== 場合の数,順列,組合せ(大学入試問題) ==
[難易度] 初歩:☆, 基本:★, 普通:★★, やや難:★★★
順列・組合せの大学入試問題で,n!,nPr, nCr, nΠr, nHrのように「公式に数字を入れたら答が出る」☆レベルの問題も出ることはありますが,それは,基本計算小問セットとか誘導問題の前置きだけでしょう.
「公式だけでは解けない」問題に対して,「場合分けする」「樹形図を使う」など泥だらけになる練習が重要です
問題は「時間内に解かなければならない」ので「一般的な解き方を考る」「きれいに,スマートに解こう」などと欲張らない方がよい.むしろ,その問題だけに使える「個別の事情」「偶然」でも「解けたらよい」と割り切る方がよい.
〜両端が指定された順列〜
【問題1】
 7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6を使用してできる全ての4桁の整数の個数をN,その4桁の整数のうち,両端が奇数であるものの個数をMとする.の値を求めよ.ただし,同じ数は2度以上使わないものとする.
0 1 2 3 4 5 6  7 8 9
(2016年度 自治医科大入試問題)
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♥♢〜並べ方が指定されている順列=組合せ〜♪♬
【問題2】
 6個の文字a, b, c, d, e, fを横1列に並べるとき,並べ方は全部で通りある.このうち,abより左にあり,かつ,cdより左にある並べ方は全部で通りある.
(2021年度 大阪工業大学入試問題)
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〜公式がない→樹形図〜
【問題3】
 箱が6個あり,1から6までの番号がついている.赤,黄,青それぞれ2個ずつ合計6個の玉があり,ひとつの箱にひとつずつ玉を入れるとする.ただし,隣り合う番号の箱には異なる玉が入るようにする.このような入れ方は全部で何通りあるかを求めよ.
(2021年度 早稲田大学入試問題)
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〜各位の数に制限がある順列〜
【問題4】
 1から5の数字がそれぞれ1つ書かれている5枚のカードがある.この5枚のカードをよくシャッフルしてから1列に並べて5桁の整数を作った.
(1) このときできる5桁の整数で一の位の数が1のものは通りあり,一の位が1になる確率はである.
(2) この5桁の整数が偶数となるものは通りある.一の位の数より十の位の数が大きくなるのは通りである.
(2021年度 神戸薬科大学入試問題)
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【問題5】★★
 6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個の数字を並べて5桁の整数を作るとき,次の問いに答えよ.
(1) 2の倍数の個数と3の倍数の個数をそれぞれ求めよ.
(2) 6の倍数の個数を求めよ.
(3) 5の倍数で大きい方から50番目の整数を求めよ.
(4) 30と互いに素である整数の個数を求めよ.
(2016年度 滋賀大学入試問題)
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♤♠〜重複順列〜♣♧
【問題6】
 男子A, B, C, Dと女子E, F, G, Hの8人がいる.
(@) この8人から6人を選んで1列に並べるとき,並べ方は全部で通りである.
(A) この8人から6人を選んで1列に並べるとき,男女が交互に並ぶ並べ方は通りである.
(A) この8人から6人を選んで輪の形に並べるとき,どの女子も隣り合わない並べ方は通りである.
(2021年度 北里大学入試問題)
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〜同じものがあるときの順列〜
【問題7】
 赤球3個,青球2個,白球1個の計6個の球を横一列に並べるとき,並べ方は全部でニヌ通りある。
(2016年度 東京薬科大入試問題)
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【問題8】
 1と書かれたカードが1枚,2と書かれたカードが2枚,3と書かれたカードが3枚,4と書かれたカードが4枚ある。これら10枚のカードを横1列に並べて10桁の数を作る。この方法で作られる10桁の数は全部で(G)個ある。
(2016年度 北見工大入試問題)
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〜同じものがあるときの順列〜,〜二項係数〜
【問題9】
 自然数m, nm≧nを満たすとする.aという文字がm個,bという文字がn個あり,それらの合計m+n個の文字を1列に並べるとき,下の問いに答えなさい.
(1) 並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい.
(2) bbという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい.
(3) aabという文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい.
(2016年度 長岡技術科学大学入試問題)
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〜同じものがあるときの順列★〜
〜隣り合う順列,隣り合わない順列★〜
【問題10】
 a, a, a, a, b, b, b, c, c, dの10文字を1列に並べる順列を考える.
(1) このような順列の総数を求めよ.
(2) 2つのcが隣り合うような順列の総数を求めよ.
(3) cdが隣り合わないような順列の総数を求めよ.
(2018年度 信州大学入試問題)
解説を読む 〜円順列〜
【問題11】★★
 立方体の各面に,白,黒,赤,黄,緑,青の6色を塗るとき,その塗り方は(d)通りある.ただし,すべての色を使い,回転して重なる塗り方は同じものと考える.
(2021年度 神奈川大学入試問題)
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〜じゅず順列〜
【問題12】★★
 白玉1個,赤玉2個,青玉4個でブレスレットを作るとき,作る方法は何通りあるか.
(2016年度 西日本工業大入試問題)
解説を読む
an≠nとなる順列〜
【問題13】★★
 1, 2, 3, 4, 5を1回ずつ使って作られる5桁の数のうち,一の位が1でなく,かつ十の位が2でないような数は全部で(イ)個ある.
(2018年度 小樽商科大学入試問題)
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〜組合せ〜
【問題14】
 トランプを使って行うゲームの一つであるポーカーは,プレイヤーのもつ5枚のカードの組合せの強さを競うゲームである.トランプはジョーカーを除いた,スペード(♠)・クラブ(♣)・ダイヤモンド(♢)・ハート(♡)の4つのスート(あるいはスーツとも呼ばれる)のそれぞれに1から13までの数が書かれた52枚のカードからなる(1,11,12,13の代わりに,A, J, Q, Kの記号を用いることが多い).5枚のカードの組合せには,強い順に以下の種類がある.
ストレートフラッシュ:同じスートのカードが5枚順番に並ぶ
フォーカード:同じ数のカードが4枚揃い,それ以外のカードが1枚
フルハウス:同じ数のカードが3枚揃い,別の数のカードが2枚揃う
フラッシュ:同じスートのカードが5枚揃うが,順番ではない
ストレート:数が5枚順番に並ぶが,スートはひとつには揃っていない
スリーカード:同じ数のカードが3枚揃うが,残り2枚はそれぞれ別の数
ツーペアー:同じ数のカードが2枚揃う組がふたつ別の組であり,残りの1枚もそれらとは別の数
ワンペアー:同じ数のカードが2枚揃い,残りはそれぞれ別の数
カードハイ:上記以外
なお,A1と考えて,A, 2, 3, 4, 5がストレートおよびストレートフラッシュになるだけでなく,AKに続く数と考えて10, J, Q, K, Aもストレートおよびストレートフラッシュとして許す.しかし,Aを超えてJ, Q, K, A, 2のように2まで含めるものは許さない.
52枚のカードから, 5枚を抜き出す組合せの数は52C5=2598960通りあるが,それがストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう.ストレートフラッシュの5枚のカードの最小の数は1, 2, ···, (21)(22)のどれかであるから,それぞれのスートごとに(21)(22)通り考えられる.よって,4×(21)(22)=(23)(24)通りのストレートフラッシュの組合せがある.また,ストレートについては,数は順番に並んでいるが,スートが揃っていない組合せの数なので(25)(26)(27)(28)(29)通りある.
次に,フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう.同じ数のカードが3枚と2枚のふたつの組があり,3枚の組を選ぶ組合せは(30)(31)×4C3通り,残りの2枚のカードを選ぶ組合せは(32)(33)×4C2通りであるから,フルハウスとなる組合せの数は(30)(31)×4C3×(32)(33)×4C2=(34)(35)(36)(37)通りである.ただし,(30)(31)(32)(33)とする.
(2021年度 慶應義塾大学入試問題)
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【問題15】
 1辺の長さが1である立方体Cがある.次の問いに答えよ.
(1) Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶ選び方は何通りあるか求めよ.
(2) Cの頂点から異なる2個の頂点を選ぶとき,その2点を結ぶ線分が立方体Cの辺となる確率を求めよ.
(3) Cの頂点から異なる3個の頂点を選ぶとき,その3点を頂点とする三角形が直角三角形となる確率を求めよ.
(4) Cの頂点から異なる4個の頂点を選ぶとき,その4点が体積の四面体の頂点となる選び方は何通りあるか求めよ.
(2016年度 埼玉大学入試問題)
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∅☀〜組分け〜∀☂
【問題16】
 8個の果物を3個の箱に分けたい.次のように分ける方法は,それぞれ何通りあるか求めよ.
(1) 同じ種類の果物8個を区別のない3個の箱に分ける.ただし,果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする.
(2) 同じ種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける.ただし,果物が1個も入っていない箱ができてもよいものとする.
(3) 異なる種類の果物8個をA, B, Cの3個の箱に分ける.ただし,どの箱にも少なくとも1個の果物は入れるものとする.
(2021年度 北海学園大入試問題)
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〜組分け等〜
【問題17】
 6個のボールを3人に分ける.次の各問に答えよ.
(1) 1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする.
(2) 1から6までの番号が1つずつ書いてある6個のボールをA, B, Cの3人に分ける場合,次の個数の組に分ける方法は何通りあるか.
 (@) 3個,2個,1個  (A) 2個,2個,2個
(3) 番号がなく,区別のつかない6個のボールをA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,ボールを1個ももらわない人がいてもよいものとする.
(2018年度 高知工科大学入試問題)
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〜重複組合せ〜
【問題18】
 7個の玉をA, B, Cの3人に分ける方法は何通りあるか.ただし,7個の玉は区別できないものとする.また,1個ももらえない人がいてもよいとする.
(2018年度 広島市立大学入試問題)
解説を読む 〜重複組合せ〜
【問題19】
 整数nに対して,
x+y+z=n …(*)
を満たす自然数の組(x, y, z)について,以下の問いに答えよ.
(1) n=8のとき,(*)を満たす自然数の組(x, y, z)の個数を求めよ。
(2) (*)を満たす自然数の組(x, y, z)の個数をnを用いて表せ.
(3) x+y+z≦nを満たす自然数の組(x, y, z)の個数をnを用いて表せ.
(2018年度 鳥取大学入試問題)
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〜公式なし! 地道な調査!〜
【問題20】★★★
(1) 5以下の異なる3個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか.
(2) 自然数m, nm<nのようにとる.m個の自然数
a1, a2,… , am
1≦a1<a2<… <am≦n
のようにとり,和a1+a2+…+amを考える.この形で表される自然数は何個あるか.
(2016年度 和歌山県立医大入試問題)
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