余弦定理の２次方程式

■余弦定理の２次方程式

《解説》
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　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\rightarrow \sin B=\frac{b\sin A}{a}$

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　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.

a, b, Aが与えられているとき，
余弦定理　a2=b2+c2−2bc cos A
を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.
⇒　c2−(2b cos A)c+(b2−a2)=0

【例】
$a=2, b=\sqrt{6}, A=45^\circ$ のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)　
　角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
a2=b2+c2−2bc cos A
$4=6+ c^2-2\sqrt{6}\times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^2-2\sqrt{3}c + 2=0$
解の公式から　 $c=\sqrt{3}\pm 1$ ・・・(答)

※２次方程式の解は，通常２個あります．
２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
　もし，２次方程式の解が $c=1\pm \sqrt{3}$ となった場合には，
$c=1+ \sqrt{3}$ だけが答です.（ $c=1- \sqrt{3}(\lt 0)$ では三角形はできないからです.）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ $a=7,b=5,A=60^\circ$ のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times \frac{1}{2}$ $c^2-5c-24=0$ $(c-8)(c+ 3)=0$ $c=8, -3$ $c\gt 0$ により $c=8$
２ $a=7,b=5,A=120^\circ$ のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入 $49=25+ c^2-2\times 5\times c\times (-\frac{1}{2})$ $c^2+ 5c-24=0$ $(c+ 8)(c- 3)=0$ $c=-8, 3$ $c\gt 0$ により $c=3$
３ $c=\sqrt{31},a=5,C=60^\circ$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$ 上記以外
$c^2=a^2+ b^2-2ab\cos C$ に代入 $31=25+ b^2-2\times 5\times b\times \frac{1}{2}$ $b^2-5b-6=0$ $(b-6)(b+ 1)=0$ $b=6,-1$ $b\gt 0$ により $b=6$
４ $a=\sqrt{2},c=\sqrt{6},A=30^\circ$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$ 上記以外
$a^2=b^2+ c^2-2bc\cos A$ に代入 $2=b^2 + 6-2\times b\times \sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^2-3\sqrt{2}b+ 4=0$ $(b-2\sqrt{2})(b-\sqrt{2})=0$ （解の公式で解いてもよい） $b=\sqrt{2},2\sqrt{2}$ （答は２つある）
５ $b=\sqrt{7},c=4,B=30^\circ$ のとき辺aの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}\pm 1$ ， $\sqrt{3}\pm 1$ 上記以外
$b^2=c^2+ a^2-2ca\cos B$ に代入 $7=16 + a^2-2\times 4\times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^2-4\sqrt{3}a+ 9=0$ $(a-3\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0$ （解の公式で解いてもよい） $a=\sqrt{3},3\sqrt{3}$ （答は２つある）

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