大学入試問題としての難易度(筆者の印象) 基 本:★☆☆
普 通:★★☆
やや難:★★★
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【問題1】★☆☆
[解説を読む]iを虚数単位とする.このとき, を計算せよ. (2021年度北海学園大 工学部)
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【問題2】★☆☆
[解説を読む]複素数 のとき, および を求めよ.ただし,iは虚数単位とする. (2015年度岩手大 工学部)
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【問題3】★☆☆
66 複素数 について考える. が実数となるときの自然数nの最小値を求めよ. (ア) 0 (カ) 1 (サ) 2 (タ) 3 (ナ) 4 (ハ) 5 (マ) 6 (ヤ) 7 (ラ) 8 (ワ) 9 7 とする. であるとき,Aの値を求めよ. (ア) 0 (カ) 1 (サ) 2 (タ) 3 (ナ) 4 (ハ) 5 (マ) 6 (ヤ) 7 (ラ) 8 (ワ) 9 (2017年度自治医科大 医学部)
[解説を読む]
各々の複素数を極形式で表すと したがって,Zの絶対値は Zの偏角は Z2nが実数となる条件は (n (>0), kは整数) 13n=6k(n (>0), kは整数) 13, 6は互いに素だから n=6t (>0) k=13t よって,自然数nの最小値は6→(マ)・・・(答) |
7 [解説を読む] |
【問題4】★☆☆
2つの複素数α=i, について,次の問いに答えなさい. (1) zを極形式で表しなさい. (2) 以下のア,イに入る値を求めなさい. zはαを原点を中心としてアだけ回転し,原点からの距離をイ倍したものである. (3) znが正の実数となる最小の自然数をnとする.このとき,nおよびznの絶対値を求めなさい. (2017年度福島大 理工学群)
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[解説を読む]
(1) ・・・(答) (2) 原点を中心として, だけ回転し,原点からの距離を2倍したもの・・・(答) (3) だから,これが正の実数となるには (nは正の整数,kは整数) (nは正の整数,kは整数) ここで,5, 6は互いに素だから n=6t(tは整数) k=5t nの最小値は6,|zn|=64・・・(答) |
【問題5】★☆☆
(1)複素数に関する次の問いに答えよ.ただし,iは虚数単位とする. (1) 方程式z3=iの3つの解z1, z2, z3を求めよ.ただし,0≦argz1<argz2<argz3<2πとする. (2) 等式 をみたす点z全体が表す図形を求め,その図形を複素数平面上に図示せよ. (3) aを正の実数とする.複素数z0はz03=iaをみたし,かつz0の表す点が(2)で求めた図形上にあるとする.このとき,aとz0の値をそれぞれ求めよ. (2017年度宇都宮大 工学部)
[解説を読む]
z=r(cosθ+isinθ),(r≧0, 0≦θ<2π)とおく ド・モアブルの定理により z3=r3(cos3θ+isin3θ) となる. これが,iに等しくなることから r=1・・・[1] ただし,0≦θ<2πから,0≦3θ<6πの条件を満たすのは,n=0, 1, 2のとき ア) n=0のとき イ) n=1のとき ウ) n=2のとき 以上から ・・・(答) |
(2) [解説を読む] は,x, yを用いて,次のように書ける. これは, を中心とする半径2の円を表す. すなわち,複素数 を中心とする半径2の円を表す.(右図)・・・(答) (3) z0の表す点が(2)で求めた図形上にあるから,z0の偏角θは,(y軸を含む)第3象限の角で,右図のPからQまでの間にある. よって z03=ia (a>0)となるのは のとき.このとき ・・・(答) ・・・(答) |
【問題6】★☆☆
[解説を読む]aとbはab<0となる実数で,複素数z=a+biに対して,z12=1, z6≠1を満たすとする.このとき,(e)である.ただし, である. (2021年度神奈川大 理・工学部)
とおくと,ド・モアブルの定理により これにより ・・・(1) (nは整数) すなわち (nは整数)・・・(2) また, により (nは整数) すなわち (nは整数)・・・(3) ab<0から0≦θ<2πは第2,4象限の角で,(2)(3)から ・・・(答) ( から計算しても結果は同じになる) |
【問題7】★☆☆
(1)次の問いに答えよ. (1) を満たす複素数zの値を求めよ.また,このとき の値を求めよ. (2) が実数となるような複素数zが表す複素数平面上の点全体は,どのような図形を表すか. (3) が実数となる複素数zと, を満たす複素数wについて,|z−w|の最小値を求めよ. (2018年度名古屋工業大 工学部)
[解説を読む]
分母を払って,zの2次方程式を解く ・・・(答) zを極形式で書くと ・・・@ または ・・・A @のとき Aのとき,ほぼ同様にして 以上により,@Aのいずれの場合も,α=−1・・・(答) |
(2) [解説を読む] z≠0 (r≠0)のとき これが実数となるのは または のとき(ただしr≠0, r>0)) すなわち,r=1またはθ=nπ, r>0 よって「原点を中心とする半径1の円」または「実軸(ただし,原点を除く)」・・・(答) |
(3) [解説を読む] zは(2)の結果に示されるように「原点を中心とする半径1の円」または「実軸(ただし,原点を除く)」の上の点 wは,点 を中心とする半径 の円上の点だから,それらの距離|z−w|の最小値は,右図の赤線で示した長さ または朱色で示した長さ の小さいほうを選ぶと, ・・・(答) |
【問題8】★☆☆
[解説を読む]複素数zを とする.ただし,iは虚数単位とする.また, とおく.次の問(1)〜(6)に答えよ.解答欄には,答えだけでなく途中経過も書くこと. (1) は有理数になる.その値を求めよ. (2) は有理数になる.その値を求めよ. (3) A=a+b+cは有理数になる.その値を求めよ. (4) B=a2+b2+c2は有理数になる.その値を求めよ. (5) C=ab+bc+caは有理数になる.その値を求めよ. (6) D=a3+b3+c3−3abcは有理数になる.その値を求めよ. (2021年度立教大 理学部)
(1) ド・モアブルの定理により ・・・(答) (2) 初項がz,公比がz (≠1),項数が6の等比数列の和を求める ここで(1)の結果を使ってz7=1とすると ・・・(答) (3) ここで(2)の結果を使って とすると ・・・(答) |
[解説を読む]
(4) ここで(1)の結果を使ってz7=1とすると 分数の部分の分母と分子にzを掛けると ・・・(答) (5) A2=B+2Cだから 1=5+2C C=−2・・・(答) (6) D=a3+b3+c3−3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) =A(B−C)=−1×(5+2)=−7・・・(答) |
【問題9】★★☆
[解説を読む]θを実数とし,nを整数とする.z=sinθ+icosθとおくとき,複素数znの実部と虚部をcos(nθ)とsin(nθ)を用いて表せ.ただし,iは虚数単位である. (2021年度京都工芸繊維大 工芸科学部)
z=cosθ+isinθであれば,ド・モアブルの定理そのものとなるが,z=sinθ+icosθと書いてあることに注意!
であるから,ド・モアブルの定理により ア) n=4k(kは整数)のとき ・・・(答) イ) n=4k+1(kは整数)のとき ・・・(答) ウ) n=4k+2(kは整数)のとき ・・・(答) エ) n=4k+3(kは整数)のとき ・・・(答) を用いて,次のようにまとめることができる.
問題文で,実部と虚部を分けて示すことが求められているから,きれいにまとめられても,そのまま答えにはできない.あくまでも参考.
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[解説を読む]
(別解)
とにかく
の形にすれば,ド・モアブルの定理が使える
だから ド・モアブルの定理により
問題文で,実部と虚部を分けて示すことが求められているから,きれいにまとめられても,そのまま答えにはできない.あくまでも参考.
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【問題10】★★☆
[解説を読む]以下の問に答えよ.ただし,iは虚数単位とする. (1) 複素数ω= とする.複素数a, bがa=3ω2+ω, b=ω2+3ωであるとき,a3+b3の値はいくらか. 1. −20 2. −10 3. 10 4. 20 5. 上の4つの答はどれも正しくない. (2) はいくらか. 1. −2 2. −1 3. 1 4. 2 5. 上の4つの答はどれも正しくない. (3) 複素数 が実数となる自然数nのうち,最小のものをn0とすると,an0はいくらか. 1. −5096 2. −4096 3. −3096 4. −2096 5. 上の4つの答はどれも正しくない. (2021年度防衛医大)
(1) ωは1の虚数3乗根(のうちの1つ)であるから,次の式が成り立つ.
ω2+ω+1=0・・・(A)
ω3=1・・・(B)
この問題は,記号で解答する選択問題であるから,途中経過の記述は不要であるが,もし記述問題ならば,ωの性質は,次のように示せばよい.
a+b=3ω2+ω+ω2+3ω=4(ω2+ω)=−4≪単純計算で示す場合≫ より →(A) また →(B) ≪ド・モアブルの定理を使って示す場合≫ より →(A) →(B) ab=(3ω2+ω)(ω2+3ω)=3ω4+10ω3+3ω2 =3ω+10+3ω2=3(ω2+ω)+10=−3+10=7 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b){(a+b)2−3ab} =−4×(16−21)=20 → 4.・・・(答) |
[解説を読む]
(2) ド・モアブルの定理により → 2.・・・(答) (3)
三角関数の加法定理の基本練習のときに
や を見た覚えがあれば,見通しを立てやすいでしょう.ただし,細かな数字までは覚えていなくてもよい. を極形式にするために,まず絶対値を計算しておく ここで とおくと 以上から とおけるから これが実数となるには, が整数となることが必要十分条件 このとき → 2.・・・(答) |
【問題11】★★☆
ωは複素数でω5=1を満たし,ω=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)と極形式表示したとき,cosθ>0, sinθ>0であるとする.このとき,θ=アとなり,1+ω+ω2+ω3+ω4=イである. 複素数zに対して (1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z) =1+ウz+エz2+オz3+カz4 であるので,αが複素数であるとき,z=α, ωα, ω2α, ω3α, ω4αを代入することによって (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α) +(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω5α) +(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω4α)(1−ω5α) +(1−ωα)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) +(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) =キ ・・・(*) となる. 特に, であるとき, (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) =ク−iケ ・・・(**) となる.このとき,式(*),(**)に注意すると =コ+iサ となる. (ア〜サには実数をいれること) (2021年度立命館大 理工・情報理工学部)
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【問題11】★★☆
ωは複素数でω5=1を満たし,ω=cosθ+isinθ (0≦θ<2π)と極形式表示したとき,cosθ>0, sinθ>0であるとする.このとき,θ=アとなり,1+ω+ω2+ω3+ω4=イである. 複素数zに対して (1−ωz)(1−ω2z)(1−ω3z)(1−ω4z) =1+ウz+エz2+オz3+カz4 であるので,αが複素数であるとき,z=α, ωα, ω2α, ω3α, ω4αを代入することによって (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α) +(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω5α) +(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω4α)(1−ω5α) +(1−ωα)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) +(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) =キ ・・・(*) となる. 特に, であるとき, (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α) =ク−iケ ・・・(**) となる.このとき,式(*),(**)に注意すると =コ+iサ となる. (ア〜サには実数をいれること) (2021年度立命館大 理工・情報理工学部)
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[解説を読む]
ウエオカの結果に対して •z=α,を代入すると (左辺)=(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)・・・左辺第1式 (右辺)=1+α+α2+α3+α4 •z=ωα,を代入すると (左辺)=(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)…左辺第5式 (右辺)==1+ωα+ω2α2+ω3α3+ω4α4 •z=ω2α,を代入すると (左辺)=(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ω6α) =(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ωα)・・・左辺第4式 (右辺)==1+ω2α+ω4α2+ω6α3+ω8α4 =1+ω2α+ω4α2+ωα3+ω3α4 •z=ω3α,を代入すると (左辺)=(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ω6α)(1−ω7α) =(1−ω4α)(1−ω5α)(1−ωα)(1−ω2α)・・・左辺第3式 (右辺)==1+ω3α+ω6α2+ω9α3+ω12α4 =1+ω2α+ω4α2+ωα3+ω3α4 •z=ω4α,を代入すると (左辺)=(1−ω5α)(1−ω6α)(1−ω7α)(1−ω8α) =(1−ω5α)(1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)・・・左辺第2式 (右辺)==1+ω4α+ω8α2+ω12α3+ω16α4 =1+ω4α+ω3α2+ω2α3+ω3α4
左辺の和は,問題文と等しい.
(右辺の和)=5+α(1+ω+ω2+ω3+ω4)このような点検しにくい順序に並べてある意図は,疑問だが・・・ +α2(1+ω+ω2+ω3+ω4) +α3(1+ω+ω2+ω3+ω4) +α4(1+ω+ω2+ω3+ω4) ここで,イの結果から1+ω+ω2+ω3+ω4=0だから (右辺の和)=5→キ |
[解説を読む]
ウエオカの結果から (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)=1+α+α2+α3+α4 (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−α)=1−α5 (1−ωα)(1−ω2α)(1−ω3α)(1−ω4α)(1−ω5α)=1−α5 ド・モアブルの定理により →クケ (*)式の辺々を(**)で割ると →コサ |
【問題12】★★★
次の(1),(2),(3)においては, 内の1つのカタカナに0から9までの数字が1つあてはまる.その数字を解答用マークシートに(省略)にマークしなさい.与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は,上位の桁を0として,右に詰めた数値としなさい.分数は既約分数とし,値が整数の場合は分母を1としなさい.根号を含む方とで解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい. (1) 複素数αを,α=4+4iとおく.また,複素数平面上で|z−α|=を満たす複素数z (0≦arg z<2π)を考える.このような複素数zのうち,偏角が最大となるものをβ,偏角が最小となるものをγとする.ただし,iは虚数単位とする.以下の問いに答えなさい.
(a)β=ア−√イ+i(ウ+√エ)
γ=オ+√カ+i(キ−√ク) である. また,βの偏角は
(b) 1≦n≦2021を満たす自然数nのうち,γnが純虚数となるようなnの個数は,ソタチ個である. (c)|z−α|= を満たす複素数zのうち,z2021が純虚数となるようなzの個数はツテトナ個である. (2021年度東京理科大 工学部)
2021という数字に数学的に特別な意味があるわけではなく,適当に大きな数字の中から,入学試験の年度を使って,ジョークとして使われているものと考えられる.
----- ギリシャ文字の読み方: |
(a) [解説を読む]
α=4+4iを中心とする半径 の円に対して,原点Oと複素数βを表す点を結んだ直線OBは,円の接線になり,∠ABO=90°になる. この直角三角形ABOにおいて,三平方の定理を用いてOBの長さを求めると, ,AB:AO:OB= となるから,∠AOB= したがって,βの偏角は →ケコサ γの偏角は →シスセ ここで,三角関数の加法定理により →アイウエ |
[解説を読む] (b) [解説を読む]
γの偏角は だからγnの偏角は (1≦n≦2021)
これが純虚数になるのは (kは整数, 1≦n≦2021) のとき.すなわち n=12k+6(kは整数, 1≦n≦2021) 1≦12k+6≦2021(kは整数) kは整数だから 168個→ソタチ
※ゆっくり考えれば,解けるが,「大問題3題100分のうちで,本問を15分から20分で解く」ことはとても難しい
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(c) [解説を読む]
zの偏角をθとおくと znが純虚数となるのは, (kは整数)の場合だから でθは674個ある. 右図のように となる各θに対して,対応するzが2つずつあるから 2×674=1348個→ツテトナ |
【問題13】★★★
[解説を読む]iを虚数単位とし, , とする. の偏角θのうち0≦θ<2πを満たすものは,θ=オであり,カである.複素数平面上で を表す点をそれぞれA, Bとする.このとき,線分ABを1辺とする正三角形ABCの,頂点Cを表す複素数の実部は0またはキである. a, bを正の整数とし,複素数 の偏角の1つが であるとき,a+bの最小値はクである. (2021年度北里大 医学部)
それぞれの複素数を極形式に直すと の絶対値は →カ・・・(答) の偏角は →オ・・・(答) だから となって,線分ABを1辺とする正三角形ABCの,1つの頂点は原点Oになる.もう1つの頂点Cを表す複素数は その実部は 第2項を三角関数の加法定理を用いて計算すると, 求める実部は →キ・・・(答) |
[解説を読む] の1つの偏角は(nは整数として) ア) 14−3a+4b=1 (a, b≧1)のとき 3a−4b=13・・・(1) 1つの解は 3×7−4×2=13・・・(2) (1)−(2) 3(a−4)=4(b−2) このとき 3, 4は互いに素だから a−7=4t a=4t+7 (t≧−1) b−2=3t b=3t+2 (t≧0) a+b=7t+9 (t≧0) この場合の最小値は9 イ) 14−3a+4b=25 (a, b≧1)のとき 4b−3a=11・・・(3) 1つの解は 4×5−3×3=11・・・(4) (3)−(4) 4(b−5)=3(a−3) このとき 3, 4は互いに素だから a−3=4t a=4t+3 (t≧0) b−5=3t b=3t+5 (t≧−1) a+b=7t+8 (t≧0) この場合の最小値は8 a≧1, b≧1となるのは,右図の水色の範囲(境界線を含む) このうちで, ア)14−3a+4b=1 (a, b≧1)のとき,a+bの最小値は9 イ)14−3a+4b=25 (a, b≧1)のとき,a+bの最小値は8 ウ)14−3a+4b≦−23 (a, b≧1)や14−3a+4b≧49 (a, b≧1)のとき,a+bの最小値はア)イ)の場合よりも大きくなる. 以上により,イ)の場合から,最小値は8→ク・・・(答) |