対称式の値(無理数)→ 携帯版は別頁
《解説》
■ 対称式とは
 x+y,xy,x+yのようにxとyを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます.(以下2文字の場合を扱います.)
 
■ 基本対称式
 対称式のうち、x+yとxyを特に基本対称式といいます.

■ 対称式の性質
 対称式は,基本対称式で表すことができます.・・・ 例 x2+y2=(x+y)2-2xy
 無理数を与えられた式に代入するときにも,対称式の性質を利用するのが普通です.
 

 x=,y= のとき x2+y2 の値を求めよ.
答案
 x=2+√3,y=2-√3 だから
 x+y=4,xy=1 ←これを求めるところがポイント
2+y2=(x+y)2-2xy=16-2=14
《問題》
1
 x=,y= のとき,3x2-5xy+3y2の値を求めなさい.

2
 x=,y= のとき,x4+x22+y4の値を求めなさい.

3
 x=,y= のとき, の値を求めなさい.

4
 x=,y= のとき,x3+xy+y3の値を求めなさい.

5
 x=,y= のとき,x3+x2y+xy2+y3の値を求めなさい.



《解説》
■ 交代式
 x-y のように,xとyを入れ替えると符号が逆になるものを交代式といいます.
 交代式は,対称式と交代式を組み合わせて表現できます.
 

 x=,y= のとき x3-y3 の値を求めなさい.
答案
 x=2+√3,y=2-√3 だから
 x+y=4,xy=1
3-y3=(x-y)(x2+xy+y2
ここで
 x-y=2√3・・・(1) ←交代式ではこの式も必要
 x2+xy+y2=(x+y)2-xy=15・・・(2)
だから
 x3-y3=2√3・15=30√3
《解説》
■ の形の式はの多項式で表すことができます.

 x= のとき次の式の値を求めなさい.
(1)  (2)  (3) 
答案
(1) x=,1/x=だから
 x+1/x=5
(2) =(2-2=25-2=23
(3) =()(-1)=5・22=110
《問題》
1
 x= のとき,の値を求めなさい.

2
 x= のとき, の値を求めなさい.

3
 x= のとき, の値を求めなさい.

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