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== 対称式の値(無理数) ==

《解説》
■ 対称式とは
 x+y , xy , x2+y2 , x3+y3のようにxyを入れ替えたときに
それぞれ,y+x , yx , y2+x2 , y3+x3となって,元の式と同じ値になる
式の値が変わらないものを対称式といいます.(以下2文字の場合を扱います.)

■ 基本対称式
 2文字の対称式のうち,x+yxyを基本対称式といいます.

■ 対称式の性質
 対称式は,基本対称式で表すことができます.
【例】





 対称式でないもの(例えば次の例のように文字を入れ替えると式の符号が変わるもの:交代式)は基本対称式だけでは表せません.



■無理数を与えられた式に代入するときにも,対称式の性質を利用するのが普通です.
もちろん,直接代入することもできますが,直接代入すると複雑な式になることが多く,計算間違いしやすくなります.
以下の問題では,そのような直接代入による力まかせの答案ではなく,対称式の変形として普通に行われる方法を扱います.
≪例≫
のときの値を求めよ.

(答案)
分母を有理化すると


になるから,
←これを求めるところがポイント
ゆえに

《問題》
1
 x=,y= のとき,3x2-5xy+3y2の値を求めなさい.

2
 x=,y= のとき,x4+x22+y4の値を求めなさい.

3
 x=,y= のとき, の値を求めなさい.

4
 x=,y= のとき,x3+xy+y3の値を求めなさい.

5
 x=,y= のとき,x3+x2y+xy2+y3の値を求めなさい.



《解説》
■ 交代式とは
x−y , x2−y2のように,xyを入れ替えると符号が逆になるものを交代式といいます.

■交代式は,対称式と交代式を組み合わせて表現できます.
≪例≫
のときの値を求めよ.

(答案)
分母を有理化すると


になるから,

←交代式ではこの式も必要
ここで


…(答)

《解説》
の形の式
の形の式はの多項式で表せます.

【例】

≪例≫
のとき次の式の値を求めなさい.
(1) (2) (3)

(答案)
(1)




だから

(2)

(3)



《問題》
1
 x= のとき,の値を求めなさい.

2
 x= のとき, の値を求めなさい.

3
 x= のとき, の値を求めなさい.


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