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== 逆三角関数 ==

○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)

○【解説】は個人の試案ですが,Web教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます.
 問題や解説についての質問等は,原著作者を煩わせることなく,当Web教材の作成者(<浅尾>)に対して行ってください.
【逆三角関数】
y=sinxのグラフは,次の図のようになります.
xの範囲に制限がなければ,一つの与えられたyの値に対して,sinx=yとなるxの値は無数に存在しますが,
≦x≦
(赤で示した部分)に制限すれば,xの値はただ1通りに定まります.
・区間≦x≦において,sinx=αを満たす値を主値といい,x=sin−1αで表します.(アークサイン アルファと読む)
 初歩的な注意として,sin−1αとは
関係なく,sinxの逆関数を表す専用の記号となっており,sinnαの逆関数をsin−2αと書くなどと新たに定義しない限りsin−2αなどは定義されていません.
cos−1αtan−1αについても同様)
【例】
(1) sin=だから,sin−1=です.
(2) sin−1とは,sinα=となる角αのことです.
≦α≦
 同様にして,sin−1とは,sinβ=となる角βのことです.
≦β≦
y=cosxのグラフは,次の図のようになります.
xの範囲に制限がなければ,一つの与えられたyの値に対して,cosx=yとなるxの値は無数に存在しますが,
0≦x≦π
(赤で示した部分)に制限すれば,xの値はただ1通りに定まります.
・区間0≦x≦πにおいて,cosx=αを満たす値を主値といい,x=cos−1αで表します.
【例】
(1) cos=だから,cos−1=です.
(2) α=cos−1cosα=0≦α≦π
 同様に,β=cos−1cosβ=0≦β≦π
 したがって,
cos−1+cos−1=α+β=+=
などと計算できます.
αβが各々主値において確定すればよく,α+βの値の範囲はそれらを使って単純に計算すればよい.

※正しい番号をクリックしてください.
平成16年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-4

 sin(2 cos−1 )の値は,次のどれか.
1 2 3 4 5

y=tanxのグラフは,次の図のようになります.
xの範囲に制限がなければ,一つの与えられたyの値に対して,tanx=yとなるxの値は無数に存在しますが,
<x<
(赤で示した部分)に制限すれば,xの値はただ1通りに定まります.
・区間<x<において,tanx=αを満たす値を主値といい,x=tan−1αで表します.
【例】
(1) tan=1だから,tan−11=です.
(2) α=tan−1tanα=<α<
 同様に,β=tan−1tanβ=<β<
 したがって,
tan−1+tan−1=α+β=+=

平成17年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-4

 方程式sin−1x=cos−1の値は,次のどれか.
1 2 3 4 5

平成18年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 tan−1(+2)+tan−1(−2)の値は,次のどれか.
10 2 3 4 5



平成19年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 sin−1+cos−1(−)+tan−11の値は,次のどれか.
1π 2π 3π 4π 5π

平成20年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 tan(sin−1)の値は,次のどれか.
1 2 3 4 5


平成21年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 3つの値sin−1, cos−1, tan−1について,
次の大小関係のうち正しいものはどれか.
1cos−1<sin−1<tan−1
2cos−1<tan−1<sin−1
3tan−1<cos−1<sin−1
4sin−1<tan−1<cos−1
5sin−1<cos−1<tan−1

平成22年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 sin−1(−1)+cos−1(−1)+tan−1(−1)の値は,次のどれか.
1 2 30 4 5


平成23年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-2

 sin(cos−1)の値は,次のどれか.
1 2 3 4 5

平成24年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-3

 tan−1(2+)+tan−1(2−)の値は,次のどれか.
1 2 3 4 5


【逆三角関数の性質】
(1.1)

(解説)
のとき


※この性質は,ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している.
(1.2)

(解説)
のとき


※(1.1)と同様,ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している.
(1.3)

(解説)
のとき


※(1.1)(1.2)と同様,ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している.

(2.1)
(解説)
三角関数の公式
…(1)
により

のとき


だから

この式はのときは,右図のような直角三角形を考えれば分かるが,のときでも,(1)が成り立つから式は正しい.
(2.2)
(解説)
三角関数の公式
…(2)
により

のとき


だから

この式はのとき,右図のような直角三角形を考えれば分かる.
(2.3)
(解説)


のとき

この式はのとき,右図のような直角三角形を考えれば分かる.




(3.1)

(解説)
右図において



だから

が成り立つ.
(3.2)

(解説)
右図において



だから

が成り立つ.

(3.3)

(解説)
右図において



だから

が成り立つ.

(4.1)
(解説)

のとき



だから

が成り立つ
(4.2)
(解説)

のとき



だから

が成り立つ
(4.3)
(解説)

のとき



だから

が成り立つ

マクローリン級数を用いて,πを高精度で計算するときなどに利用される定数
(5.1)
(オイラー)
(解説)
正接の加法定理

に,となる角度を代入すると

となるから


が成り立つ.
(5.2)
(マチン)
(解説)
正接の2倍角公式

に,となる角度を代入すると

さらにもう一度,2倍角公式を適用すると

次に,となる角度を考え,正接の加法定理

にこれらの角度を代入すると


したがって


一般に,整数nに対して次の式が成り立つ
(5.3)
(解説)
正接の加法定理

に,となる角度を代入すると

となるから


が成り立つ.
n=1, 2のときはオイラーの公式になる.
n=3, 4, 5, 6, ...を代入すると





(その他)
(6.1)
(解説)
のとき

だから

(6.2)
(解説)
…(1)のとき
だから

…(2)

(2)により
(1)(2)より…(3)
(1)より
(3)より
したがって,

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