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■（例題対比）[文字係数]放物線の頂点
［基本］
○ y=a(x−p)2+q のグラフは y=ax2 のグラフを x 軸の正の向きに p ，y 軸の正の向きに q だけ平行移動したもので，その軸の方程式は x=p， 頂点の座標は (p , q) である． 図1→  ※ （式1） （≠0）は放物線の「形」にのみ関係しており，頂点の座標には関係ない． 例1 a を定数とするとき，２次関数（放物線） y=2(x−a)2+2a+1 の軸の方程式は x=a，頂点の座標は (a , 2a+1) になる． 例2 a を定数とするとき，２次関数（放物線） y=3(x+2a−1)2+a2+3a+4 の軸の方程式は x=−2a+1，頂点の座標は (−2a+1 , a2+3a+4) になる． ［例題1］ 次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1) y=2(x−3a)2−4a+2 （答案） 軸 x=3a，頂点 (3a ,−4a+2) …（答） (2) y=−3(x−4a−1)2+a2−2a+3 （答案） 軸 x=4a+1，頂点 (4a+1 , a2−2a+3) …（答） |
図1
［問題1］ 次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1) y=3(x−5a)2+2a−1 (2) y=−2(x−3a+5)2−3a2+2a−4 |
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［展開形］
○ ２次関数が展開形で書かれているときは，これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式，頂点の座標が分かる． ○ 次の［例題2］の変形は，抵抗なくできる生徒が多いが，［例題3,4］の変形はできない生徒が多い． ［例題2］ y=2x2−4ax+3a2−2a+3 ■x2 の係数でくくる =2(x2−2ax)+3a2−2a+3 ■( .. ) の中を平方完成する．x の係数の半分を持ってくる． =2{ (x−a)2−a2 }+3a2−2a+3 ■外側の { .. } をはずす =2(x−a)2−2a2+3a2−2a+3 ■定数項を簡単にして仕上げる =2(x−a)2+(a2−2a+3) 頂点の座標は (a , a2−2a+3) ［例題3］ y=2x2+4ax+a2−8x−5a+4 ■x について整理する …★ =2x2+(4a−8)x+(a2−5a+4) ■x2 の係数でくくる（定数項は後回し） =2{ x2+(2a−4)x }+(a2−5a+4) ■{ .. } の中を平方完成する．x の係数の半分を持ってくる． =2{ (x+a−2)2−(a−2)2 }+(a2−5a+4) ■外側の { .. } をはずす =2(x+a−2)2−2a2+8a−8+a2−5a+4 ■定数項を簡単にして仕上げる =2(x+a−2)2−a2+3a−4 頂点の座標は (−a+2 ,−a2+3a−4) ※ ［例題3］の変形で鍵となるのは，★で示した箇所で，「x について整理する」とは，x2 の項，x の項，定数項をまとめることをいう．ここでは特に x の１次の項の係数をまとめて「かっこ」でくくることが重要． ※ この計算で失敗する生徒は，次のように x の係数を小出しにしてもつれてしまうことが多い： y=2(x2+2ax)+a2−8x−5a+4 …（まだ外に - 8x が残っている！）
⇒ x の係数を「かっこ」でくくって，団体ごとまとめて平方完成する．（「♪〜パックに詰める〜」）
［例題4］ y=−x2+ax+a2+3x−2a+4 ■x について整理する …★ =−x2+(a+3)x+(a2−2a+4) ■x2 の係数でくくる（定数項は後回し） = −{ x2−(a+3)x }+(a2−2a+4) ■{ .. } の中を平方完成する．x の係数の半分を持ってくる． = −{ (x− )2−()2 }+(a2−2a+4) ■外側の { .. } をはずす = −(x− )2+()2+(a2−2a+4) ■定数項を簡単にして仕上げる = −(x− )2+ 頂点の座標は ( , ) |
［問題2］ 次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ． (1) y=x2+6ax (2) y=−2x2+8ax+a2+1 (3) y=2x2+4ax+a2−4x+6a+5 (4) y=−x2+3ax+a2−2x+3a+1 |