複素数平面上の線積分
※この分量の教材で,複素関数を初めから解説することは無理なので,そこまでは戻らない.一応,複素数や複素関数の初歩は分かるものとして進める.
 あまり厳密な証明はせずに,簡単な例を見ながら,無理なく「真似できるようになる」ことを目指す.
【例1】
 右図の複素数平面上の各点で関数がで定義されているとき,経路上で矢印の向きに沿った線積分は,次のように計算できる.
(1)は原点から実軸上の点2までの経路とする
これは高校で習う実軸上の積分なので,問題なくできる

(3)はy軸上の点2iから原点までの経路とする

複素数を実数を使って表すと



置換積分を行う



(重要)
 この問題のように,関数の原始関数(の1つ)がと分かる場合には,上記のように実数に直して積分しなくても,複素数のまま「引き算をすればよい」.


途中経路をCで表すと,この計算は


となることから分かるように「原始関数に対する始点と終点の値だけで決まり」「途中経路に依らない」
(2)はx軸上の点2からy軸上の点2iまでの直線経路とする
経路上の複素数を実数を使って表すと




置換積分を行う


※1 前項の(重要)で書いたことは,ここでも言える.すなわち,このような複雑な変数変換によって実数の積分に直さなくても,複素関数としての不定積分が計算できるときは,その差で直接計算すればよい.(そこが複素関数の良い所!)


※2 ここまでに求めた値を使えば,次項で述べるコーシーの定理(正則な領域における周回積分は0になること)を直接確かめることができる.


以上のことを,周回積分の記号を使って表すと
となるが,このことは周回上の適当な点
(例えば原点)を始点かつ終点として積分を行えば


となることからも分かる.

(2’)はx軸上の点2からy軸上の点2iまでの4分円上の経路とする
ここまでの解説から分かるように,複素数平面上で経路に沿って線積分を行う場合,その結果は途中御経路に依存せず「不定積分の関数,始点と終点」だけで決まると予想できるが,円や直線に沿った計算練習は重要になるので十分な練習が必要.(例えば,不定積分の関数形が求められないときに,う回路を作って周回積分を先に計算するというような作業で重要となる)
経路上の複素数を角度を使って表すと

もしくは



置換積分を行う



ここで


だから

(2”)はx軸上の点2から2+2iを通ってy軸上の点2iまでのL字形の経路とする




置換積分を行う





置換積分を行う



以上から


留数定理
閉曲線上の周回積分は,つねに反時計回りに積分するものと決めておく.
(1) [コーシーの定理]
 閉曲線Cに囲まれる変域において,複素関数に−1次の極が含まれないとき

(2) [留数定理]
 閉曲線Cに囲まれる変域において,複素関数に−1次の極が含まれるとき

は閉曲線C内にある留数(−1次の係数)の和に2πiを掛けたものに等しい
(解説)
(1)
の1つの原始関数をとし,周回路上の1点をとおくと,周回積分は

となる.
(2)
の回りのローラン級数に展開したとき

のように表されるものとする.
(整式の部分をで表し,−k次の係数をで表す)
このとき,の回りの周回積分を求めると,だけが残り,他は全部消えて0になる.
ア)整式の部分からは

イ)k=−1の部分からは

とおくと


ウ)k=−2, −3, ...の部分からは

とおくと


※以上のように,の回りの周回積分を求めると,留数と呼ばれるの係数(の倍)だけが残る.
 これは,複素数の対数関数が

に等しく,1周すると偏角だけ増加することと関係している.

※右図のように,閉曲線の中に2つの極があるとき,両方の曲を含む1つの閉曲線で周回積分を求めた場合
 右図のように2つの極の間に切り目を入れると,の回りの積分との回りの積分では,上の積分の向きが逆になり,値が相殺されて打ち消し合う.その結果,の回りの積分との回りの積分を別々に求めて結果を加えたものに等しくなる.
 このことは,3個以上の曲がある場合でも同様である.
【例】

であるときに,右図のようにの3点を囲む1つの閉曲線に沿って周回積分を求めた場合
は極ではないから周回積分は0,における留数は5,における留数は6だから,結局,周回積分の値はになる.

留数の求め方
(1) 関数がローラン級数に展開された形
…(#1)
で書かれていれば,留数すなわちの係数は見れば分かります.
(2) 関数が必ずしもローラン級数に展開されていない一般の形,例えばのように示された場合,次のようにすればローラン級数の展開式の全部を調べなくても,留数が分かります.
1) が1位の極であるとき:
は整式]
となるとき,
2) が2位の極であるとき:


であるから,1回微分してからとすればが得られる.
3) がk位の極(k≧3)であるとき:

をk-1回微分してからとし,で割れば,が得られる.
【例2】
 次の関数のにおける留数を求めてください.
(1)(2)(3)
(解答)
(1)…(答)
(2)…(答)
(3)…(答)
【例3】

について,円を積分路とする周回積分を求めてください.
(解答)
積分路の内部に極がある.


…(答)
(別解)
部分分数に分解すると

だから,における留数は各々
よって

【例4】

について,右図のような,十分大きな半径Rの円の上半分とx軸を積分路とする周回積分を求めてください.
(解答)

だから,2つの極があり,そのうちのは積分路の内部に,は積分路の外部にある.
…(答)
※R>1であればRの大きさによって結果は変わらない.

留数を利用した実積分の計算
 原始関数(不定積分)が求められる場合には,次の例(2.1)のように定積分は原始関数の差で計算できます.
 これに対して,原始関数(不定積分)が容易には求められない場合に,複素平面上の周回積分を利用して,実積分を求められるものがあります.
(1) 例えば

という実軸上の積分を求めたいが,その計算が容易でないとき,右図のような複素数平面上での周回積分と経路C2の積分が計算できれば,R→∞の極限により実軸上の積分C1が求まることになります.
(2) また,例えば z=0に極(特異点)がある場合
右図のような複素数平面上での周回積分と経路C2, C4の積分が計算できれば,R→∞, r→0の極限により実軸上の積分C3とC1の和が求まることになります.
 一般に,上記の(1)(2)においてR→∞のときに,半円上の経路での積分が0になることが多い.
(2.1)

となることを証明して下さい.
(参考)
この積分は,実軸上の広義積分としても求めることができる.
とおく

置換積分を行う


(解答)
 この積分を複素数平面上で留数定理を使って求めるには,右図のような周回積分を考えるとよい.
 そのときに,


に注意すると,上半円には特異点が1つだけ()あり,その点における留数がだから

において
とおくと


ここで

(∵)


だから

定積分と不等式参照

のとき)
したがって

のとき)

フレネル積分
光の回折の理論に現れる積分

はフレネル積分(フレネルはフランスの物理学者)と呼ばれ,初等的に表せない.積分区間が負の無限から正の無限までの(2.2)の形の定積分などは,複素積分を利用して求められる.
(2.2)

(2.3)

となることを証明して下さい.
(証明)
(2.2)←
という関数に対して,右図のような経路で周回積分を考えると,経路内には特異点はないから

まず,C1については,このページ (1.3) 1)ガウスの積分公式により,R→∞のとき

次に,C2について
とおく(指数表示)
なお,などと指数関数の指数関数で書くと見かけが煩わしいので,必要に応じてオイラーの公式により分かり易い方を使うことにする.
オイラーの公式
指数表示三角関数表示

(三角関数)
も併用する.



…(*1)
被積分関数の絶対値を調べると

ここで,どんなについても,だから


によって変換すると


…(*2)
右図のように,のグラフを原点とを結ぶ直線のグラフと比較すると

だから



…(*3)
(*3)を(*2)(*1)に戻すと


以上により,のとき
…(*4)
C3は次の計算になる




(*4)により



により

cosθは偶関数だから,sinθは奇関数だから
左辺は

…(*5)

だから,右辺は
…(*6)
(*5)(*6)の実部,虚部を比較すると


結局


(2.3)←

において,次の置換積分を行う.



ゆえに

についても同様に示せる.

(2.4)

となることを証明して下さい.
(証明)

であるから

を求めて実部,虚部に分けることを考える.(実際には実部は出ない)
右図のような4個の積分路に分けると,この閉曲線内に極はないから


が,当面求めたいものである.R→∞,r→0の極限で考える.
C2上では,


であるが,指数関数の指数関数では考えにくいので,次の表記も併用する.


だから




ここで

だから



同様にして
とおいて置換積分する



は上記と同じだから

結局,R→∞のとき,
C4上では,C2と同様にして,上半円の半径をrとするが,極限としてはr→0を考える.








ゆえに


C3上では
とおいて置換積分する



C1+C3


全体をまとめると




結局


 上記の証明で,経路が半円となるC2,C4については,次の定理を使ってもっと簡単に計算できることが多い.
【ジョルダンの補題】
は複素数平面の上半円および実軸上で定義される関数とするとき

ならば

が成り立つ.(ただし,は正の定数とする)
(証明)
 半径Rの上半円上にある複素数を極座標を用いて表すと,と書ける.
次の表記も併用する.
だから




ここで,であるから

仮定により,のときだから,CR上のの最大値をMとおくと
…(A)
においてM→0となる.
そこで

すなわち,この積分が上に有界であることを示せば,CR上の積分が0になると言える.


この第2項は,置換積分により第1項と等しいことを示せる.
とおいて置換積分する


したがって
…(B)
のとき







…(C)
は上に有界
(C)→(B)→(A)と見ていくと,(A)は有界な定積分に対して0に収束する値Mが掛けられているから,0となる.
(参考)ジョルダンの補題を用いた場合の(2.4)の証明

を右図のような4個の積分路に分けると


において

だから,ジョルダンの補題により,
次に,は,留数が

となる極を負の向きに半周するから

C3上では
とおいて置換積分する



C1+C3


全体では




結局

【例5】
 ジョルダンの補題を利用して,次の定積分を計算してください.
(解答)
だから

を求めて,実部を取り出す.

だから,極はの2つある.
 複素数平面上の上半平面における極における留数を求めると

 右図の周回積分は

ここで

だから,ジョルダンの補題により

したがって

…(答)
【例6】
 ジョルダンの補題を利用して,次の定積分を計算してください.
(解答)
だから

を求めて,実部虚部を取り出す.

だから,極はの2つある.
 複素数平面上の上半平面における極における留数を求めると

 右図の周回積分は

ここで

だから,ジョルダンの補題により

したがって

…(答)
(奇関数だから)

…(答)

(類似の公式)…やさしいもの
(2.4.1) 幾何光学に登場する元々のフレネル積分の式

(2.4.2)

(証明)
(2.4.1)←
(2.2)において

次のように置換積分を行う.
とおく




両辺をで割ると
…■証明終わり■
も同様にして示される
(2.4.2)←
とおく
次のように置換積分を行う.
とおく



これは(2.4)によりに等しい
…■証明終わり■
(類似の公式):参考程度…証明は大変難しい
(2.4.3)

(2.4.4)

(2.4.5)

(2.4.6)


【定積分と不等式】
(1) 実変数の関数の定積分について,次の不等式が成り立つ.
のとき
だから

したがって

(2) 複素関数の定積分についても,次の不等式が成り立つ.

ただし,は弧の長さの微分で実数値をとる.

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