■まえがき
例 x=2+√3 が1つの解となる2次方程式を作るとき,この式の両辺を2乗してしまうと x2=4+4√3+3=7+4√3となって,√3が残ります. |
(参考)
x2=7+4√3 の解は,x=−2−√3,2+√3です. |
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x=2+√3 が1つの解となる整数係数の2次方程式は次のように作ることができます.
x=2+√3 (移項)→ x−2=√3 (両辺を2乗する)→x2−4x+4=3 |
(参考)
x2−4x+1=0 の解は,x=2−√3,2+√3です. |
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【要点】 √n だけを右辺に残して2乗する. | (参考)
x2=(m+√n)2=m2+2m√n+n では√が残ります. |
■本題
例 「x=2+√3 のとき, x3−2x2+3x−13 の値を求めなさい」というような問題において,xに 2+√3 を直接代入すると,計算が大変で計算間違いも多くなります. このような問題においては,x2−4x+1 が 0 となることを利用して,式を簡単にしてから(次数を下げてから)代入するのが普通です. (答案例) x=2+√3 のとき,x2−4x+1=0・・・(1) ![]() |
(参考)
<1次式> <定数=0次式> |
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x3−2x2+3x−13
=(x2−4x+1)(x+2)+10x−15・・・(2)だから x3−2x2+3x−13 =10x−15 =10(2+√3)−15 =5+10√3・・・(答) (よくある質問) x2−4x+1=0 なのに,x2−4x+1 で割るのは0で割ることにならないのか? (回答)
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(参考)
x=2+√3・・・(1) |
【要点】
複雑な無理数を,次数の高い式に代入するには |
例
x=2+√3 のとき, x3−2x2+3x−13 の値を求めなさい. |
(1) √nだけを右辺に残す. | (1) x−2=√3 |
(2) 2乗する. | (2) x2−4x+4=3 |
(3) =0 の形の方程式にする. | (3) x2−4x+1=0 |
(4) 求める式を,方程式の左辺で割る. | (4)
![]() |
(5) 商と余りの関係に直す. | (5)
x3−2x2+3x−13 =(x2−4x+1)(x+2)+10x−15 =10x−15 (なぜなら,x2−4x+1=0) |
(6) xの値は,余りに代入する.
(次数を下げてから代入するところがポイント) |
(6)
10x−15=10(2+√3)−15=5+10√3 |
※ どうしても,単純に代入する方に魅力を感じる人へ:
以上に紹介した方法は,単に計算を楽にするだけのものでなく,この方法により「様々な問題に対する応用の道が開けてくる」と考えてください. |