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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 二次関数の最大最小,共有点の個数

【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　２次関数
y=6x2+11x−10 ……①
について考える．
　①において，y≦0となるxの値の範囲は
.アイウnnnn≦x≦.エオnnn
である．
　①のグラフをx軸方向にa，y軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする．Gが原点(0, 0)を通るとき， b=カキa2+クケa+コサ
であり，このときGを表す２次関数は y=シx2−(スセa−ソタ)x ……②
である．
　x=−2とx=3に対応する２次関数②の値が等しくなるのは a=.チツテトnnnn
のときである．このとき，２次関数②の−2≦x≦3における
最小値は.ナニヌnnnn，最大値はネノ
である．

【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　aを定数とし，xの２次関数
y=x2−2(a−1)x+2a2−8a+4 ……①
のグラフをGとする．

(1) グラフGが表す放物線の頂点の座標は
(a−ア , a2−イa+ウ )
である．グラフGがx軸と異なる２点で交わるのは
エ−.√オ√nnni<a<エ+.√オ√nnni
のときである．さらに，この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるのは
カ−.√キ√nnni<a<ク−.√ケ√nnni
のときである．

(2) グラフGが表す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする．
　このとき，aの値の範囲は
コ≦a≦サ
であり，２次関数①の3≦x≦7における最大値Mは
コ≦a≦シのとき
M=スa2−セソa+タチ
シ≦a≦サのとき
M=ツa2−テトa+ナニ
である．
　したがって，２次関数①の3≦x≦7における最小値が6であるならば
a=ヌ+ネ.√ノ√nnni
であり，最大値Mは
M=ハヒ−フ.√ヘ√nnni
である．

【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　a, bを定数とし，a≠0とする．２次関数
y=ax2−bx−a+b ……①
のグラフが点(−2, 6)を通るとする．
このとき，
b=−a+ア
であり，グラフの頂点の座標をaを用いて表すと
(.−a+イウannnnnnn , .−(エa−オ)2カannnnnnnnnnn )
である．

　さらに，２次関数①のグラフの頂点のy座標が−2であるとする．
このとき，aは
キa2−クケa+コ=0
を満たす．これより，aの値は
a=サ , .シスnnn
である．
　以下，a=.シスnnnであるとする．
このとき，２次関数①のグラフの頂点のx座標はセであり，①のグラフとx軸との２交点のx座標はソ，タである．
ただし，ソとタは解答の順序を問わない．
　また，関数①は0≦x≦9において
x=チのとき，最小値ツテをとり
x=トのとき，最大値.ナニヌnnnnnをとる．

【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　aを定数とし，xの２次関数
y=2x2−4(a+1)x+10a+1 ……①
のグラフをGとする．
　グラフGの頂点の座標をaを用いて表すと
(a+ア , イウa2+エa−オ )
である．

(1) グラフGがx軸と接するのは a=.カ±.√キ√nnniクnnnnnnnnn
のときである．

(2) 関数①の−1≦x≦3における最小値をmとする．
m=イウa2+エa−オ
となるのは，
ケコ≦a≦サ
のときである．また
a<ケコのとき m=シスa+セ
サ<aのとき m=ソタa+チ
である．
　したがって，m=.79nとなるのは
a=.ツテnnn , .トナニnnnn
のときである．

【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　a, bを実数とし，xの２次関数
y=3x2−2x−1 ……①
y=x2+2ax+b ……②
のグラフをG1 , G2とする．
　以下では，G2の頂点はG1上にあるとする．
　このとき，
b=アa2+イa−ウ
であり，G2の頂点の座標をaを用いて表すと，

(−a , エa2+2a−オ)
となる．

(1) G2の頂点のy座標は，a=.カキクnnnnnのとき，最小値 .ケコサnnnnnをとる． a=.カキクnnnnnのとき，G2の軸は直線x=.シスnnnであり， G2とx軸との交点のx座標は .セ±ソ.√タ√nnniチnnnnnnnnnnnn である．

(2) G2が点(0, 5)を通るとき，a=ツ，.テトナnnnnである．

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　a, b, cを定数とし，a≠0, b≠0とする．xの２次関数
y=ax2+bx+c ……①
のグラフをGとする．Gがy=−3x2+12bxのグラフと同じ軸をもつとき
a=.アイウnnnnn ……②
となる．さらに，Gが点(1 , 2b−1)を通るとき c=b−.エオnnn ……③
が成り立つ．
　以下，②③のとき，２次関数①とそのグラフGを考える．

(1) Gがx軸と異なる２点で交わるようなbの値の範囲は b<.カキクnnnnn, _.ケコnnn<b
である．さらに，Gとx軸の正の部分がと異なる２点で交わるようなbの値の範囲は
.サシnnn <b< .スセnnn
である．

(2) b>0とする．
　　0≦x≦bにおける２次関数①の最小値が−.14nであるとき
b=.ソタnnn
である．一方，x≧bにおける２次関数①の最大値が3であるとき，

b=.チツnnnである．
b=.ソタnnn , .チツnnnのときの①のグラフをそれぞれG1 , G2とする．

　G1をx軸方向にテ，y軸方向にトだけ平行移動すればG2と一致する．

【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第２問】
　a, bを定数として２次関数
y=−x2+(2a+4)x+b ……①
について考える．関数①のグラフGの頂点の座標は
(a+ア , a2+イa+b+ウ )
である．以下，この頂点が直線y=−4x−1上にあるとする．このとき b=−a2−エa−オカ
である．

(1) グラフGがx軸と異なる２点で交わるようなaの値の範囲は a<.キクケnnnnn
である．また，Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
−コ−.√サ√nnni<a<−コ+.√サ√nnni
である．

(2) 関数①の0≦x≦4における最小値が−22となるのは a=シスまたはa=セ

二次関数の2012年のセンター試験問題のキクケの答えの符号、逆ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検しましたが間違いはありませんでした．