■重複組合せ
≪要点≫
異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる組合せの総数は ○重複組合せの数を求めるには,上記の公式を使って組合せの数に直して計算します. ○重複組合せnHrにおいては,rがnよりも大きい場合もありえます.また,結果として得られる組の中では,n個のもののうち何度も使われている場合や1回も使われていない場合もあります.
【例1】
(解答)異なる2個のものから重複を許して3個取ってできる組合せの総数を求めよ.
【例2】
(解答)a+b+c=5 (a, b, c≧0)を満たす整数解(a, b, c)の組は何通りありますか. 異なる3つのものa, b, cから名前を重複を許して5個取って来る組合せの総数と考えればよいから
【例3】
(解答)a+b+c=10を満たす整数解(a, b, c)の組のうちで,a≧1, b≧2, c≧3となるものは何通りありますか. 10個の玉を分ける問題と考えて,はじめからaには1個,bには2個,cには3個入れておく. a'=a−1,b'=b−2,c'=c−3とおくと a'+b'+c'=4 (a', b', c'≧0)を満たす整数解(a', b', c')の組を求めるとよい.
(a−1)+(b−2)+(c−3)=4 (a−1, b−2, c−3≧0)を解くということと同じ
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■重複組合せ(文章題) 《問題》
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
≪1≫
解説10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,1個ももらえない子供があってもよいものとします.
異なる3個のものから重複を許して10個取って来る組合せになります(3人の名前を,重複を許して10回呼ぶ方法と同じです)
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≪2≫
解説10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,どの子供も少なくとも1個はもらえるものとします.
はじめに1個ずつ配っておき,残り7個を分けます
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解説
x, y, zの3人が10個のボールを分ける方法と同じです.
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解説
X=x−1, Y=y−1, Z=z−1とおくと,
X+Y+Z=7 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります。上記≪2≫の問題と同じ。 |
≪5≫
解説x+y+z=10 (x≧1, y≧0, z≧−2)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか.
X=x−1, Y=y, Z=z+2とおくと,
X+Y+Z=11 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります |
解説 5個のものx, y, z, p, qのうちから重複を許して4回名前を呼ぶこととなります. (x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q) ↓↓↓↓ xxyp たとえば,このようにしてできるx2ypなどの項が何種類あるかということ |
解説
4個のものx, y, z, pのうちから重複を許して5回名前を呼ぶこととなります.
(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p) ↓↓↓↓↓ xyzzz たとえば,このようにしてできるxyz3などの項が何種類あるかということ 4個のものx, y, z, pのうちから重複を許して5回名前を呼ぶこととなります. |
≪8≫
解説4桁の電話番号で千,百,十,一の位の数を各々a, b, c, dとするとき,0123, 1223, 2333のように,a≦b≦c≦dの条件を満たすものは何通りありますか.
並べ替えのできるもの⇒順列
並べ替えのできないもの⇒組合せ です.この問題ではa≦b≦c≦dのように大小の順が決められていて,並べ替えができないので,4個の数字を選べば小さい方から順にa≦b≦c≦dが決まります. 10個の数字から,重複を許して4個選ぶ方法は ※なお,例に示したように4桁の電話番号では最高位の数が0ということもあります. |
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