｐ²-2ｑ²）/2ｐｑ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｐｑ＝0がいえる.

ア)　ｐ＝0のとき，

ｑ√2+ｒ√3＝0の両辺に√2をかけて
2ｑ+ｒ√6＝0
ここでｒ≠0と仮定すると√6＝-２ｑ/ｒ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｒ＝0がいえる.
このとき、ｑ√2＝0よりｑ＝0
以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0

イ)　ｑ＝0のとき，

ｐ＝-ｒ√3
ここでｒ≠0と仮定すると
√3＝-ｐ／ｒ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｒ＝0がいえる.
このとき、ｐ＝0√3＝0
以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0

ア）イ）いずれの場合も，
ｐ＝ｑ＝ｒ＝0が成り立つ.

2
　ａ，ｂを整数，ｕ，ｖを有理数とする.　ｕ＋ｖ√3　が
　ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解であるならば，ｕとｖは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい.

（「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）

（答案例を見る）

ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解は，だから
ａ^２－４ｂ＝3ｋ²（ａ，ｂ，ｋは整数）のとき，すなわち

・・・(1)のとき
ａもｋも2の倍数になることを示せばよい.

ａ^２－3ｋ²＝４ｂ（ａ，ｂ，ｋは整数）が成立するかどうかを調べる.
ア）ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎ＋１のとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²-3（4ｎ²+4ｎ+1）
＝4Ｎ-3となって成立しない.（Ｎは整数．以下同様）
イ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎのとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²）
＝4Ｎ＋1となって成立しない.
ウ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎ+1のとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²+4ｎ+1）
＝4Ｎ-2となって成立しない.

背理法により，ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎがいえる.
(1)によりｕ，ｖは整数となる.

3
　ａ，ｂ，ｃが有理数で，ａ√2+ｂ√3+ｃ√6＝0ならばａ＝ｂ＝ｃ＝０といえるかどうか調べなさい.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい.

（答案例を見る）

ａ√2+ｂ√3＝-ｃ√6の両辺を2乗すると
２ａ²＋３ｂ²＋２ａｂ√6＝6ｃ²

ここでａｂ≠0と仮定すると
√6=(6ｃ²-２ａ²-３ｂ²)/２ａｂ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえに，ａｂ＝０がいえる.

ア）ａ＝０のとき

ｂ√3＝-ｃ√6よりｂ＝-ｃ√2
ｃ≠0ならば√2＝-ｂ/ｃ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｃ＝0
このときｂ√3＝0だからｂ＝0
以上より，ｂ＝ｃ＝0

イ）ｂ＝0のとき

ａ√2＝-ｃ√6よりａ＝-ｃ√3
ｃ≠0ならば√3＝-ａ/ｃ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｃ＝0
このときａ√2＝0だからａ＝0
以上より，ａ＝ｃ＝0

ア）イ）いずれの場合も，
ａ＝ｂ＝ｃ＝0が成り立つ.

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理数の独立について／18.10.2］

余談の例の式 d√2→b√2ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．