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2直線の垂直条件 → 携帯版は別頁
--図1--

OA⊥OBのとき,2直線OA, OBは,互いに「垂直である」「直角である」「直交する=直角に交わる」ともいう
≪重要≫
 2直線
y=mx+k …(1)
y=m'x+k' …(2)
が垂直かどうかは傾きm, m'の関係だけで決まり,切片k, k'には無関係です.
y=mx+ky=m'x+k'とが垂直 ←→ mm'=−1

[例外]
x軸に平行な直線y=k
y軸に平行な直線x=cとは
互いに垂直
【例】
[1]
 直線y=2x+1
 直線とは

だから互いに垂直
※切片の値1, 3は関係ない

[2]
 直線
 直線とは

だから互いに垂直
※切片の値−2, 5は関係ない
[3]
 直線y=2x
 直線とは

だから互いに垂直ではない
※切片の値0, 4は関係ない

[4]
 直線y=2x−3
 直線y=−2x+6とは
2×(−2)=−4≠−1
だから互いに垂直ではない
※切片の値−3, 6は関係ない

【解説】
--図2--



 初めに,2直線y=mx+k…(1) とy=m'x+k'…(2) とが垂直であるかどうかは,切片k, k'の値には関係ないことに注意しましょう.
 右図のような(1)と(2)が垂直であるかどうかを調べたいときに,(1)の代わりに(1)を上下に平行移動した直線(1')を使っても結果は変わりません.同様にして(2)の代わりに(2)を上下に平行移動した直線(2')を使っても結果は変わりません.
 このようにして,切片が0となる2つのグラフy=mx…(1') とy=m'x…(2') で調べると有利です.
左図のように,2つの直線y=mx…(1') とy=m'x…(2') について傾きm, m'が2つとも正のとき(右上がりのとき)や2つとも負のとき(右下がりのとき),これらのなす角は90°よりも小さくなりますので,2直線が垂直になることはできません.
 したがって,2直線y=mx…(1') とy=m'x…(2')が垂直になることができるのは,m, m'の一方が正の値(右上がりの直線)で他方が負の値(右下がりの直線)になっている場合です.
 ここでは右図のように,m>0, m'<0の場合を考えてみます.
 以下において
(A)三平方の定理を使う方法
(B)相似図形を使う方法
(C)ベクトルの垂直条件を使う方法
の3つ示して見ます.(1つ分かればよい)

(A)
 図2のように原点を通る2直線OAOBが垂直になるには,△AOB∠OAB=90°の直角三角形になればよい.
AC=m, OC=1だから,△AOCについて三平方の定理により
…(1)

BCは長さだからBC=−m'△BOCについて三平方の定理により
…(2)

また,例えば,m=5>0, m'=−3<0の場合に,温度計で−3°の温度差が5−(−3)とするように
AB=m−m'…(3)
 △AOBについて∠AOB=90°となる条件を三平方の定理により求めると

 (1)(2)(3)を代入すると

2=−2mm'
したがって
mm'=−1
(B)
 △AOB=90°のとき,
∠AOC+∠BOC=90°
∠AOC+∠OAC=90°
だから∠BOC=∠OAC

また,
∠AOC+∠BOC=90°
∠OBC+∠BOC=90°
だから∠AOC=∠OBC

これらから,△AOC∽△OBCとなるから
OC:CA=BC:CO
1:m=−m':1
mm'=−1
(C)
 ベクトルを習っているときは,ベクトルの垂直条件を考えれば簡単にできます.
ベクトルが垂直となるのは,それらの内積が0になるときだから
1+mm'=0
mm'=−1
[例外]
 上記の(A)(B)(C)はいずれも2直線の方程式がy=mx+ky=m'x+k'の形に書ける場合を扱っていますが,一方がy軸に平行な場合には,この形には書けません.
 そこで,一方がy軸に平行な直線x=cのときは,直線のグラフを思い浮かべてx軸に平行な直線y=kは垂直であると判断します.(これらは原点を通るかどうかには関係なく,式の形から直ちに答えるとよい)
【例】
[1]
 直線y=1と直線x=3とはx軸に平行な直線とy軸に平行な直線だから互いに垂直
y切片の値1x切片の値3は何でもよい

[2]
 直線2x+4=0と直線3y−1=0とはy軸に平行な直線とx軸に平行な直線だから互いに垂直
x切片の値−2y切片の値は何でもよい
《問題》
 次のうち,垂直な直線の組を選びなさい.
(ルール:一つクリックし,続けて「垂直なもの」をクリックすると消えます.
間違えば消えません.ジョーカーが1枚含まれており,ジョーカーだけになれば終了です.)