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== 空間における直線の方程式 ==
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1. 1点を通り方向ベクトルに平行な直線の方程式
 右図のような直線P1Pのことを
 「点P1を通り,方向ベクトルに平行な直線」という.
 「点P1を通り,方向ベクトルの直線」「点P1を通り,方向ベクトルをもつ直線」ということもある.
【空間における直線の方程式】
を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式の標準形は

【例題1】 次の直線の方程式を「ベクトル表示」「媒介変数表示」「標準形」で示してください.
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線
(解答)
直線上の任意の点の位置ベクトルをとするとき,ベクトル表示は

すなわち

tは任意の実数)
媒介変数表示は
x=2−t
y=−3+2t (tは任意の実数)
z=4+3t
標準形は

【問題1.1】 
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式を標準形で求めてください.
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【問題1.2】 
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式を標準形で求めてください.
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 直線の方程式の標準形

において,方向ベクトルのいずれかの成分が0であるときは,その分数の分子も0になるものと解釈する.
【例1】
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式 の標準形を上記の公式を用いて形式的に書けば
…(1)
となるが,この式の第2辺は「分母が0になっているから,分子も0になるものを表す」.すなわち,
…(2)

 高校では(1)の形の解答は許されず,(2)の形で書かなければならないが,大学では(1)の形でも良いとしていることが多い.(0で割る形が許されるのは,0÷0の形になる場合だけということが分かっていればよい)
【例2】
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式の標準形を上記の公式を用いて形式的に書けば
…(1)
となるが,この式の第2辺,第3辺は「分母が0になっているから,分子も0になるものを表す」.すなわち,
…(2)

(は任意)
 高校では(1)の形の解答は許されず,(2)の形で書かなければならないが,大学では(1)の形でもよいとすることがある.

tは任意の実数)
を分けて書くと



(は任意の実数だから,は任意の実数になる)

【問題1.3】 
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式を標準形で求めてください.
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【問題1.4】 
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式を標準形で求めてください.
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2. 1点を通り直線2に平行な直線1の方程式
【例題2】
 点を通り,直線に平行な直線の方程式を求めてください.
を通り,方向ベクトルに平行な直線の方程式を求めるとよい.
 元の直線が点を通るということは結果に影響しない.
(解答)
…(答)
【問題2.1】 
 点を通り,直線に平行な直線の方程式を求めてください.
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【問題2.2】 
 点を通り,直線に平行な直線の方程式を求めてください.
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3. 2点を通る直線の方程式
【2点を通る直線の方程式】
2点を通る直線の方程式の標準形は

(解説)
を通り方向ベクトルに平行な直線と考えればよいから
…(1)
(参考)
を通り方向ベクトルに平行な直線と考えれば
…(2)
となるが,これらは同じもの表わす.
 次の方程式も同じものを表す.
…(3)
(1)は



(2)は



と書けるから,とおけば対応が付く.
(3)は



と書けるから,とおけば対応が付く.
(1)(2)(3)のどの書き方でもよい.

【例題3】
 2点を通る直線の方程式を標準形で求めてください.
(解答)

…(答)
【問題3.1】 
 2点を通る直線の方程式を標準形で求めてください.
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【問題3.2】 
 2点を通る直線の方程式を標準形で求めてください.
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【問題3.3】 
 2点を通る直線の方程式を標準形で求めてください.
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4. 点と直線の距離
【例題4】
 点と直線の距離を求めてください.
(解答)
上の点の座標は



とおけるから,2点間の距離(の2乗)は,tの2次関数で表される.





は,t=−1のとき最小値をとる.
…(答)
(別解1)
となる点を求める.


だから,となるには



このとき

…(答)
(別解2)
2つのベクトルの外積はそれら2つに垂直な向きのベクトルになり,その大きさはベクトルでできる平行四辺形の面積に等しい.

また,ベクトルでできる平行四辺形の面積は,と平行四辺形の高さとの積に等しいから

以上により
(公式として覚える場合もある)
だから


【問題4.1】 
 原点と直線の距離を求めてください.
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【問題4.2】 
 点と直線の距離を求めてください.
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5. 平行な2直線間の距離
【例題5】
 平行な2直線間の距離を求めてください.
(解答)
いずれか一方の直線上の点,例えば直線
上の点と他方の直線の間の距離を測ればよい.
だから

…(答)
【問題5.1】 
 平行な2直線間の距離を求めてください.
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【問題5.2】 
 平行な2直線間の距離を求めてください.
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【問題5.3】 
平行な2直線と間の距離を求めてください.
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6. ねじれの位置にある2直線間の距離
【例題6】
 点を通り,方向ベクトルに平行な直線と点を通り,方向ベクトルに平行な直線が「ねじれの位置」にあるとき,これら2直線の共通垂線の長さは

で求められる.
(解説)
 2つのベクトルの外積に垂直だから,ベクトルを平行6面体に沿って3つの成分に分けると

の形に書ける.ここで,に垂直だから

 求める共通垂線の長さはだから


【問題6.1】
 ねじれの位置にある2直線との距離を求めてください.
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【問題6.2】
ねじれの位置にある2直線との距離を求めてください.
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7. 直線の方向余弦
 直線の方向ベクトルを単位ベクトル(大きさが1)で定めたときその成分を方向余弦という.
 右図のように直線とx,y,z軸の正の向きがなす角を各々α, β, γとするとき,方向余弦はcosα, cosβ, cosγに等しい.
(備考)
(1) 方向ベクトルをその大きさで割ると単位ベクトルになるが,向きとしては,ある向きとその逆向きの2通りが考えられる.だから,単に「方向余弦を求めよ」と問われた場合には,複号で答えることになる.
(2) 単位ベクトルの成分を並べたものを方向余弦と呼ぶことが多い.単位ベクトルの成分表示そのものではない.
【例】
直線の方向余弦を求めよ.
(解答)
 直線の方向ベクトルはだから

 方向余弦はおよび
(複号同順)…(答)
 まれに,(複号同順)の形の単位ベクトルを方向余弦とする書物もあるが,通常は,単位ベクトルの成分を並べただけのものを方向余弦とする.


【例題7】
 次の直線の方向余弦を求めてください.

(解答)
 直線の方向ベクトルはだから

(複号同順)…(答)
【問題7.1】
 次の直線の方向余弦を求めてください.

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8. 2直線のなす角
 2直線のなす角は,2直線の方向ベクトルのなす角で定義される.ねじれの位置にある場合でも2直線のなす角を考えます.
【例題8】
(1) 次の2直線のなす角を求めてください.


(2) 次の2直線のなす角をθとするとき,cosθの値を求めてください.


(解答)
(1) 2直線の方向ベクトルを,それらがなす角をとおくと



…(答)
(2)  2直線の方向ベクトルを,それらがなす角をとおくと


…(答)

【問題8.1】
(1) 次の2直線のなす角を求めてください.


(2) 次の2直線のなす角をθとするとき,cosθの値を求めてください.


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