不等式の解き方

== 不等式の解き方 ==

【要点】
1.　3x+2=x−4のような「方程式」を満たす解は，x=−3のようなxの特定の値です．
2.　これに対して，3x+2>x−4のような「不等式」を満たす解は，x>−3のようなxの値の範囲です．
3.　式の変形によって不等式を解くときに，移項などによって行う変形は方程式のときと同じように行うことができます．
4.　不等式の解き方で，方程式のときと違うのは，「最後の変形で負の数で両辺を割るとき」だけです．

【例1】
3x+2>x−4

（解答）
右辺のxを左辺へ，左辺の2を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
3x−x>−4−2
2x>−6
両辺をxの係数2で割ります（不等号＞の向きは変わりません）
x>−3…(答)

【例2】
x−3<4x+6

（解答）
右辺の4xを左辺へ，左辺の−3を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
x−4x<6+3
−3x<9

　初めに，両辺を負の数−3で割る計算をして，右辺の数字を決めます： $\frac{9}{-3}$
　次に，負の数で割っているから，不等号の向きを逆にします．

※以上2つの操作は完全に分けて行い，互いに影響されないようにします

両辺をxの係数−3で割ります（不等号＜の向きは変わります）
$x\gt\frac{9}{-3}$
x>−3…(答)

【例3】
4x−1≦−2x+2

（解答）
右辺の−2xを左辺へ，左辺の−1を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
4x+2x≦2+1
6x≦3
両辺をxの係数6で割ります（等号付き不等号は等号付きのままで，≦の向きは変わりません，）
$x\underline{\le}\frac{1}{2}$ …(答)

【例4】
−3x+4≧2x+2

（解答）
右辺の2xを左辺へ，左辺の4を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
−3x−2x≧2−4
−5x≧−2

　初めに，両辺を負の数−4で割る計算をして，右辺の数字を決めます： $\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$
　次に，負の数で割っているから，不等号の向きを逆にします．（等号は付いたままです．）

※以上2つの操作は完全に分けて行い，互いに影響されないようにします．

両辺をxの係数−5で割ります（等号付き不等号は等号付きのままで，≧の向きは変わります）
$x\underline{\le}\frac{2}{5}$ …(答)

　通常，中学生向けの問題は記述式ですが，ｗｅｂ画面上で入力方式にすると操作が煩わしくなり思考が中断しやすいので，ここでは選択式にしています
　選択式と言っても「あてもん」ではないので，計算用紙などを使って十分考えてから選んでください．暗算では無理です．

【問題１】　次の不等式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
4x−3<2x+5

解説やり直す

x<−4 x<4 x>−4 x>4

右辺の2xを左辺へ，左辺の−3を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
4x−2x<5+3
2x<8
両辺をxの係数2で割ります（不等号＜の向きは変わりません）
x<4…(答)

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(2)
−2x+5>x+8

解説やり直す

x<−1 x<1 x>−1 x>1

右辺のxを左辺へ，左辺の5を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
−2x−x>8−5
−3x>3

　初めに，両辺を負の数−3で割る計算をして，右辺の数字を決めます： $\frac{3}{-3}=-1$
　次に，負の数で割っているから，不等号の向きを逆にします．

※以上2つの操作は完全に分けて行い，互いに影響されないようにします．等号はありません．

両辺をxの係数−3で割ります（不等号>の向きは変わります）
x<−1…(答)

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(3)
2x+9≦6x−3

解説やり直す

x>3 x≧3 x<3 x≦3

右辺の6xを左辺へ，左辺の9を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
2x−6x≦−3−9
−4x≦−12

　初めに，両辺を負の数−4で割る計算をして，右辺の数字を決めます： $\frac{-12}{-4}=3$
　次に，負の数で割っているから，不等号の向きを逆にします．（等号は付いたままです．）

※以上2つの操作は完全に分けて行い，互いに影響されないようにします．

両辺をxの係数−4で割ります（等号付き不等号は等号付きのままで，≧の向きは変わります）
x≧3…(答)

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(4)
5x+4≧2x−5

解説やり直す

x≦3 x≦−3 x≧3 x≧−3

右辺の2xを左辺へ，左辺の4を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
5x−2x≧−5−4
3x≧−9
両辺をxの係数3で割ります（等号付き不等号は等号付きのままで，≧の向きは変わりません，）
x≧−3…(答)

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【問題２】　次の不等式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$2(x+ 1)\gt 3(2x-1)$

解説やり直す

$x\gt-\frac{5}{4}$ $x\lt-\frac{5}{4}$ $x\gt\frac{5}{4}$ $x\lt\frac{5}{4}$

かっこをはずす
$2x+ 2\gt 6x-3$
右辺の6xを左辺へ，左辺の2を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
$2x-6x\gt -3-2$
$-4x\gt -5$
両辺をxの係数−4で割ります（不等号＞の向きは変わります）
$x\lt \frac{5}{4}$ …(答)

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(2)
$3(1-2x)\lt -(x+ 1)$

解説やり直す

$x\gt -\frac{4}{5}$ $x\lt -\frac{4}{5}$ $x\gt\frac{4}{5}$ $x\lt\frac{4}{5}$

かっこをはずす
$3-6x\lt -x-1$
右辺の−xを左辺へ，左辺の3を右辺へ，それぞれ符号を変えて移項します
$-6x+ x\lt -1-3$
$-5x\lt -4$
両辺をxの係数−5で割ります（不等号＜の向きは変わります）
$x\gt \frac{4}{5}$ …(答)

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(3)
$-\frac{2x-1}{3}+\frac{2(x-1)}{5}\underline{\ge}\frac{x-3}{6}$

解説やり直す

$x\underline{\le}1$ $x\underline{\le}-1$ $x\underline{\ge}1$ $x\underline{\ge}-1$

分母3,5,6の最小公倍数は30だから，両辺に30を掛けて分母を払う
$30\times (-\frac{2x-1}{3})+ 30\times \frac{2(x-1)}{5}\underline{\ge}30\times \frac{x-3}{6}$
$-10(2x-1)+ 12(x-1)\underline{\ge}5(x-3)$
かっこをはずす
$-20x+ 10+ 12x-12\underline{\ge}5x-15$
$-8x-2\underline{\ge}5x-15$
右辺の $5x$ を左辺に移項し，左辺の $-2$ を右辺に移項する
$-8x-5x\underline{\ge}-15+ 2$
$-13x\underline{\ge}-13$
両辺を−13で割る
$x\underline{\le}1$ …(答)

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(4)
$\frac{3-x}{2}-\frac{2(x+ 2)}{3}\underline{\le}\frac{2x+ 1}{6}$

解説やり直す

$x\underline{\ge}0$ $x\underline{\le}1$ $x\underline{\ge}2$ $x\underline{\le}3$

分母2,3,6の最小公倍数は6だから，両辺に6を掛けて分母を払う
$6\times \frac{3-x}{2}-6\times \frac{2(x+ 2)}{3}\underline{\le}6\times \frac{2x+ 1}{6}$
$3(3-x)-4(x+ 2)\underline{\le}2x+ 1$
かっこをはずす
$9-3x-4x-8\underline{\le}2x+ 1$
$-7x+ 1\underline{\le}2x+ 1$
右辺の $2x$ を左辺に移項し，左辺の $1$ を右辺に移項する
$-7x-2x\underline{\le}1-1$
$-9x\underline{\le}0$
両辺を−9で割る
$x\underline{\ge}0$ …(答)

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