← PC用は別頁

== 整数係数の方程式の作り方 ==

（準備）
【例】
　が１つの解となる「整数係数の」２次方程式を作りたいとき
▼この式の両辺を２乗してしまうと
となって，が残ります．
○が１つの解となる整数係数の２次方程式は次のように作ることができます．

(移項する)→
(両辺を２乗する)→
【要点】　　だけを右辺に残して２乗する．
【類題】
　が１つの解となる「整数係数の」２次方程式を作ってください
（解答）




…（答）
が1つの解となる２次方程式もになります．
これは，２次方程式の２つの解がになっていることに対応しています．


（式の値：複雑な無理数の代入）
【例】
のとき，の値を求めなさい
　この問題において，を直接代入すると，計算が大変で計算間違いも多くなります．
　このような問題においては，この頁の先頭の例で示したように，が０となることを利用して，式を簡単にしてから（次数を下げてから）代入する方法がよく利用されます．
（答案例）
ｘ＝２＋√3　のとき，ｘ２−４ｘ＋１＝０・・・(1)

ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３
＝（ｘ２−４ｘ＋１）（ｘ＋２）＋１０ｘ−１５・・・(2)だから
ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３
＝１０ｘ−１５
＝１０（２＋√3）−１５
＝５＋１０√3・・・(答)

（参考）
＜１次式＞　　＜定数＝０次式＞
ｘ　のかわりに　２＋√3　を代入すると，次数が１次下がります．
＜２次式＞　　＜定数＝０次式＞
ｘ２−４ｘ＋１　に　０　を代入すると，次数を一度に下げることができます．
　なお，ｘ２＝４ｘ−１　となるので，
＜２次式＞　　＜１次式＞
ｘ２　のかわりに　４ｘ−１　を代入すると，次数は１次だけ下がります．
ｘ＝２＋√3・・・(1)
ｘ２＝４ｘ−１・・・(2)　を繰り返し適用すると，何次式でも１次または定数まで下げることができます．
ｘ３＝ｘ・ｘ２＝ｘ（４ｘ−１）
＝４ｘ２−ｘ
＝４（４ｘ−１）−ｘ＝１５ｘ−４

ｘ４＝ｘ・ｘ３＝ｘ（１５ｘ−４）
＝１５ｘ２−４ｘ
＝１５（４ｘ−１）−４ｘ
＝５６ｘ−１５

ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３
＝（１５ｘ−４）−２（４ｘ−１）＋３ｘ−１３
＝１０ｘ−１５
　上記の答案では，少しずつ次数を下げる代わりに，「まとめて」下げていることになります．


（よくある質問）
ｘ２−４ｘ＋１＝０　なのに，ｘ２−４ｘ＋１　で割るのは０で割ることにならないのか？

（回答）

の割り算は，ｘ２−４ｘ＋１が０以外のときに成り立ちますが
ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３
＝（ｘ２−４ｘ＋１）（ｘ＋２）＋１０ｘ−１５
は，ｘ＝２＋√3　のときも含めて，すべてのｘについて成り立ちます．
　したがって，答案の本文では０を掛けていることとなり，答案にはまちがいはありません．
　なお，ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３＝１０ｘ−１５
となるのはｘ＝２＋√3，２−√3のときだけで，他のｘの値に対しては，この変形は成り立ちません．


【要点】

　複雑な無理数を，次数の高い式に代入するには

【例】
ｘ＝２＋√3　のとき，　ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３　の値を求めなさい．
（作業の手順）
(例)
(1)　√ｎだけを右辺に残す．　
　ｘ−２＝√3
(2)　２乗する．　
　ｘ２−４ｘ＋４＝３
(3)　＝０　の形の方程式にする．
　ｘ２−４ｘ＋１＝０
(4)　求める式を，方程式の左辺で割る．
(5)　商と余りの関係に直す．
ｘ３−２ｘ２＋３ｘ−１３
＝（ｘ２−４ｘ＋１）（ｘ＋２）＋１０ｘ−１５
＝１０ｘ−１５
（なぜなら，ｘ２−４ｘ＋１＝０）
(6)　ｘの値は，余りに代入する．
（次数を下げてから代入するところがポイント）
１０ｘ−１５
＝１０（２＋√3）−１５
＝５＋１０√3
※　どうしても，単純に代入する方に魅力を感じる人へ：
以上に紹介した方法は，単に計算を楽にするだけのものでなく，この方法により「様々な問題に対する応用の道が開けてくる」と考えてください．

《問題》
１
ｘ＝2+√5のとき，ｘ3−4ｘ2-ｘ+3の値はとなる.
2
　ｘ＝１−√5のとき，ｘ4-5ｘ2-14ｘ+3の値はとなる.
3
　のとき，ｘ３−２ｘ+３の値はとなる．
4　（正しいものを選んでください）
　ｘ＝５−√7のとき，ｘ３−８ｘ２＋ｘ＋３５の値は
　ｘ-3　ｘ+3　3ｘ-1　3ｘ+1　の値に等しい.

ヒント
5
　ｘ２−ｘ＝１のとき，ｘ３−２ｘの値はとなる．

...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る