→ 携帯用は別頁
• 順列・組合せの大学入試問題で,n!,nPr, nCr, nΠr, nHrのように「公式に数字を入れたら答が出る」☆レベルの問題も出ることはありますが,それは,基本計算小問セットとか誘導問題の前置きだけでしょう.
♠〜両端が指定された順列〜♣• 「公式だけでは解けない」問題に対して,「場合分けする」「樹形図を使う」など泥だらけになる練習が重要です • 問題は「時間内に解かなければならない」ので「一般的な解き方を考る」「きれいに,スマートに解こう」などと欲張らない方がよい.むしろ,その問題だけに使える「個別の事情」「偶然」でも「解けたらよい」と割り切る方がよい.
【問題1】☆
解説を読む
7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6を使用してできる全ての4桁の整数の個数をN,その4桁の整数のうち,両端が奇数であるものの個数をMとする. の値を求めよ.ただし,同じ数は2度以上使わないものとする. ア 0 カ 1 サ 2 タ 3 ナ 4 ハ 5 マ 6 ヤ 7 ラ 8 ワ 9
(2016年度 自治医科大入試問題)
(解答)
【社会生活の常識】 約束事だから覚えておく
• 千の位の数は0以外:6通り• 4桁の電話番号,暗証番号(先頭が0でもよい) 3456は〇,0456も〇 • 4桁の整数(先頭は0以外) 3456は〇,0456は×(←これは3桁) 百十一の位の数は:6×5×4通り N=6×6×5×4=720通り • 両端の位の数の決め方は:3×2通り 百の位と十の位の決め方は:残り5つの数から2つ取って作る順列 5×4通り M=3×2×5×4=120通り • 結局, →マ・・・(答) |
♥♢〜並べ方が指定されている順列=組合せ〜♪♬
【問題2】 ★
解説を読む
6個の文字a, b, c, d, e, fを横1列に並べるとき,並べ方は全部でキ通りある.このうち,aがbより左にあり,かつ,cがdより左にある並べ方は全部でク通りある. (2021年度 大阪工業大学入試問題)
(解答)
• 並べ方は全部で 6!=720通り・・・(答) • aがbより左にある並べ方では,a, bの入れ替えはできないから,同じ文字aが2つあるのと同じになる.c, dについても同様にして,同じ文字cが2つあるのと同じになる. a, a c, c, e, fの並べ方の総数は 通り・・・(答) (別解) • aがbより左にあるという指定により,a, bの場所が決まれば,入り方はただ1通りに決まる.すなわち,1番から6番までの番号のうちで,a, bが入るべき番号2つをもらえば,並べ方は決まる:6C2通り • その各々について,残りの4個の番号の中でc, dが入るべき番号2つをもらえば,並べ方は決まる:4C2通り • 残り2個の並べ方は2!通り 以上により,aがbより左にあり,かつ,cがdより左にある並べ方は 6C2×4C2×2!=180通り
【確認問題】
a, b, c, d, 1, 2, 3の7文字を横1列に並べるとき,a, b, c, dはこの順で,1, 2, 3もこの順に並んでいるものは何通りあるか? ⇒ 7C4=35通り(7C3=35通りでもよい) |
∅〜公式がない→樹形図〜∀
【問題3】
解説を読む
箱が6個あり,1から6までの番号がついている.赤,黄,青それぞれ2個ずつ合計6個の玉があり,ひとつの箱にひとつずつ玉を入れるとする.ただし,隣り合う番号の箱には異なる玉が入るようにする.このような入れ方は全部で何通りあるかを求めよ. (2021年度 早稲田大学入試問題)
• 赤:R,青:B,黄:Yと略す
• R-Bで始まる組では,右図のように5通りが題意に合う • R-Yで始まる組も同様だから,5通り • 以上から,Rで始まる組は10通り • B, Yで始まる組も同様にして10通り • 結局,題意に合うものは30通り・・・(答) ♥〜各位の数に制限がある順列〜♪
【問題4】
解説を読む
1から5の数字がそれぞれ1つ書かれている5枚のカードがある.この5枚のカードをよくシャッフルしてから1列に並べて5桁の整数を作った. (1) このときできる5桁の整数で一の位の数が1のものはシ通りあり,一の位が1になる確率はスである.
(2) この5桁の整数が偶数となるものはセ通りある.一の位の数より十の位の数が大きくなるのはソ通りである.
(2021年度 神戸薬科大学入試問題)
(解答)
(1) ☆ • 1の位の数の決め方は1通り • その各々について,上位4桁の数の決め方は4!=24通り • 従って,1×24=24通り・・・(答) • 5桁の整数の作り方は,全体で5!=120通り • 確率は, ・・・(答) (2) ★ • 1の位の数の決め方は,2と4の2通り • その各々について,上位4桁の数の決め方は4!=24通り • 従って,2×24=48通り・・・(答) • 5個の数から2個とって来ると,十の位の数が一の位の数よりも大きくなる並べ方は,ただ1通りに決まる. 5C2=10通り
• 上記のように,大小2つの数の並べ方が「組合せ」で求められるというのは,教員側の発想かもしれない.
• その各々について,上位3けたの数の決め方は3!=6通り以下のように,素朴に,場合分けして調べてもよい. • 一の位の数が1のとき,十の位の数は2〜5の4通り • 一の位の数が2のとき,十の位の数は3〜5の3通り • 一の位の数が3のとき,十の位の数は4〜5の2通り • 一の位の数が4のとき,十の位の数は5の1通り このように,一の位と十の位の決め方は,10通り. • したがって,10×6=60通り・・・(答) |
【問題5】★★
解説を読む
6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個の数字を並べて5桁の整数を作るとき,次の問いに答えよ. (1) 2の倍数の個数と3の倍数の個数をそれぞれ求めよ. (2) 6の倍数の個数を求めよ. (3) 5の倍数で大きい方から50番目の整数を求めよ. (4) 30と互いに素である整数の個数を求めよ. (2016年度 滋賀大学入試問題)
(解答)
(1) • 一の位の数が偶数であることが2の倍数であるための条件だから 一の位の数の決め方が, {2, 4, 6} の3通り その他の位の数の決め方は,5×4×3通り 結局,2の倍数の個数は,3×5×4×3=360個・・・(答) • 各位の数の和が3の倍数になることが3の倍数であるための条件だから {1, 2, 3, 4, 5}を並べたもの 5!=120通り {1, 2, 4, 5, 6}を並べたもの 5!=120通り 結局,3の倍数の個数は,120+120=240個・・・(答) (2) • 3の倍数のうちで2の倍数であるものが6の倍数であるから {1, 2, 3, 4, 5}を並べたもののうちで, 一の位の数が {2, 4}となるものは 2×4!=48通り {1, 2, 4, 5, 6}を並べたもののうちで, 一の位の数が {2, 4, 6}となるものは 3×4!=72通り 合計,48+72=120個・・・(答) (3) • 一の位の数が {0, 5} であることが2の倍数であるための条件だから 一の位の数は5 大きい方から順に,万の位が6であるものは 6□□□5 ⇒ 4P3=24通り 万の位が4であるものは 4□□□5 ⇒ 4P3=24通り その次の数は 36425, 36415 だから大きい方から50番目の整数は,36415・・・(答) (4) 6P5=720個 • そのうちで,2, 3, 6の倍数は,(1)の結果から 360, 240, 120個 • この問題では,5の倍数は,一の位の数が5だけで,2の倍数は一の位の数が2,4,6だけだから,2の倍数と5の倍数の共通部分はない ⇒ 図の×印は空集合 • 5の倍数は,一の位の数が5だから 1×5×4×3×2=120個 • 5の倍数のうちで,3の倍数になるものは ア) {1,2,3,4}を並べ替えたものと{5} ⇒ 4!=24個 イ) {1,2,4,6}を並べ替えたものと{5} ⇒ 4!=24個 合計48個 • 以上の結果を「集合の要素の個数が重ならないように」数えあげると,右図のようになる. • 30と互いに素である数は,2でも3でも5でも割り切れない数だから,右図の三ツ輪マークの外側 720−(240+120+72+48+72)=168個・・・(答) |
♤♠〜重複順列〜♣♧
【問題6】
解説を読む
男子A, B, C, Dと女子E, F, G, Hの8人がいる. (@) この8人から6人を選んで1列に並べるとき,並べ方は全部でキ通りである. (A) この8人から6人を選んで1列に並べるとき,男女が交互に並ぶ並べ方はク通りである. (A) この8人から6人を選んで輪の形に並べるとき,どの女子も隣り合わない並べ方はケ通りである. (2021年度 北里大学入試問題)
(解答)
(@) ☆ 8P6=8×7×6×5×4×3=20160通り (A) ★
• 男女が交互に並ぶのは,男子3人と女子3人の組に限る
(B) ★★• 男子4人から3人選んで並べる方法は,4P3=24通り そのそれぞれについて,女子4人から3人選んで並べる方法は,4P3=24通り そのそれぞれについて,交互に並ぶのは,男女男女男女の場合と女男女男女男の2つの組合せがある 結局,24×24×2=1152通り
輪の形で,女子が隣り合わないのは
ア) 男子4人,女子2人の場合
• 女子の選び方4C2=6通り
イ) 男子3人,女子3人の場合• 男子の並べ方は(円順列で)3!通り • その各々について,すき間は4か所あって,区別がある(誰に右か,誰の左かがすべて異なる)から,すき間に女子2人が並ぶ方法は,4×3通り • 以上の並べ方は,6×6×12=432通り
• 男子の選び方は4C3=4通り
※) 男子2人以下の場合は女子が必ず隣り合うから,題意に適さない• 女子の選び方は4C3=4通り • その各々につて,男子の並べ方は(円順列で)2!通り • その各々について,すき間は3か所あって,区別がある(誰に右か,誰の左かがすべて異なる)から,すき間に女子3人が並ぶ方法は,3!通り • 以上の並べ方は,4×4×2×6=192通り 以上から,合計432+192=624通り・・・(答) |
♬〜同じものがあるときの順列〜♩
【問題7】☆
解説を読む
赤球3個,青球2個,白球1個の計6個の球を横一列に並べるとき,並べ方は全部でニヌ通りある。 (2016年度 東京薬科大入試問題)
(解答)
【同じものがあるときの順列】
通りaがp個,bがq個,cがr個,・・・合計n個のものを一列に並べる順列の総数は
(別解)
【同じものがあるときの順列=組合せ】 ・・・教科書多数派の説明方法 • 1番から6番までの番号札を用意し,もらった番号札の所に並ぶことにする • 赤3個の行き先の番号札3個のもらい方は,6C3通り • その各々について,青2個の行き先の番号札2個のもらい方は,3C2通り • 残り1個は,自動的に白の行き先になる(1C1=1でもよい) 以上から,6C3×3C2×1= =60通り |
【問題8】☆
解説を読む
1と書かれたカードが1枚,2と書かれたカードが2枚,3と書かれたカードが3枚,4と書かれたカードが4枚ある。これら10枚のカードを横1列に並べて10桁の数を作る。この方法で作られる10桁の数は全部で(G)個ある。 (2016年度 北見工大入試問題)
(解答)
「全部異なるものがある場合」から「同じものがある場合」を逆算する⇒「同じものがあるときの順列の総数」として数える場合
1,21,22,31,32,33,41,42,43,44の10個の異なるものがあるとき,これら全部を横1列に並べてできる順列の総数は10!通り しかし,実際には21,22は同じものであるから,これらだけを入れ替えた2!倍だけ余計に数えていることになるから,「2と書かれたカードが2枚ある」ときには 10!÷2!通り さらに,31,32,33の3個は同じものであるという当初の前提,41,42,43,44の4個は同じものであるという当初の前提を考えると,各順列で3!倍,4!倍だけ余計に数えたことになるから,結局,もとの前提で,同じものがあるときの順列の総数は 通り・・・(答) 番号札のもらい方⇒「組合せ」として数える場合
@,A,・・・Iの10個の番号札があるとして,もらった番号札が各々の札の並べ先を表すものとする.例えば,1のカードのためにDの番号札をもたった場合には,1のカードは5番目に置くものとする.1のカードを並べる順番を表す番号札を1枚もらう方法は 10C1通り その各々について,残りの9枚の番号札の中から,2のカードを並べる順番を表す番号札を2枚もらう方法は ×9C2通り その各々について,残りの7枚の番号札の中から,3のカードを並べる順番を表す番号札を3枚もらう方法は ×7C3通り その各々について,残りの4枚の番号札の中から,4のカードを並べる順番を表す番号札を4枚もらう方法は ×4C4=1通り 以上から,全部で 10C1×9C2×7C3×1=12600通り・・・(答) |
♬〜同じものがあるときの順列〜♩,♪〜二項係数〜♣
【問題9】
解説を読む
自然数m, nがm≧nを満たすとする.aという文字がm個,bという文字がn個あり,それらの合計m+n個の文字を1列に並べるとき,下の問いに答えなさい. (1) 並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい. (2) bbという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい. (3) aabという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい. (2016年度 長岡技術科学大学入試問題)
(解答)
(1) ☆ ・・・(答) (2) ★★ 先にaを並べる→1通り 両端を含めて,aのすき間にbを置くと,bは隣り合わない. ・・・(答) (3) ★★★=(数学Bの内容を含む) ア) 右端に集めて置いたaは,条件に反しない イ) @左側に,残りのaを1つずつbのすき間に置く(右端のbの右側は数えない) Aこの条件に合うように,イ)に使うaはbの個数以下とする. • aを全部右に寄せる方法は1通り • aのm−1個を右に寄せ,残り1個のaとbをそれらの左に置く方法は 通り • aのm−2個を右に寄せ,残り2個のaとbをそれらの左に置く方法は 通り
イ)Aにより,右に寄せるaの個数をkとおくと
• aのm−n個を右に寄せ,残りn個のaとbをそれらの左に置く方法はm−k≦n m−n≦k≦m 通り これらの和を求めると 二項係数の性質により,この和は に等しい・・・(答) |
♬〜同じものがあるときの順列★〜♩ ♫〜隣り合う順列,隣り合わない順列★〜∀
【問題10】
解説を読む
a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの10文字を1列に並べる順列を考える. (1) このような順列の総数を求めよ. (2) 2つのcが隣り合うような順列の総数を求めよ. (3) cとdが隣り合わないような順列の総数を求めよ. (2018年度 信州大学入試問題)
(解答)
♪〜円順列〜♦(1) ★ ・・・(答) (2) ★ 2つのcを束ねて,a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの9個のものの並べ方を数える ・・・(答) (3) ★★ 隣り合っているものを全体から引いて求める ア) c, c, dが隣り合っている並べ方 a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの8個のものの並べ方を数える. 同じものaが4個,bが3個あるから,並べ方は その各々について,c, c, dの内部交換で3倍ずつあるから 280×3=840 イ) c, c, dが隣り合わない並べ方 同じものa4個,b3個を先に並べて,そのすき間(両端を含む)8箇所から2箇所を選んでc, c, dを置くと,c, c, dは互いに隣り合わない. a4個,b3個の並べ方は @ABCDEFG ↓↓↓↓↓↓↓↓ a, a, a, a, b, b, b 上の@〜Gの箇所から2つ選んでc, c, dを置く方法は さらに,c, dが隣り合っている箇所での内部交換で2倍になる したがって ア)イ)から,c, dが隣り合う並べ方は, 840+3920=4760 (1)で求めた全体から引くと 12600−4760=7840通り・・・(答)
【ポイント】
自分たちが隣り合わない並べ方 ⇒ 「相手方を先に並べて」「その両端を含むすき間に自分たちを置く」と,自分たちは隣り合わない
【問題11】★★
解説を読む
立方体の各面に,白,黒,赤,黄,緑,青の6色を塗るとき,その塗り方は(d)通りある.ただし,すべての色を使い,回転して重なる塗り方は同じものと考える. (2021年度 神奈川大学入試問題)
(解答)
• 赤の向かい側(天井面)の決め方は,5通り
向かい合う1組の色が違えば,どんなに回転させても一致することはない
• 上記で決めた底面と天井面のそれぞれに対して,側面に残り4色を塗るときに,水平方向に回転して重なるものは重複して数えないように「4色の円順列」の総数で数える・・・3!=6通り• 以上から,5×6=30(通り)・・・(答) |
♠〜じゅず順列〜♪
【問題12】★★
解説を読む
白玉1個,赤玉2個,青玉4個でブレスレットを作るとき,作る方法は何通りあるか. (2016年度 西日本工業大入試問題)
「ブレスレット」とは腕輪のことらしい.実際には,継ぎ目があるはずだが,継ぎ目はないものとして解く-- ネックレスならT字型だから答えが変わる?--どこまでが常識なのか?出題者の意図を推定するしかない
• 平面内で,回転して重なるものを重複して数えるのを避けるために,上端を白玉に固定する.【ポイント】 首飾り,腕輪,じゅず,ペンダント,ブレスレット,ミサンガなどの数え方 ⇒ @まず円順列を作る, A円順列のうちで裏返したら重なるものは,同じものとみなす(重複して数えない) • 平面内で,残りの赤玉2個,青玉4個の並べ方は(同じものがあるときの順列) 通り • 以上のようにしてできた円順列のうちで,左右対称のものは,立体として裏返しても同じだから,1つと数える
《1つと数えているもの》
《2つと数えているもの》
• 右側にあるもの(残り12個)は,円順列としては別物と数えているが,左右対称なものが1組ずつある.これらは,ブレスレットとしては裏返せば同じものになるから,12÷2=6個 よって,3+6=9通り・・・(答) ♪〜an≠nとなる順列〜♥
【問題13】★★
解説を読む
1, 2, 3, 4, 5を1回ずつ使って作られる5桁の数のうち,一の位が1でなく,かつ十の位が2でないような数は全部で(イ)個ある. (2018年度 小樽商科大学入試問題)
ア) 1が十の位に入るとき
1の置き方は1通り
イ) 1が百以上の位に入るとき
その各々について,2も含めて残り4個はどこでもよいから4!通り したがって,24通り
1の置き方は3通り
ア)イ)からその各々について,2の置き方は,3通り その各々について,残り3個はどこでもよいから3!通り したがって,3×3×3!=54
24+54=78個・・・(答)
|
♣〜組合せ〜♪
【問題14】
解説を読む
トランプを使って行うゲームの一つであるポーカーは,プレイヤーのもつ5枚のカードの組合せの強さを競うゲームである.トランプはジョーカーを除いた,スペード(♠)・クラブ(♣)・ダイヤモンド(♢)・ハート(♡)の4つのスート(あるいはスーツとも呼ばれる)のそれぞれに1から13までの数が書かれた52枚のカードからなる(1,11,12,13の代わりに,A, J, Q, Kの記号を用いることが多い).5枚のカードの組合せには,強い順に以下の種類がある.
• ストレートフラッシュ:同じスートのカードが5枚順番に並ぶ
なお,Aを1と考えて,A, 2, 3, 4, 5がストレートおよびストレートフラッシュになるだけでなく,AをKに続く数と考えて10, J, Q, K, Aもストレートおよびストレートフラッシュとして許す.しかし,Aを超えてJ, Q, K, A, 2のように2まで含めるものは許さない.• フォーカード:同じ数のカードが4枚揃い,それ以外のカードが1枚 • フルハウス:同じ数のカードが3枚揃い,別の数のカードが2枚揃う • フラッシュ:同じスートのカードが5枚揃うが,順番ではない • ストレート:数が5枚順番に並ぶが,スートはひとつには揃っていない • スリーカード:同じ数のカードが3枚揃うが,残り2枚はそれぞれ別の数 • ツーペアー:同じ数のカードが2枚揃う組がふたつ別の組であり,残りの1枚もそれらとは別の数 • ワンペアー:同じ数のカードが2枚揃い,残りはそれぞれ別の数 • カードハイ:上記以外 52枚のカードから, 5枚を抜き出す組合せの数は52C5=2598960通りあるが,それがストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう.ストレートフラッシュの5枚のカードの最小の数は1, 2, ···, (21)(22)のどれかであるから,それぞれのスートごとに(21)(22)通り考えられる.よって,4×(21)(22)=(23)(24)通りのストレートフラッシュの組合せがある.また,ストレートについては,数は順番に並んでいるが,スートが揃っていない組合せの数なので(25)(26)(27)(28)(29)通りある. 次に,フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう.同じ数のカードが3枚と2枚のふたつの組があり,3枚の組を選ぶ組合せは(30)(31)×4C3通り,残りの2枚のカードを選ぶ組合せは(32)(33)×4C2通りであるから,フルハウスとなる組合せの数は(30)(31)×4C3×(32)(33)×4C2=(34)(35)(36)(37)通りである.ただし,(30)(31)≧(32)(33)とする. (2021年度 慶應義塾大学入試問題)
問題は長いが,いつかやった遊び.すらすらと解ける.
• (21)(22)←10 • (23)(24)←40 • (25)(26)(27)(28)(29)←10×45のうちで,ストレートフラッシュ40通りを除いたもの=10200 • (30)(31)←13 • (32)(33)←12 • (34)(35)(36)(37)←13×4×12×6=3774 |
【問題15】
解説を読む
1辺の長さが1である立方体Cがある.次の問いに答えよ. (1) Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶ選び方は何通りあるか求めよ. (2) Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶとき,その2点を結ぶ線分が立方体Cの辺となる確率を求めよ. (3) Cの頂点から異なる3個の頂点を選ぶとき,その3点を頂点とする三角形が直角三角形となる確率を求めよ. (4) Cの頂点から異なる4個の頂点を選ぶとき,その4点が体積 の四面体の頂点となる選び方は何通りあるか求めよ. (2016年度 埼玉大学入試問題)
(1) ☆
8C2=28通り・・・(答) (2) ★ Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶ方法の総数はN=28 2点を結ぶ線分が立方体Cの辺となる場合の数はn=12 求める確率は ・・・(答) (3) ★★★ • 直角にならない方が少ないので,こちらを数えて,余事象の定理で解くことを考える. 例えば,右図の1つの頂点{2}からの距離が1の3点{1,6,3}を結ぶ三角形は正三角形で,直角三角形ではない.このような正三角形が各頂点に対してある→8個 ・・・(答) (4) ★★★ • その中には, ア) 2辺が{1,2}{2,3}のように,立方体の隣り合う2辺の場合(2辺以上=3辺の場合も含む) 1) 第4の頂点が{1,2,3}と同一平面にあれば,体積は0 2) 第4の頂点が{5,6,7,8}の平面にあれば,体積は1/6 となるから,題意に適さない イ) {1,2}のように,1辺が立方体の辺で,他が正方形の対角線または立方体の対角線の場合 体積は1/6になる ウ) 立方体の辺となるものが1つもなく,正方形の対角線だけでできているもの(正方形の対角線と立方体の対角線だけでは四面体はできない・・・やってみればわかる) ⇒ {1,3,6,8},{2,4,5,7}の2通り・・・(答) 立方体から{1,2,3,6}の形の四角錘を4個取り除いたものになるから,体積は, ※) 頂点4個の組合せと体積一覧は,次の通り
{1,2,3,4}→0
{1,2,3,5}→1/6 {1,2,3,6}→1/6 {1,2,3,7}→1/6 {1,2,3,8}→1/6 {1,2,4,5}→1/6 {1,2,4,6}→1/6 {1,2,4,7}→1/6 {1,2,4,8}→1/6 {1,2,5,6}→0 --------------- {1,2,5,7}→1/6 {1,2,5,8}→1/6 {1,2,6,7}→1/6 {1,2,6,8}→1/6 {1,2,7,8}→0 {1,3,4,5}→1/6 {1,3,4,6}→1/6 {1,3,4,7}→1/6 {1,3,4,8}→1/6 {1,3,5,6}→1/6 --------------- {1,3,5,7}→0 {1,3,5,8}→1/6 {1,3,6,7}→1/6 {1,3,6,8}→1/3 {1,3,7,8}→1/6 {1,4,5,6}→1/6 {1,4,5,7}→1/6 {1,4,5,8}→0 {1,4,6,7}→0 {1,4,6,8}→1/6
{1,4,7,8}→1/6
{1,5,6,7}→1/6 {1,5,6,8}→1/6 {1,5,7,8}→1/6 {1,6,7,8}→1/6 {2,3,4,5}→1/6 {2,3,4,6}→1/6 {2,3,4,7}→1/6 {2,3,4,8}→1/6 {2,3,5,6}→1/6 --------------- {2,3,5,7}→1/6 {2,3,5,8}→0 {2,3,6,7}→0 {2,3,6,8}→1/6 {2,3,7,8}→1/6 {2,4,5,6}→1/6 {2,4,5,7}→1/3 {2,4,5,8}→1/6 {2,4,6,7}→1/6 {2,4,6,8}→0 --------------- {2,4,7,8}→1/6 {2,5,6,7}→1/6 {2,5,6,8}→1/6 {2,5,7,8}→1/6 {2,6,7,8}→1/6 {3,4,5,6}→0 {3,4,5,7}→1/6 {3,4,5,8}→1/6 {3,4,6,7}→1/6 {3,4,6,8}→1/6
{3,4,7,8}→0
{3,5,6,7}→1/6 {3,5,6,8}→1/6 {3,5,7,8}→1/6 {3,6,7,8}→1/6 {4,5,6,7}→1/6 {4,5,6,8}→1/6 {4,5,7,8}→1/6 {4,6,7,8}→1/6 {5,6,7,8}→0 この一覧表を試験会場で書いている訳には行かないので,上記のような論述を考える.
試験会場で,制限時間内にどこまで書けるか?とても大変!とんでるぜ埼玉!
🥲泣きですわ〜♪〜ドヒャー♬ |
∅☀〜組分け〜∀☂
【問題16】
解説を読む
8個の果物を3個の箱に分けたい.次のように分ける方法は,それぞれ何通りあるか求めよ. (1) 同じ種類の果物8個を区別のない3個の箱に分ける.ただし,果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする. (2) 同じ種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける.ただし,果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする. (3) 異なる種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける.ただし,どの箱にも少なくとも1個の果物は入れるものとする. (2021年度 北海学園大入試問題)
(1) ★
箱を区別しないから,少ない順に並べた組合せで調べる {0,0,8},{0,1,7},{0,2,6},{0,3,5},{0,4,4},{1,1,6},{1,2,5},{1,3,4},{2,2,4},{2,3,3}の10通り・・・(答)
既存の公式8P3, 8C3, 3H8, 3Π8のうちで,ちょうど合うものは「ない」ことに注意
(2) ☆A, B, Cの名前を,重複を許して8回呼ぶ方法(呼ばれたら1個もらえる)の総数 3H8=3+8−1C8=10C8= ・・・(答) (3) ★★ 果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする場合 38=6561通り ア) 1つの箱に8個の果物を入れる場合 3通り イ) 2つの箱に8個の果物を入れる場合 28=256 ただし,この中には1つの箱に全部入る場合が2通り含まれているから 256−2=254通り 2つの箱の選び方が 3C3=3通り 結局,254×3=762通り 全体から,アイ)の場合を引くと 6561−3−762=5796通り |
♠〜組分け等〜♫
【問題17】★
解説を読む
6個のボールを3人に分ける.次の各問に答えよ. (1) 1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする. (2) 1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける場合,次の個数の組に分ける方法は何通りあるか. (@) 3個,2個,1個 (A) 2個,2個,2個 (3) 番号がなく,区別のつかない6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする. (2018年度 高知工科大学入試問題)
(1)
【重複順列の総数】
• 1のボールの行き先は,A, B, Cの3通り.その各々について,2のボールの行き先は,A, B, Cの3通り.・・・その各々について,6のボールの行き先は,A, B, Cの3通り.• 異なるn個のものから,重複を許してr個取って1列に並べる順列の総数をnΠrで表すと nΠr=nr • ギリシャ文字のΠ(パイの大文字)は,アルファベットのPに対応し,Product(積)を表すときによく使われる. • 大学数学で は, を表す. • 「重複順列の公式はnr」などと丸暗記しても,危ないことに注意. 例えば,6個の菓子を5匹の猿に分ける方法は, 65か56か,自信を持って言えますか? ・・・この問題は, ♠♣六つ菓子五猿(むつかしござる)♥♦ですよ • 積の法則により,36=729通り・・・(答) (2) (@) 3個,2個,1個の組を作る方法は 6C3×3C2×1通り その各々について,A, B, Cの3人に配る方法が 3!通り 積の法則により 6C3×3C2×1×3!=60×6=360通り・・・(答) (A) 6個の中からAに配る2個を選ぶ方法は 6C2通り その各々について,残り4個の中からBに配る2個を選ぶ方法は 4C2通り その各々について,残り2個の中からCに配る2個を選ぶ方法は 2C2=1通り(これは自動的に決まる) 以上から,積の法則により 6C2×4C2×1=90通り・・・(答)
• 6個のボールに区別があり,行き先A, B, Cにも区別がある場合に,2個,2個,2個と分ける方法は(これが基本の数え方)
(3)6C2×4C2×1 • 6個のボールに区別があり,単に,2個,2個,2個と分ける方法は x=6C2×4C2×1÷3! • 6個のボールに区別があり,異なる3人の人A, B, Cに,2個,2個,2個と分ける方法は x×3!=6C2×4C2×1 • 異なる3人A, B, Cの名前を合計6回呼ぶ方法(1回も呼ばれない人がいてもよい) 3H6(重複組合せ) =3+6−1C6=8C6=28通り・・・(答) |
♣〜重複組合せ〜♩
【問題18】★
解説を読む
7個の玉をA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,7個の玉は区別できないものとする.また,1個ももらえない人がいてもよいとする. (2018年度 広島市立大学入試問題)
(解答)
♣〜重複組合せ〜♩重複組合せの解説および基本問題は,このページ,このページにあります. 異なる3人の名前を重複を許して7回呼ぶ方法と考えると 3H7=3+7−1C7=9C7=36通り・・・(答)
【問題19】
解説を読む
整数nに対して, (1) n=8のとき,(*)を満たす自然数の組(x, y, z)の個数を求めよ。 (2) (*)を満たす自然数の組(x, y, z)の個数をnを用いて表せ. (3) x+y+z≦nを満たす自然数の組(x, y, z)の個数をnを用いて表せ. (2018年度 鳥取大学入試問題)
(解答)
(1)★ • x+y+z=8となる整数x, y, z≧0の組の個数は,3H8で求められるが,この解には,x, y, zのうちの幾つかが0の場合も含まれる.例えば,x=8, y=0, z=0も1組の解として含まれる. • これに対して,x+y+z=8 (x, y, z≧1)となる自然数の組の個数を求めるには,はじめから1つずつ配っておくとよい.すなわち x'+y'+z'=5 (x', y', z'≧0, x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1) • 求める組の個数は 3H5=3+5−1C5=7C5= ・・・(答) (2)★ はじめからx, y, zに1つずつ配っておき,残りの和がn−3になればよいから x'+y'+z'=n−3 (x', y', z'≧0) となる解の組の個数を求めるとよい 3Hn−3=3+n−3−1Cn−3=n−1Cn−3= ・・・(答) ただし,n=1, 2のとき,解はないが,上記の式にn=1, 2を代入すると,結果が0となるから,n=1, 2のときもこれでよい. (3)★★★ (2)の結果から,k=1, 2のときも含めて,x+y+z=k (x, y, z≧1)となる自然数の組の個数は ・・・(答) (n=1, 2のときもこれでよい.)
一般に,階乗型(階段状の積)となっている式の和は,1つ次数の高い階乗型(階段状の積)の式の差で表される.
その結果,中間項がきれいに消えて「うれしい!」 ※このレベル変形はよく出るので,高校生の間にできるようにしておく方がよいと思う ※もちろんΣの内部を展開して,1次,2次,3次,・・・の式の和として求める方法もあるが,「コテコテ」の変形になり,間違いやすい. |
♪〜公式なし! 地道な調査!〜♠
【問題20】★★★
解説を読む
(1) 5以下の異なる3個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか. (2) 自然数m, nをm<nのようにとる.m個の自然数 a1, a2,… , amを (2016年度 和歌山県立医大入試問題)
(解答)
(1) • 1+2+3=6となる場合が最小値 3+4+5=12となる場合が最大値 • 両端を含むこの区間12−6+1=7個の値を「@もれなく」取り得ることを示せばよい.なお,「A重複」はあってもよい.
ア) 12345
イ) 12345 ウ) 12345 エ) 12345 オ) 12345 カ) 12345 キ) 12345
ウ)' 12345
エ)' 12345 オ)' 12345 • 上の図の最小値ア)から最大値キ)まで,1度に1駒ずつ右に移動させると,和は1つずつ増えるから,ア)の和6からキ)の和12までの値を「@もれなく」取る. なお,「右の駒が行き詰ったときだけ左の駒を動かす」など(上記のこのルールで移動させている)駒を動かすルールを決めておかないと,同じ値を「A重複」して数えることになる. 例えば,ウ)'エ)'オ)'のように,右が行き詰っていないのに左の駒を進めると,ウ)エ)オ)と同じ値の組になる. 5C3=10個の値のうちで,3個の値8, 9, 10は重複して現れるので,値としては,上記のように7個になる. 7個・・・(答) (2) • a1=1, a2=2, …, am=mとなる場合に,最小値となる. • a1=n−m+1, a2=n−m+2, …, am=nとなる場合に,最大値となる. • 最大値となる場合は,最小値となる場合に比べて,各項がn−mだけ大きいから,その差は(n−m)m したがって,自然数は全部で,(n−m)m+1個・・・(答)
※これらの値を「@もれなく」取り得ることは,(1)のときと同様にして示せる.
• すなわち,最小値の組の右端mを1つずつ増やしてnまで至ると,n−m回増加する. • 次に,大きい方から2番目の値m−1を1つずつ増やしてn−1まで至ると,n−m回増加する. ・・・ ・・・ • 最後に,1を1つずつ増やしてn−m+1まで至ると,n−m回増加する. • このようにすると,重複なく1ずつ増えているから,全部でm(n−m)だけ増加する. • はじめの値も含めると,自然数の個数は(n−m)m+1個となる. ※上記のように動かして,右側の値が行き詰ってから,以下に大きい値を動かすことにしておくと,結果は重複しないが,動かし方によっては,結果の和の値が重複することがある. |