重心
《解説》

<予備知識>
 下図のように,△ABCの重心をGとするとき,AG:GM=2:1になります.
 これは,(中学校の数学で)平行線の性質を用いて証明できます.

《証明》・・(中学の復習) 

 MはBCの中点だから 
BM=CM 
 また,NはACの中点だから 
AN=CN・・(1) 
 

 MからBNに平行線MPを引くと 
BM:MC=NP:PCだから 
NP=PC・・(2) 

 (1)(2)よりAN:NP=2:1 
BNとMPは平行線だから 
AG:GM=2:1・・(終) 

《ワンポイント・チェック》 
 △ABCの重心をGとするとき,次の図でCG:GLを簡単な整数比で表わすと 
CG:GL=
<高校:重心の座標>
A(a,b),B(c,d),C(e,f)を頂点とする△ABCの重心Gの座標は 
  
  

特徴 

x座標3つを使って重心のx座標を作ります.同様にy座標だけを使って重心のy座標を作ります
 

 A(1,2),B(3,4),C(5,6)を頂点とする△ABCの重心Gの座標は 
 
《証明》 
 2段階に分けて考え,まずBCの中点Mの座標を求め,次にAMを2:1に内分する点Gの座標を求めます. 
 
 
 
《問題》
(1)
 3点A(2,3),B(-1,4),C(5,5)を頂点とする△ABCの重心の座標は
(,)
 
 
(2)
 3点A(5,-3),B(4,7),C(-6,2)を頂点とする△ABCの重心の座標は
(,)
 
 
(3)
 3点A(9,-1),B(6,5),C(x,y)を頂点とする△ABCの重心Gの座標が(5,4)になるときx,yの値は
 x=
 y=
 
 
 
↑メニューに戻る