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■重複組合せ
≪要点≫
 異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる組合せの総数は


○重複組合せの数を求めるには,上記の公式を使って組合せの数に直して計算します.
○重複組合せnHrにおいては,rnよりも大きい場合もありえます.また,結果として得られる組の中では,n個のもののうち何度も使われている場合や1回も使われていない場合もあります.
【例1】
 異なる2個のものから重複を許して3個取ってできる組合せの総数を求めよ.
(解答)


【例2】
 a+b+c=5 (a, b, c≧0)を満たす整数解(a, b, c)の組は何通りありますか.
(解答)
 異なる3つのものa, b, cから名前を重複を許して5個取って来る組合せの総数と考えればよいから


【例3】
 a+b+c=10を満たす整数解(a, b, c)の組のうちで,a≧1, b≧2, c≧3となるものは何通りありますか.
(解答)
 10個の玉を分ける問題と考えて,はじめからaには1個,bには2個,cには3個入れておく.
 a'=a−1b'=b−2c'=c−3とおくと
 a'+b'+c'=4 (a', b', c'≧0)を満たす整数解(a', b', c')の組を求めるとよい.
(a−1)+(b−2)+(c−3)=4 (a−1, b−2, c−3≧0)を解くということと同じ



■重複組合せ(文章題)
《問題》
≪1≫
 10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,1個ももらえない子供があってもよいものとします.



≪2≫
 10個の同質なボールを3人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし,どの子供も少なくとも1個はもらえるものとします.



≪3≫
x+y+z=10 (x, y, z≧0)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか.



≪4≫
x+y+z=10 (x, y, z≧1)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか.



≪5≫
x+y+z=10 (x≧1, y≧0, z≧−2)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか.





≪6≫
(x+y+z+p+q)4を展開して同類項をまとめたとき,異なる項は何通りありますか.



≪7≫
(x+y+z+p)5を展開して同類項をまとめたとき,異なる項は何通りありますか.



≪8≫
 4桁の電話番号で千,百,十,一の位の数を各々a, b, c, dとするとき,0123, 1223, 2333のように,a≦b≦c≦dの条件を満たすものは何通りありますか.




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