2次関数ののグラフと直線

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== 2次関数のグラフと直線（文字係数） ==※このページは，2次不等式を学んでからすること

採点結果の
絵の意味

正解

，不正解

※解答入力は「半角数字」でなければなりません
1
　放物線 $y=x^2+ kx+ 3$ と直線 $y=x+ 1$ のグラフが接するとき定数 $k$ の値は $k=$

$x^2+ kx+ 3=x+ 1$
すなわち
$x^2+ (k-1)x+ 2=0$
について
$D=b^2-4ac$
$(k-1)^2-8$
$k^2-2k-7=0$
を解きます

この2次方程式の左辺は，因数分解できないので，解の公式を使います．
$k=1\pm 2\sqrt{2}$

2
　放物線 $y=x^2-2kx-k+ 2$ が $x$ 軸と相異なる２点で交わるような定数 $k$ の値の範囲は， $k$ ＜［ア］， $k$ ＞［イ］

$x^2-2kx-k+ 2=0$
について
$b\apos ^2-ac$
$=k^2-(-k+ 2)$
$=k^2+ k-2\gt 0$
を解きます

$(k+ 2)(k-1)\gt 0$ より
$k\lt -2,\hspace{3}1\lt k$

3
　放物線 $y=2x^2+ 3$ が直線 $y=4x+ k$ と共有点を持たないような定数 $k$ の値の範囲は， $k$ ＜［ア］

$2x^2+ 3=4x+ k$
すなわち
$2x^2-4x+(-k+ 3)=0$
$D\apos=b\apos^2-ac$
$=4-2(-k+ 3)\lt 0$
を解きます

$4+ 2k-6\lt 0$ より
$k\lt 1$

４
　放物線 $y=x^2+ kx+ k(k+ 1)$ と $x$ 軸が接するとき定数 $k$ の値は
$k=$

$x^2+ kx+ k(k+ 1)=0$
$D=b^2-4ac$
$=k^2-4k(k+ 1)=0$
を解きます

$-3k^2-4k=0$
$3k^2+ 4k=0$
$k(3k+ 4)=0$
より
$k=0,\hspace{3}-\frac{4}{3}$

５
　放物線 $y=x^2+ 2x+ k$ が直線 $y=x+ 1$ と相異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲は

$x^2+ x+ k-1=0$ について
$b^2-4ac$
$=1-4(k-1)\gt 0$
を解きます

$1-4k+ 4\gt 0$
$4k\lt 5$
より
$k\lt \frac{5}{4}$

６
　放物線 $y=2x^2+ 4(k+ 1)x+ 2k^2+ 5k-1$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲は $k$ ≦［ア］

$D=b^2-4ac=0$ ←→共有点1個
$D=b^2-4ac\gt 0$ ←→共有点2個
をまとめると
$D=b^2-4ac\underline{\ge}0$ ←→共有点を持つ

$D\apos=2^2(k+ 1)^2-2(2k^2+ 5k-1)\underline{\ge}0$
$4k^2+ 8k+ 4-4k^2-10k+ 2\underline{\ge}0$
$2k\underline{\le}6$
より
$k\underline{\le}3$

７
　 $x^2+ 2kx+ 3k$ が実数 $x$ のどのような値に対しても，つねに $2$ より大きくなるような定数 $k$ の値の範囲は，
［ア］＜ $k$ ＜［イ］

つねに $x^2+ 2kx+ 3k\gt 2$
←→つねに $x^2+ 2kx+ (3k-2)\gt 0$
←→ $y=x^2+ 2kx+ (3k-2)$ が $x$ 軸と共有点を持たない
←→ $D\apos=b\apos^2-ac=k^2-(3k-2)\lt 0$

$D\apos=k^2-(3k-2)\lt 0$
$(k-1)(k-2)\lt 0$
$1\lt k\lt 2$

８
　放物線 $y=x^2-kx+ k-1$ がどんな $x$ の値に対しても直線 $y=x-2$ の上側にあるような定数 $k$ の値の範囲は，［ア］＜ $k$ ＜［イ］

つねに $x^2-kx+ k-1\gt x-2$
←→つねに $x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)\gt 0$

←→ $y=x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)$ が $x$ 軸と共有点を持たない
←→ $D=b^2-4ac$
$(k+ 1)^2-4(k+ 1)\lt 0$

$(k+ 1)(k-3)\lt 0$
$-1\lt k\lt 3$

９
　どんな $x$ の値についても，つねに $kx^2-2kx\gt x^2-2k$ となるような定数 $k$ の値の範囲は， $k$ ＞［ア］

つねに $(k-1)x^2-2kx+ 2k\gt 0$
←→ $k-1\gt 0$ かつ $D\lt 0$ …(1)
または $k-1=0$ かつ $-2k=0$ かつ $-2k\gt 0$ …(2)
(2)は解なし

$D\apos\lt 0$ より
$k^2-2k(k-1)\lt 0$
$k\2-2k\gt 0$
$k\lt 0,\hspace{3}k\gt 2$
$k\gt 1$ だから $k\gt 2$

10
不等式 $kx^2+ 2kx+ 2k-6\gt 0$ も $kx^2+ 2kx+ 2k-6\lt 0$ も解を持つような定数 $k$ の値の範囲は，［ア］＜ $k$ ＜［イ］

正負になる←→ $x$ 軸と交わる
←→ $k\ne 0$ かつ $D\apos\gt 0$ …(1)
または
$k=0$ かつ $2k\ne 0$ …(2)
(2)は解なし

(1)より $k\ne 0$ かつ $k^2-k(2k-6)\gt 0$
$-k^2+ 6k\gt 0$ より
$k^2-6k\lt 0$
$k(k-6)\lt 0$
$0\lt k\lt 6$
これは $k\ne 0$ を満たすから $0\lt k\lt 6$

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