《解説》
(定理1)
なお,この関係は
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(証明)
[←] [→] まず, 次に,
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(定理2)
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(証明)
[←] 明らか. [→] 定理1により, ゆえに, |
(余談):定理1は定理2において,c=d=0とすれば得られます.つまり,定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし,上に示したように,定理1から定理2が示されるので,定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには,どちらの形で使ってもかまいません.
例定理1と定理2のような特別=一般の関係は,恒等式の係数比較などでも見られます.
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背理法の基本を見ておく→ | |
1
以下の問に答えよ.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. (1) (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用) |
p+q√2=-r√3 と変形
両辺を2乗すると,p2+2pq√2+2q2=3r2 ここでpq≠0と仮定するとア) p=0のとき, q√2+r√3=0の両辺に√2をかけてイ) q=0のとき, p=-r√3ア)イ)いずれの場合も, p=q=r=0が成り立つ. |
2
a,bを整数,u,vを有理数とする. u+v√3 が x2+ax+b=0 の解であるならば,uとvは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい. (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
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x2+ax+b=0 の解は
![]() a2−4b=3k2(a,b,kは整数)のとき,すなわち ![]() aもkも2の倍数になることを示せばよい. a2−3k2=4b(a,b,kは整数)が成立するかどうかを調べる. ア)a=2m,k=2n+1のとき a2−3k2=4m2-3(4n2+4n+1) =4N-3となって成立しない.(Nは整数.以下同様) イ)a=2m+1,k=2nのとき a2−3k2=4m2+4m+1-3(4n2) =4N+1となって成立しない. ウ)a=2m+1,k=2n+1のとき a2−3k2=4m2+4m+1-3(4n2+4n+1) =4N-2となって成立しない. 背理法により,a=2m,k=2nがいえる. (1)によりu,vは整数となる. |
3
a,b,cが有理数で,a√2+b√3+c√6=0ならばa=b=c=0といえるかどうか調べなさい.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. |
a√2+b√3=-c√6の両辺を2乗すると
2a2+3b2+2ab√6=6c2 ここでab≠0と仮定するとア)a=0のとき b√3=-c√6よりb=-c√2イ)b=0のとき a√2=-c√6よりa=-c√3ア)イ)いずれの場合も, a=b=c=0が成り立つ. |
■[個別の頁からの質問に対する回答][無理数の独立について/18.10.2]
余談の例の式 d√2→b√2ですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました. |