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【グラム・シュミットの直交化法】
 n個の1次独立なベクトルが与えられたとき,これらを用いてn個の正規直交ベクトルを作る次の方法をグラム・シュミットの直交化法という.
…(1)
とおく.このとき,が成り立つから,は単位ベクトルになる.
 次に,ベクトルとの内積


方向への射影の長さ(符号あり)を表しているから,

方向への射影ベクトルを表す.
 このとき

を作ると,に垂直なベクトルになる.


さらに
…(2)
とおくと,に垂直な単位ベクトルになる.
 同様にして

を作ると,にもにも垂直なベクトルになる.





さらに
…(3)
とおくと,にもにも垂直な単位ベクトルになる.
 この操作を繰り返して

…(n)
とおくと,に垂直な単位ベクトルになる.

【例題1】
 グラム・シュミットの直交化法を用いて,次のベクトルから正規直交系を作ってください.
(解答)
だから

とおく.
 次に,

ここで,だから





したがって
…(答)
(注意)
 1組の1次独立なベクトルから,グラム・シュミットの直交化法によって,正規直交系がただ1通りに決まる訳ではない.
 処理するベクトルの並べ方(順序)によって,結果として作られる正規直交系は変わる.
 例えば,上記の問題をの順に処理した場合には,
が得られる.
【問題1】
 グラム・シュミットの直交化法を用いて,次のベクトルから正規直交系を作ってください.
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※グラム・シュミットの直交化法により,n次元空間のn個の1次独立なベクトルからそのn次元空間全体を生成する正規直交系が得られるが,n次元空間においてm個(m<n)の1次独立なベクトルからは,m次元部分空間を生成する正規直交系が得られる.
【例題2】
 次のベクトルで生成される,R4の部分空間の正規直交基底を求めよ.
(b) (1, 2, 1, 0)と(1, 2, 3, 1)
(「ラング線形代数学(上)」芹沢正三訳/ちくま学芸文庫
P.223からの引用)
(解答)
 のとき,だから

 次に,のとき

とおくと,だから



ここで



【問題2】
 次のベクトルで生成される,R3の部分空間の正規直交基底を求めよ.
(b) (1, 1, −1)と(1, 0, 1)
(「ラング線形代数学(上)」芹沢正三訳/ちくま学芸文庫
P.222からの引用)
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【例題3】
 区間[0, 1]の上の連続実関数のなすベクトル空間を考える.このような2つの関数のスカラー積を,規則

で定義する.
およびである2つの関数およびで生成される関数の部分空間とする.の正規直交基底を求めよ.
(「ラング線形代数学(上)」芹沢正三訳/ちくま学芸文庫
P.223からの引用)
(解答)

であるから,

次に,とおくと

だから

ここで



であるから,

【問題3.1】
 区間[0, 1]の上の連続実関数のなすベクトル空間を考える.このような2つの関数のスカラー積を,規則

で定義する.
を3つの関数で生成される関数の部分空間とする.の正規直交基底を求めよ.
(「ラング線形代数学(上)」芹沢正三訳/ちくま学芸文庫
P.223からの引用)
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 関数の正規直交化においてスカラー積を定義する区間は,脇役や添え物ではない.上記の【問題3.1】と同じ関数を使っても,区間を変えると結果は全く別のものになる.
【問題3.2】
 区間[−1, 1]の上の連続実関数のなすベクトル空間を考える.このような2つの関数のスカラー積を,規則

で定義する.
を3つの関数で生成される関数の部分空間とする.の正規直交基底を求めよ.
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