→ 携帯用は別頁
== 背理法の入試問題 ==

イラストによる背理法の説明(1)

 で世界の全部です. これ以外にはありません
条件に対応する集合をで表すとき,(全体集合)になります.
 このとき,を証明したいが,からを直接証明するのが困難なとき,
行きたくない方の道に進んでみて,そちらに進めば世界が破滅してしまう(矛盾がある)ことを言う.この論法が背理法です.
(おとぎばなしによる解説)
地獄に行って,地獄を壊してしまうと天国だけが残ります・・・地獄に行かないと天国には行けません.
#〜地獄を見たものにしか,天国なんて分かるはずはないのだ,クソ−負けてたまるか〜#
と自分に言い聞かせると覚えやすい
(実際の手順)
を仮定して矛盾を示す.(も仮定することを忘れないように)

かつ
という形でが矛盾するという構造でもよい.
→(数学的常識に反すること:1+1=1など)

かつ
という構造でもよい.

イラストによる背理法の説明(2)
とは
P:卵の黄身が
Q:卵の白身の
中にあることだと思えばよい
 論理的な関係pならばq)は,集合ではに対応します.
 言い換えれば,集合の関係としてとなっていることを示せば,の証明になります.
 この証明は,集合P, Qの関係が一般のゆるい関係,すなわちP独自の部分,Q独自の部分,P, Qの共通部分から成り立っているのではなく,
が空集合になることを言えばよい.(右図の×印の部分が空集合になることを言う).
 そうすると「P:卵の黄身」は「Q:卵の白身」の中にある部分だけから成り立っていることになり,が言える.
 が空集合になること(左図の×の部分には何もないこと)を示すには
Pであって」かつ「である」ものが存在すると仮定すると,矛盾を生じることを示せばよい.
すなわち
 何かある要素xが,かつを満たすとすると具合の悪いことが起こることを示せばよい.

【要約】<背理法とは>
を仮定して矛盾を示し,これによりを証明する方法
も仮定することが重要.この点が対偶証明法と異なり,結論としてが導ける場合に限られず,他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので,自由度が大きい.

【例題1】
 は無理数であることを示せ.
(解答)
が有理数であると仮定して矛盾を示す.
m, nは整数で互いに素)…(1)
と仮定すると

…(2)
(2)において,左辺は2の倍数
もしも,nが奇数なら,n2は奇数となって,等式が成り立たないから,nは偶数でなければならない
n=2kkは整数)…(3)
とおくと,(2)より
2m2=4k2
m2=2k2…(4)
(4)において,右辺は2の倍数
もしも,mが奇数なら,m2は奇数となって,等式が成り立たないから,mは偶数でなければならない
m=2llは整数)…(5)
とおくと,(3)と(5)はm, nは整数で互いに素という仮定に反するから矛盾.
よって,が有理数であるという仮定は間違いであることが示されたから,は無理数…(証明終)
 この証明の流れは,以下の問題において基本となるものなので,記憶に留めておくとよい.
 特に,(1)において一見些末(さまつ)な話に聞こえる「互いに素」という「勝手な,ついでの話のような仮定」が設定してあって,それと矛盾することが証明の鍵となっているのだから,高校生が読んだら初めは違和感を持つかもしれません.
 ただし,整数÷整数の分数で書けるものは,約分できるだけ約分して既約分数にしておけるはずだから,無理な仮定ではない.
※初めはしっくりしないかもしれませんが,「次に出てきたら,真似してやろう」と息を潜めて構えているとよい.

【問題1.1】
 は無理数であることを証明せよ.
(2012年京都大学入試問題)
参考答案を見る参考答案を隠す
【問題1.2】
素数に対して,は無理数であることを示せ.
(富山大医学部2016年入試問題)
参考答案を見る参考答案を隠す

【問題1.3】
が素数であるとき

は整数でないことを示せ.
参考答案を見る参考答案を隠す
【問題1.4】
が素数であるとき

は無理数であることを示せ.
参考答案を見る参考答案を隠す

【例題2】
が無理数であることを用いて,次のことを証明せよ.
を有理数とするとき,ならば,になる.
(解答)
のときにまたはであれば矛盾が生じることを示す.
のとき
 ならば
となるが,有理数の商は有理数であるから,有理数である右辺が無理数である左辺と等しいことになり,矛盾
よって,が成り立つ
を代入するとになる
以上により,が成り立つ

【問題2.1】
以下の問いに答えよ.ただし,が無理数であることは使ってよい.
(1) 有理数について,ならば,であることを示せ.
(1999年京都大学.前期入試問題)
参考答案を見る参考答案を隠す
【問題2.2】
正の整数について
(1) が既約分数ならば,も既約分数であることを示せ.
(2) が既約分数であるならば,も既約分数であることを示せ.
参考答案を見る参考答案を隠す

【問題2.3】
が正の整数であるとき,は無理数になることを示せ.
参考答案を見る参考答案を隠す
【問題2.4】
を1以上の整数とするとき,次の2つの命題はそれぞれ正しいか.正しいときは証明し,正しくないときはその理由を述べよ.
命題
あるに対して,は共に有理数である.

命題
すべてのに対して,は無理数である.

(2007年京都大学入試問題)
参考答案を見る参考答案を隠す
...(PC版)メニューに戻る