行列の計算(まとめ１)

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※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== 行列の計算 ==(まとめ)
【まとめ】

[行列の相等]・・・２つの行列が同じ型であって，かつ，対応する成分がそれぞれ等しいとき，これらの行列は等しいという。

【例】
２×２行列の相等

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$
は，次の４つの方程式からなる連立方程式と同値

$a_{11}=b_{11}$
$a_{12}=b_{12}$
$a_{21}=b_{21}$
$a_{22}=b_{22}$

[行列の和]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の和を成分とする行列をそれらの行列の和という。

【例】
２×２行列の和

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a_{11}+ b_{11} & a_{12}+ b_{12} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} \end{pmatrix}$

[行列の差]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の差を成分とする行列をそれらの行列の差という。

【例】
２×２行列の差

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a_{11}- b_{11} & a_{12}- b_{12} \\ a_{21}- b_{21} & a_{22}- b_{22}\end{pmatrix}$

[行列の実数倍]・・・各成分に同じ値を掛けたもの。

【例】
２×２行列の実数倍

$k\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}$

[行列の積]・・・
　型：L×M行列とM×N行列の積はL×N行列になる。
　成分：p 行と q列の内積がpq 成分になる。

【例】
２×２行列と２×２行列との積

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} a_{11} b_{11}+ a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+ a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$

■　問題　次の空欄を埋めなさい。

(1)

採点するやり直す解説

(2,2)成分は−4+8=4になります

(2)
採点するやり直す解説

(1,2)成分は $(1+ \sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2$ になります

(3)
採点するやり直す解説

(2,2)成分は8−(−4)=12になります

(4)
採点するやり直す解説

(1,1)成分は $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ になります

(5)
採点するやり直す解説

$3\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$ になります

(6)
採点するやり直す解説

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -2 \\ 2 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$ になります

(7)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}$ になります

(8)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ になります

(9)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -6 & 7 \end{pmatrix}$ になります

(10)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \end{pmatrix}$ になります

(11)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ になります

(12)
採点するやり直す解説

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$ になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.5.23］

感で解けます（ヒラキ）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．勘ぐるの勘の方がこの文脈で使う漢字としてはいい感じです．ヒラキとは？人名？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.3.25］

今春から大学生になりますが、高校3年間ちょくちょくわからない場面で使わせていただきました。本当に助かりました。大学の予習にもぼちぼち使わせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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