(例題対比)[文字係数]放物線の頂点

[基本]
○ y=a(x−p)2+q のグラフは y=ax2 のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動したもので,そのの方程式は x=p頂点の座標は (p , q) である. 図1→
○ y=(式1)(x−(式2))2+(式3) のグラフは y=(式1)x2 のグラフを x 軸の正の向きに (式2)y 軸の正の向きに (式3) だけ平行移動したもので,そのの方程式は x=(式2)頂点の座標は ((式2) , (式3)) となる.
 ※ (式1) (≠0)は放物線の「形」にのみ関係しており,頂点の座標には関係ない.

例1 
 a を定数とするとき,2次関数(放物線)
___________y=2(x−a)2+2a+1
の軸の方程式は x=a,頂点の座標は (a , 2a+1) になる.

例2 
 a を定数とするとき,2次関数(放物線)
___________y=3(x+2a−1)2+a2+3a+4
の軸の方程式は x=−2a+1,頂点の座標は (−2a+1 , a2+3a+4) になる.

[例題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.
(1) y=2(x−3a)2−4a+2
(答案)
____x=3a,頂点 (3a ,−4a+2) …(答)

(2) y=−3(x−4a−1)2+a2−2a+3
(答案)
____x=4a+1,頂点 (4a+1 , a2−2a+3) …(答)
図1
[問題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.
(1) y=3(x−5a)2+2a−1
________軸の方程式 x=a
________頂点の座標 (a, a −)

採点する やり直す
(2) y=−2(x−3a+5)2−3a2+2a−4
________軸の方程式 x=a−
________頂点の座標 (a−,−a2+a−)

採点する やり直す
[展開形]
○ 2次関数が展開形で書かれているときは,これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式,頂点の座標が分かる.

○ 次の[例題2]の変形は,抵抗なくできる生徒が多いが,[例題3,4]の変形はできない生徒が多い.

[例題2] 
_________y=2x24ax+3a2−2a+3
x2 の係数でくくる
__________=2(x22ax)+3a2−2a+3
( .. ) の中を平方完成する.x の係数の半分を持ってくる.
__________=2{ (x−a)2−a2 }+3a2−2a+3
■外側の { .. } をはずす
__________=2(x−a)2−2a2+3a2−2a+3
■定数項を簡単にして仕上げる
__________=2(x−a)2+(a2−2a+3)
頂点の座標は (a , a2−2a+3)

[例題3] 
_________y=2x2+4ax+a2−8x−5a+4
x について整理する …
_________=2x2+(4a−8)x+(a2−5a+4)
x2 の係数でくくる(定数項は後回し)
_________=2{ x2+(2a−4)x }+(a2−5a+4)
{ .. } の中を平方完成する.x の係数の半分を持ってくる.
__________=2{ (x+a−2)2−(a−2)2 }+(a2−5a+4)
■外側の { .. } をはずす
__________=2(x+a−2)2−2a2+8a−8+a2−5a+4
■定数項を簡単にして仕上げる
__________=2(x+a−2)2−a2+3a−4
頂点の座標は (−a+2 ,−a2+3a−4)

※ [例題3]の変形で鍵となるのは,で示した箇所で,「x について整理する」とは,x2 の項,x の項,定数項をまとめることをいう.ここでは特に x の1次の項の係数をまとめて「かっこ」でくくることが重要.
※ この計算で失敗する生徒は,次のように x の係数を小出しにしてもつれてしまうことが多い:
_y=2(x2+2ax)+a2−8x−5a+4 …(まだ外に - 8x が残っている!)
 ⇒ x の係数を「かっこ」でくくって,団体ごとまとめて平方完成する.(「♪〜パックに詰める〜」)

[例題4] 
_________y=−x2+ax+a2+3x−2a+4
x について整理する …
_________=−x2+(a+3)x+(a2−2a+4)
x2 の係数でくくる(定数項は後回し)
_________= { x2(a+3)x }+(a2−2a+4)
{ .. } の中を平方完成する.x の係数の半分を持ってくる.
__________= { (x− )2−()2 }+(a2−2a+4)
■外側の { .. } をはずす
__________= (x− )2+()2+(a2−2a+4)

■定数項を簡単にして仕上げる

__________= (x− )2+

頂点の座標は ( , )
[問題2] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.

(1) y=x2+6ax
________軸の方程式 x=−a
________頂点の座標 (−a, −a2)

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(2) y=−2x2+8ax+a2+1
________軸の方程式 x=a
________頂点の座標 (a, a2+)

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(3) y=2x2+4ax+a2−4x+6a+5
________軸の方程式 x=−a+
________頂点の座標 (−a+, −a2+a+)

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(4) y=−x2+3ax+a2−2x+3a+1

________軸の方程式 x=


________頂点の座標 (, )


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