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== ド・モアブルの定理(入試問題) ==

大学入試問題としての難易度(筆者の印象)
基 本:★☆☆
普 通:★★☆
やや難:★★★

【ド・モアブルの定理】
⇒ 証明は,このページ
 nを整数とするとき(正負0いずれも可)
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isin

【問題1】★☆☆
 iを虚数単位とする.このとき,を計算せよ.
(2021年度北海学園大 工学部)
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【問題2】★☆☆
 複素数のとき,およびを求めよ.ただし,iは虚数単位とする.
(2015年度岩手大 工学部)
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【問題3】★☆☆
 複素数について考える.が実数となるときの自然数nの最小値を求めよ.
(ア) 0 (カ) 1 (サ) 2 (タ) 3 (ナ) 4 (ハ) 5 (マ) 6 (ヤ) 7 (ラ) 8 (ワ) 9 


とする.
であるとき,Aの値を求めよ.
(ア) 0 (カ) 1 (サ) 2 (タ) 3 (ナ) 4 (ハ) 5 (マ) 6 (ヤ) 7 (ラ) 8 (ワ) 9 
(2017年度自治医科大 医学部)

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【問題4】★☆☆
 2つの複素数α=iについて,次の問いに答えなさい.
(1) zを極形式で表しなさい.
(2) 以下のに入る値を求めなさい.
 zαを原点を中心としてだけ回転し,原点からの距離を倍したものである.
(3) znが正の実数となる最小の自然数をnとする.このとき,nおよびznの絶対値を求めなさい.
(2017年度福島大 理工学群)
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【問題5】★☆☆
 複素数に関する次の問いに答えよ.ただし,iは虚数単位とする.
(1) 方程式z3=iの3つの解z1, z2, z3を求めよ.ただし,0≦argz1<argz2<argz3<2πとする.
(2) 等式をみたす点z全体が表す図形を求め,その図形を複素数平面上に図示せよ.
(3) aを正の実数とする.複素数z0z03=iaをみたし,かつz0の表す点が(2)で求めた図形上にあるとする.このとき,az0の値をそれぞれ求めよ.
(2017年度宇都宮大 工学部)
(1)
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(2)
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【問題6】★☆☆
 abab<0となる実数で,複素数z=a+biに対して,z12=1, z6≠1を満たすとする.このとき,(e)である.ただし,である.
(2021年度神奈川大 理・工学部)
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【問題7】★☆☆
次の問いに答えよ.
(1) を満たす複素数zの値を求めよ.また,このときの値を求めよ.
(2) が実数となるような複素数zが表す複素数平面上の点全体は,どのような図形を表すか.
(3) が実数となる複素数zと,を満たす複素数wについて,|z−w|の最小値を求めよ.
(2018年度名古屋工業大 工学部)
(1)
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(2)
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(3)
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【問題8】★☆☆
 複素数z

とする.ただし,iは虚数単位とする.また,

とおく.次の問(1)〜(6)に答えよ.解答欄には,答えだけでなく途中経過も書くこと.
(1) は有理数になる.その値を求めよ.
(2) は有理数になる.その値を求めよ.
(3) A=a+b+cは有理数になる.その値を求めよ.
(4) B=a2+b2+c2は有理数になる.その値を求めよ.
(5) C=ab+bc+caは有理数になる.その値を求めよ.
(6) D=a3+b3+c3−3abcは有理数になる.その値を求めよ.
(2021年度立教大 理学部)
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【問題9】★★☆
 θを実数とし,nを整数とする.z=sinθ+icosθとおくとき,複素数znの実部と虚部をcos(nθ)sin(nθ)を用いて表せ.ただし,iは虚数単位である.
(2021年度京都工芸繊維大 工芸科学部)
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【問題10】★★☆
 以下の問に答えよ.ただし,iは虚数単位とする.
(1) 複素数ω=とする.複素数a, ba=3ω2+ω, b=ω2+3ωであるとき,a3+b3の値はいくらか.
  1. −20 2. −10 3. 10 4. 20
  5. 上の4つの答はどれも正しくない.
(2) はいくらか.
  1. −2 2. −1 3. 1 4. 2
  5. 上の4つの答はどれも正しくない.
(3) 複素数が実数となる自然数nのうち,最小のものをn0とすると,an0はいくらか.
  1. −5096 2. −4096 3. −3096 4. −2096
  5. 上の4つの答はどれも正しくない.
(2021年度防衛医大)
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【問題11】★★☆
 ωは複素数でω5=1を満たし,ω=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)と極形式表示したとき,cosθ>0, sinθ>0であるとする.このとき,θ=となり,1+ω+ω234=である.
 複素数zに対して
(1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z)
=1+z+z2+z3+z4
であるので,αが複素数であるとき,z=α, ωα, ω2α, ω3α, ω4αを代入することによって
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
= ・・・(*)
となる.
 特に,であるとき,
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
=−i ・・・(**)
となる.このとき,式(*),(**)に注意すると

=+i
となる.
には実数をいれること)
(2021年度立命館大 理工・情報理工学部)
【問題11】★★☆
 ωは複素数でω5=1を満たし,ω=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)と極形式表示したとき,cosθ>0, sinθ>0であるとする.このとき,θ=となり,1+ω+ω234=である.
 複素数zに対して
(1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z)
=1+z+z2+z3+z4
であるので,αが複素数であるとき,z=α, ωα, ω2α, ω3α, ω4αを代入することによって
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ωα)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
+(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
= ・・・(*)
となる.
 特に,であるとき,
(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)
=−i ・・・(**)
となる.このとき,式(*),(**)に注意すると

=+i
となる.
には実数をいれること)
(2021年度立命館大 理工・情報理工学部)

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【問題12】★★★
 次の(1),(2),(3)においては, 内の1つのカタカナに0から9までの数字が1つあてはまる.その数字を解答用マークシートに(省略)にマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を0として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を1としなさい.根号を含む方とで解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい.
(1) 複素数αを,α=4+4iとおく.また,複素数平面上で|z−α|=を満たす複素数z (0≦arg z<2π)を考える.このような複素数zのうち,偏角が最大となるものをβ,偏角が最小となるものをγとする.ただし,iは虚数単位とする.以下の問いに答えなさい.
(a)β=+i(+)
γ=++i()
である.
また,βの偏角は
π
であり,γの偏角は
π
である.ただし,これらの偏角は0以上未満の数字とする.
(b) 1≦n≦2021を満たす自然数nのうち,γnが純虚数となるようなnの個数は,個である.
(c)|z−α|=を満たす複素数zのうち,z2021が純虚数となるようなzの個数は個である.
(2021年度東京理科大 工学部)
2021という数字に数学的に特別な意味があるわけではなく,適当に大きな数字の中から,入学試験の年度を使って,ジョークとして使われているものと考えられる.
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ギリシャ文字の読み方:αアルファ, βベータ, γガンマ
(a)
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(b)
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(c)
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【問題13】★★★
 iを虚数単位とし,とする.の偏角θのうち0≦θ<2πを満たすものは,θ=であり,である.複素数平面上でを表す点をそれぞれA, Bとする.このとき,線分ABを1辺とする正三角形ABCの,頂点Cを表す複素数の実部は0またはである.
a, bを正の整数とし,複素数の偏角の1つがであるとき,a+bの最小値はである.
(2021年度北里大 医学部)
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