2次関数ののグラフと直線

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== 2次関数のグラフと直線（文字係数） ==※このページは，2次不等式を学んでからすること

採点結果の
絵の意味

正解

，不正解

※解答入力は「半角数字」でなければなりません
1
　放物線 $y=x^2+ kx+ 3$ $ y=x^2+ kx+ 3 $と直線 y=x+1のグラフが接するとき定数kの値はk=

$x^2+ kx+ 3=x+ 1$
すなわち
$x^2+ (k-1)x+ 2=0$
について
$D=b^2-4ac$
$=(k-1)^2-8$
$=k^2-2k-7=0$
を解きます

この2次方程式の左辺は，因数分解できないので，解の公式を使います．
$k=1\pm 2\sqrt{2}$

2
　放物線 $y=x^2-2kx-k+ 2$ $ y=x^2-2kx-k+ 2 $が x軸と相異なる２点で交わるような定数 kの値の範囲は， k＜［ア］，k＞［イ］

$x^2-2kx-k+ 2=0$
について
$b\apos ^2-ac$
$=k^2-(-k+ 2)$
$=k^2+ k-2\gt 0$
を解きます

(k+2)(k−1)>0より
k<−2, 1<k

3
　放物線 $y=2x^2+ 3$ $ y=2x^2+3 $が直線 y=4x+k と共有点を持たないような定数kの値の範囲は，k＜［ア］

$2x^2+ 3=4x+ k$
すなわち
$2x^2-4x+(-k+ 3)=0$
$D\apos=b\apos^2-ac$
$=4-2(-k+ 3)\lt 0$
を解きます

$4+ 2k-6\lt 0$ より
k<1

４
　放物線 $y=x^2+ kx+ k(k+ 1)$ $ \large{y=x^2+ kx+ k(k+ 1)} $とx軸が接するとき定数kの値は
k=

$x^2+ kx+ k(k+ 1)=0$
$D=b^2-4ac$
$=k^2-4k(k+ 1)=0$
を解きます

$-3k^2-4k=0$
$3k^2+ 4k=0$
$k(3k+ 4)=0$
より
$k=0,\hspace{3}-\frac{4}{3}$

５
　放物線 $y=x^2+ 2x+ k$ $ \large{y=x^2+ 2x+ k} $が直線 y=x+1 と相異なる2点で交わるような定数kの値の範囲は

$x^2+ x+ k-1=0$ について
$b^2-4ac$
$=1-4(k-1)\gt 0$
を解きます

$1-4k+ 4\gt 0$
4k<5
より
$k\lt \frac{5}{4}$

６
　放物線 $y=2x^2+ 4(k+ 1)x+ 2k^2+ 5k-1$ $ y=2x^2+ 4(k+ 1)x+ 2k^2+ 5k-1 $のグラフがx軸と共有点を持つような定数kの値の範囲はk≦［ア］

$D=b^2-4ac=0$ ←→共有点1個
$D=b^2-4ac\gt 0$ ←→共有点2個
をまとめると
$D=b^2-4ac\underline{\ge}0$ ←→共有点を持つ

$D\apos=2^2(k+ 1)^2-2(2k^2+ 5k-1)\underline{\ge}0$
$4k^2+ 8k+ 4-4k^2-10k+ 2\underline{\ge}0$
2k≦6
より
k≦3

７
　 $x^2+ 2kx+ 3k$ が実数xのどのような値に対しても，つねに2より大きくなるような定数kの値の範囲は，
［ア］＜k＜［イ］

つねに $x^2+ 2kx+ 3k\gt 2$
←→つねに $x^2+ 2kx+ (3k-2)\gt 0$
←→ $y=x^2+ 2kx+ (3k-2)$ $ y=x^2+ 2kx+ (3k-2) $がx軸と共有点を持たない
←→ $D\apos=b\apos^2-ac=k^2-(3k-2)\lt 0$

$D\apos=k^2-(3k-2)\lt 0$
(k−1)(k−2)<0
1<k<2

８
　放物線 $y=x^2-kx+ k-1$ $ y=x^2-kx+ k-1 $がどんなxの値に対しても直線 y=x−2 の上側にあるような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］

つねに $x^2-kx+ k-1\gt x-2$
←→つねに $x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)\gt 0$
←→ $y=x^2-(k+ 1)x+ (k+ 1)$ が x軸と共有点を持たない
←→ $D=b^2-4ac$
$=(k+ 1)^2-4(k+ 1)\lt 0$